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近世代数第三章环与域

§2环的定义—思考、解答、结论环的特征

2/4/2023

19:16环、交换环、有单位元的环环：

(3)关于加法构成一个交换群;(4)乘法结合律成立;乘法满足交换律的环.存在元素,使得(2)两个代数运算“+”与“.”;(1)非空集合;(5)乘法对加法两个分配律成立.交换环：

有单位元的环：

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19:16思考题1、21．构成环吗？答：构成环，零元=单位元=e.

是交换环、有单位元环，2．有单位元的环答：有且只有一个吗？注：我们只讨论单位元的环，即

2/4/2023

19:16思考题3、结论1性质在一个无零因子环中,乘法两个是左零因子，存在，若，则，可以是，即可以不同.（任何环加法都有消去律）消去律成立.

3．有零因子的环中，乘法有消去律吗？答：没有.若结论1：环是无零因子环乘法适合消去律.

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19:16思考题4、结论2除环：有单位元环,且（，每个非零元都可逆.的零因子一定不是环的可逆元.你认为他的论断对吗?为什么?结论2：可逆元一定不是零因子，）4．有人说:一个环答：对.零因子一定不是可逆元；除环是无零因子环.

2/4/2023

19:16思考题5、6结论35．除环的非零元对于乘法构成群吗？关于加法构成交换群，所有非一定构成除环，则是除环所有非零元关于乘法构成乘群.答：构成.两个非零元的乘积是非零元，结合律成立，有单位元，每个非零元有逆元.6．若零元关于乘法构成乘群，问答：不一定.分配律未必保证.吗？结论3：环

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19:16结论4结论4：有单位元环的全体可逆元关于乘法做成群，称可逆元为单位，称此群为单位群.整数环的单位群：高斯整环的单位群：{1，-1}{1，-1，i，-i}

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19:16结论6域：交换的除环结论5：域是环、交换环、有单位元环、整环、除环.

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19:16一、理想的定义与判别定义1

设为环,为的非空子集.满足:则称的一个理想.如果为●由定义可知,理想一定是子环.与本身都是理想称为平凡理想（零理想与单位理想）.的理想.这两个●吸收律子群

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19:16的不等于它自身的理想(如果有的话)的真理想.除环只有零理想与单位理想.●●称为

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19:16例1试求的所有理想.的全部子群为：为的理想.的全部理想为解由此知,

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19:16二、理想的运算定义2

设为环,为的理想.分别称为理想的和与交.集合定理1

环的两个理想的和与交都是的理想.

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19:16证明

(1)是的理想.（2）是的理想.

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