2022年上海春季高考数学试卷真题及答案详解(精校版)

第第页2022年上海市春季高考数学试卷真题及答案详解一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则z=2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝．3．（4分）不等式x−1x＜0的解集为4．（4分）若tanα＝3，则tan（α+π4）＝5．（4分）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝．6．（4分）在（x3+1x）12的展开式中，则含1x7．（5分）若关于x，y的方程组x+my=2mx+16y=8有无穷多解，则实数m的值为8．（5分）已知在△ABC中，∠A=π3，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为.（用数字作答）10．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则MP→•CP→的最小值为11．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：x2a2−y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数12．（5分）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则limn→∞（xn+1﹣xn）＝二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）下列函数定义域为R的是（）A．y=x−12 B．y＝x﹣1 C．y=14．（5分）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+c B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．ad＞bc15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A．0 B．2 C．4 D．1216．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（）A．若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列 B．若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列 C．若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021 D．若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．（1）若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．18．（14分）已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn．（1）若{an}是等比数列，S2＝3，求limn→∞Sn（2）若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）（1）若∠ADE＝20°，求EF的长；（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20．（16分）已知椭圆Γ：x2a2+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝（1）设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB=π（2）若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；（3）设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；（2）设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；（3）设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．

2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则z=2﹣i【解答】解：∵z＝2+i，∴z=2−i故答案为：2﹣i．2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝（1，2）．【解答】解：∵集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），∴A∩B＝（1，2）．故答案为：（1，2）．3．（4分）不等式x−1x＜0的解集为【解答】解：由题意得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，故不等式的解集（0，1）．故答案为：（0，1）．4．（4分）若tanα＝3，则tan（α+π4）＝【解答】解：若tanα＝3，则tan（α+π4）故答案为：﹣2．5．（4分）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝3．【解答】解：函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），整理得f−1所以f﹣1（27）＝3．故答案为：3．6．（4分）在（x3+1x）12的展开式中，则含1x【解答】解：展开式的通项公式为Tk+1＝C12k（x3）12﹣k（1x）k＝C12kx36﹣4k得k＝10，即T11＝C1210x﹣4=66故答案为：66．7．（5分）若关于x，y的方程组x+my=2mx+16y=8有无穷多解，则实数m的值为4【解答】解：根据题意，若关于x，y的方程组x+my=2mx+16y=8则直线x+my＝2和mx+16y＝8重合，则有1×16＝m×m，即m2＝16，解可得m＝±4，当m＝4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，当m＝﹣4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，故m＝4．故答案为：48．（5分）已知在△ABC中，∠A=π3，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为21【解答】解：在△ABC中，∠A=π3，AB＝2，利用余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2AB•AC•cosA，整理得BC=7所以BCsinA=2R，解得R故答案为：2139．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为17.（用数字作答）【解答】解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，当其千位数字为3或4时，有2A33＝12种情况，即有12个符合题意的四位数，当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有6﹣1＝5个比2134大的四位数，故有12+5＝17个比2134大的四位数，故答案为：17．10．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则MP→•CP→的最小值为−【解答】解：建立平面直角坐标系如下，则B（2，0），C（0，2），M（1，0），直线BC的方程为x2+y2=点P在直线上，设P（x，2﹣x），∴MP→=（x﹣1，2﹣x），CP→=（∴MP→•CP→=x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2x2﹣3x∴MP→•CP→的最小值为故答案为：−911．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：x2a2−y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数【解答】解：设P2的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，由x1x2＞y1y2，得x1x2﹣y1y2＞0，即OP∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，∴其中一条渐近线y=1ax的斜率∴a≥1，所以实数a的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．12．（5分）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则limn→∞（xn+1﹣xn）＝2【解答】解：∵函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，∴f（x）是周期为4的周期函数，图象如图：将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则limn→∞（xn+1﹣xn∴limn→∞（xn+1﹣xn故答案为：2．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）下列函数定义域为R的是（）A．y=x−12 B．y＝x﹣1 C．y=【解答】解：y=x−12=y=x−1=1xy=x13y=x12=x∴定义域为R的是y=x故选：C．14．（5分）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+c B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．ad＞bc【解答】解：对于A，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但a+d＝b+c，故A错误，对于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d，∴由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故B正确，对于C，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C错误，对于D，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D错误．故选：B．15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A．0 B．2 C．4 D．12【解答】解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，∴每天0点至12点（包含0点，不含12点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：B．16．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（）A．若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列 B．若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列 C．若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021 D．若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021【解答】解：如果数列a1＝﹣1，公比为﹣2，满足S2022＞S2021，但是数列{an}不是递增数列，所以A不正确；如果数列a1＝1，公比为−12，满足T2022＞T2021，但是数列{an}不是递增数列，所以如果数列a1＝1，公比为12，Sn=1−(12)n12=2（1−12数列{Tn}是递增数列，可知Tn＞Tn﹣1，可得an＞1，所以q≥1，可得a2022≥a2021正确，所以D正确；故选：D．三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．（1）若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．【解答】解：（1）因为AA1为圆柱的母线，所以AA1垂直于上底面，所以∠MO1A1是直线MO1与上底面所成角，tan∠MO1A1=A所以∠MO1A1＝arctan2．（2）因为圆柱过OO1的截面为正方形，所以AA1＝2，所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π•12•2＝2π，圆柱的侧面积为S＝2πrh＝2π•1•2＝4π．18．（14分）已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn．（1）若{an}是等比数列，S2＝3，求limn→∞Sn（2）若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．【解答】解：（1）在等比数列{an}中，a2＝1，S2＝3，则a1＝2，∴公比q=12，则∴limn→∞Sn=（2）若{an}是等差数列，则S2n=即（3﹣2n）d≤1，当n＝1时，d≤1；当n≥2时，d≥13−2n恒成立，∵13−2n∈综上所述，d∈[0，1]．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）（1）若∠ADE＝20°，求EF的长；（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）作DH⊥EF，垂足为H，则EF＝EH+HF＝15tan20°+15tan50°≈23.3m；（2）设∠ADE＝θ，则AE＝15tanθ，FH＝15tan（90°﹣2θ），S四边形ADEF＝2S△ADE+S△DFH＝2×12×15×15tan=152（30tanθ+15cot2θ）=152（30tanθ+15当且仅当3tanθ=1tanθ，即tanθ=33时取等号，此时AE＝15tanθ＝53，最大面积为450−20．（16分）已知椭圆Γ：x2a2+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝（1）设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB=π（2）若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；（3）设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．【解答】解：（1）由题可得B（0，﹣1），F（c，0），因为∠AFB=π6，所以tan∠AFB=bc=1所以a²＝1+（3）²＝4，故Γ的标准方程为x24（2）直线AD与直线BC的交点在椭圆上，由题可得此时A（﹣a，0），B（0，﹣1），C（a，2），D（a，1），则直线BC：y=3ax﹣1，直线AD：y=12ax+12，交点为（故直线AD与直线BC的交点在椭圆上；（3）B（0，﹣1），P（acosθ，sinθ），则直线BP：y=sinθ+1acosθx﹣1，所以C（a，A（﹣a，0），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），则直线AQ：y=sinθacosθ−a（x+a），所以D（a，所以|CD|=sinθ+1cosθ−设tanθ2=t，则|CD|＝2（因为1a+1则|CD|≥6，即|CD|的最小值为6．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；（2