平稳时间序列模型预测

平稳时间序列模型预测第一页，共二十七页，2022年，8月28日§7.1最小均方误差预测考虑预测问题首先要确定衡量预测效果的标准，一个很自然的思想就是预测值与真值的均方误差达到最小，即设预测值与真值的均方误差我们的工作就是寻找，使上式达到最小。下面我们证明最小均方误差预测就是上海财经大学统计与管理学院2第二页，共二十七页，2022年，8月28日条件无偏均方误差最小预测

设随机序列，满足，则如果随机变量使得

达到最小值，则如果随机变量使得

达到最小值，则上海财经大学统计与管理学院3第三页，共二十七页，2022年，8月28日因为可以看作为当前样本和历史样本的函数，根据上述结论，我们得到，当时，使得达到最小。对于ARMA模型，下列等式成立：上海财经大学统计与管理学院4第四页，共二十七页，2022年，8月28日ARMA模型的预测方差和预测区间

如果ARMA模型满足因果性，则有所以，预测误差为上海财经大学统计与管理学院5第五页，共二十七页，2022年，8月28日由此，我们可以看到在预测方差最小的原则下，是当前样本和历史样本已知条件下得到的条件最小方差预测值。其预测方差只与预测步长有关，而与预测起始点t无关。当预测步长的值越大时，预测值的方差也越大，因此为了预测精度，ARMA模型的预测步长不宜过大，也就是说使用ARMA模型进行时间序列分析只适合做短期预测。上海财经大学统计与管理学院6第六页，共二十七页，2022年，8月28日进一步地，在正态分布假定下，有由此可以得到预测值的95%的置信区间为或者

上海财经大学统计与管理学院7第七页，共二十七页，2022年，8月28日§7.2对AR模型的预测首先考虑AR(1)模型当时，即当前时刻为t的一步预测为当，当前时刻为t的步预测上海财经大学统计与管理学院8第八页，共二十七页，2022年，8月28日对于AR(p)模型当时，当前时刻为t的一步预测为

当，当前时刻为t的步预测上海财经大学统计与管理学院9第九页，共二十七页，2022年，8月28日例7.1

设平稳时间序列来自AR(2)模型已知，求和以及95%的置信区间。解：上海财经大学统计与管理学院10第十页，共二十七页，2022年，8月28日根据第三章，可以计算模型的格林函数为所以的95%的置信区间为（－1.076，3.236）

的95%的置信区间为

（－2.296，3.952）上海财经大学统计与管理学院11第十一页，共二十七页，2022年，8月28日例7.2

已知某商场月销售额来自AR(2)模型(单位：万元/月)2006年第一季度该商场月销售额分别为：101万元，96万元，97.2万元。求该商场2006年第二季度的月销售额的95%的置信区间。上海财经大学统计与管理学院12第十二页，共二十七页，2022年，8月28日求第二季度的四月、五月、六月的预测值分别为上海财经大学统计与管理学院13第十三页，共二十七页，2022年，8月28日计算模型的格林函数为四月、五月、六月的月销售额的95%的置信区间分别为四月：（85.36，108.88）五月：（83.72，111.15）六月：（81.84，113.35）上海财经大学统计与管理学院14第十四页，共二十七页，2022年，8月28日§7.3MA模型的预测对于MA(q)模型我们有当预测步长，可以分解为当预测步长，可以分解为上海财经大学统计与管理学院15第十五页，共二十七页，2022年，8月28日MA(q)模型预测方差为上海财经大学统计与管理学院16第十六页，共二十七页，2022年，8月28日例7.3

已知某地区每年常住人口数量近似的服从MA(3)模型（单位：万人）

2002年—2004年的常住人口数量及1步预测数量见表上海财经大学统计与管理学院17年份人口数量预测人口数量200220032004104108105110100109第十七页，共二十七页，2022年，8月28日预测未来5年该地区常住人口数量的95%的置信区间。上海财经大学统计与管理学院18第十八页，共二十七页，2022年，8月28日上海财经大学统计与管理学院19预测年份95%的置信区间20052006200720082009（99，119）（83，109）（87，115）（86，114）（86，114）第十九页，共二十七页，2022年，8月28日§7.4ARMA模型的预测关于ARMA模型有

上海财经大学统计与管理学院20第二十页，共二十七页，2022年，8月28日上海财经大学统计与管理学院21第二十一页，共二十七页，2022年，8月28日

例7.4

已知ARMA(1,1)模型为且，预测未来3期序列值的95%的置信区间。上海财经大学统计与管理学院22第二十二页，共二十七页，2022年，8月28日首先计算未来3期预测值计算模型的格林函数为上海财经大学统计与管理学院23第二十三页，共二十七页，2022年，8月28日计算预测方差计算得到未来3期序列值的95%的置信区间上海财经大学统计与管理学院24预测时期95%的置信区间101102103（0.136，0.332）（0.087，0.287）（-0.049，0.251）第二十四页，共二十七页，2022年，8月28日§7.5预测值的适时修正上海财经大学统计与管理学院25第二十五页，共二十七页，2022年，8月28日例7.2续

假设一个月后已知四月份的真实销售额为100万元，求第二季度后两个月销售额的修正预测值及95%的置信区间。因为根据上述公式可以计算五月、六月的修正预测值如下：上海财经大学统计与管理学院26第二十六页，共二十七页，2022年，8月28日修正预测方差为步预测销售额的95%的置信区间上海财经大