概统第一章34 节

§1.3几何概率

概率的古典定义是在“有限等可能”的情形下给出的，不适用于试验的可能结果有无穷多个的情形。下面仍以“等可能性”为基础，把这个定义作推广。几何概型(古典概型的推广)特点：“无限等可能”

引例某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率.9点10点10分钟几何概率（概率的几何定义）

设样本空间为有限区域S（线段、平面区域空间区域）,若样本点落入S内任何区域G

中的可能性大小与区域G

的测度(长度、面积、或体积）成正比,则样本点落入G内的概率为（其中A表示随机事件：样本点落入S内的区域G

中）例

两船欲停同一码头,设两船在一昼夜内独立随机地到达码头.若两船到达后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.解设船1到达码头的瞬时为x,0x<24船2到达码头的瞬时为y,0y<24设事件A表示任一船到达码头时需要等待空出码头例10xy2424y=xy=x+1y=x-2作业习题一：13，16，19，20。§1.2概率定义计算历史上概率的三次定义③公理化定义②统计定义①古典定义概率的最初定义基于频率的定义1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出§1.4频率概率的公理化定义

概率的“统计定义”也称为经验观点或统计观点，主要由德国应用数学家冯`米塞斯在1919年所倡导。设在n

次试验中，事件A

发生了m

次，

频率则称为事件A发生的频率。频率的性质

若事件A,B互斥，则（可推广到有限个两两互斥事件的和事件）非负性归一性可加性稳定性某一定数

试验投一枚硬币观察正面H向上的次数

n=4040,nH=2048,fn(H)=0.5069

n=12000,nH=6019,fn(H)=0.5016n=24000,nH=12012,fn(H)=0.5005频率稳定性的实例

蒲丰(Buffon)投币

皮尔森(Pearson)投币频率的应用第五章指出:当试验次数较大时有事件发生的概率事件发生的频率根据如下百年统计资料可得世界每年发生大地震的概率近百年世界重大地震1905.04.04克什米尔地区8.088万1906.08.17智利瓦尔帕莱索港地区

8.4

2万

1920.12.16中国甘肃8.610万1923.09.01日本关东地区7.914.2万1935.05.30巴基斯坦基达地区7.55万1948.06.28

日本福井地区

7.30.51万

时间地点级别死亡“重大”的标准①震级7级左右②

死亡5000人以上

时间地点级别死亡1970.01.05中国云南7.71万1976.07.28中国河北省唐山7.824.2万

1978.09.16伊朗塔巴斯镇地区7.9

1.5万

1995.01.17日本阪神工业区7.20.6万1999.08.17土耳其伊兹米特市7.41.7万2003.12.26伊朗克尔曼省6.83万2004.12.26印尼苏门答腊岛附近海域

9.115万2008.05.12中国四川汶川8.06.9万2010.01.12海地7.322.26万世界每年发生大地震概率约为15%概率的统计定义如果在相同条件下重复进行的n

次试验中,事件A

发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动,

且随n越大摆动幅度越小,则称p为事件A

的概率,记作P(A).对本定义的评价优点：直观易懂缺点：粗糙模糊不便使用③公理化定义②统计定义①古典定义概率的最初定义基于频率的定义历史上概率的三次定义

概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫

哥洛夫(A.H.Колмогоров)于1933年建立.

柯尔莫哥洛夫

(A.H.Колмогоров1903-1987)

1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德等国的外籍院士及皇家学会会员.为20世纪最有影响的俄国数学家.俄国数学家柯尔莫哥洛夫

设

是随机试验E的样本空间，对于E

的每一事件

A赋予一个实数，记为P(A),称之为事件A的概率，这种赋值满足下面的三条公理：

非负性：

归一性：

可列可加性：其中为两两互斥事件.

概率的公理化定义概率的性质

有限可加性:设

两两互斥

若

对任意两个事件A,B,有

BAB=AB+(B–A)P(B)=P(AB)+P(B–A)

B-ABAB

加法公式：对任意两个事件A,B,有推广：一般：右端共有项.例1小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求小王解事件A,B分别表示“能答出甲/乙类问题”(1)(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率；(2)至少有一类问题能答出的概率；(3)两类问题都答不出的概率。(2)(3)例1例2设A,B满足P(A)=0.6,P(B)=0.7,

在何条件下，

P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解最小值在时取得

——最小值——最大值最大值在时取得

例2解设A

表示事件“n

次取到的数字的乘积能被10整除”设A1

表示事件“n

次取到的数字中有偶数”

A2表示事件“n

次取到的数字中有5”A=A1A2例3

在1,2,3,,9中可重复地任取

n()个数,求

n

个数字的乘积能被10整除的概率.例7例4

把标有1,2,3,4的4个球随机地放入标有1,2,3,4的4个盒子中，每盒放一球，求至少有一个盒子的号码与放入的球的号码一致的概率.解

设A

为所求的事件设Ai

表示i号球入

i号盒，

i=1,2,3,4则由广义加法公式

问题每周一题已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,