0910学年第2学期数学科学学院高等代数期末试卷

数学科学学院各系2009年级各专 （ 特别说明：答案写在答题纸上一、选题（32分.8题,每题4分 0设矩阵A 2，则A相似 。 5

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7 2 设A,B为n阶矩阵。若|IA||IB|， 。|IA||IB|；B)A,B可同时对角化；C)A与B合同 D)A与B相似设A,B为n阶矩阵，则下列叙述中，正确的 。A2AB2BABAB 不是AkIn的充要条件。An1n1C)A1 0

D)A的有理为对角阵设实对称阵A与B 1合同，则二次型X'AX在R上的规 。 2 y2y2 B)y2y2 C)y2y2y2 D)y2y2y2 B)A,B都合同于对角阵C)A,B的特征值相同 D)A,B的正负惯性指数相同设为n维欧氏空间V上的线性变换，则下列叙述 非为正交变换的充要条件。 B)1*C)将V的一组标准正交基变为标准正交基 D)对任意V,((),())(,)设为n维欧氏空间V上线性变换，且U是子空间。下列命题正确的 个。①若V上正交算子，则U是②若V上正交算子，则U是1③若*为的伴随算子，则U是*④若V上自伴随算子，则U是 B C D)4二、题（32分.8题,每题4分。n设为nA的kr((IA。n 0A的特征多项式为(1)3(2)2(3，极小多项式为(1)2(2)(3)A

Jordan 。

设为3维欧氏空间V上的线性变换，且(,,)(,, ，其中,, 3 1 V的一组基， 是属于特征值1的特征子空间的一组基。1设n阶实对称矩阵A的极小多项式是22，则 ““如果实二次型f(x1,x2,...,xn)仅在x1x2...xn0时为0，则f(x1,x2,...,xn) 设{,...,}V的一组标准正交基，uV(u,)2u)2u 则u 类。n设V是n维欧氏空间，{1,2,..,n}是V的一组基，G是该基的度量矩阵又设V上线性变换在该基下的表示矩阵为A，则为自伴随算子的充要条件是G,A满足关系 。AGGA三 2AQdiag3,1,1QQQ2qqI2q201101021010001四 (12分)设A为3阶方阵，且|A|18，3AA*15I，其中A*为A的伴随矩阵。A的Jordan除外）除外）A的极小多项式是256为322五 (10分)设A(aij)nn为实矩阵，定义实二次f(xxx)(axaxax)2 i1i

i2 inA a11aax1x11，Xaaa11xn。（法二（09|A|0A XAAX0，AX0A（XAAX0f00。（）（09崔逸凡陈炜劼刘润石刘奕成等）ArAArA)f为正定二次型，则f的相伴AA的秩nrAA)rAAAQdiag(Ir,0)PPdiag(Ir,0)QQdiag(P1,P1PP的前rrPPP是正定阵，其所有顺序主子式全P1P1r(P1rrAAr(P1r，与r(AA)。六 (6分)设A,B为n阶正定阵。证明：方程AB0的所有根全是1的充要条件是ABAB(PT)(TP)BPT)(TPBPT)(PT PT)diag()(PT 上式得1,i1,2,...,n，进而B(P)TITP (P)P A。命题的证。）ABBACBBB正定。因B对称，所