第九章 应力和应变状态分析

第九章应力状态与应变状态分析教学内容：平面应力状态分析的解析法、图解法，空间应力状态，广义胡克定律。教学要求：1、了解广义胡克定律；2、理解空间应力状态；3、掌握平面应力状态分析的解析法；平面应力状态分析的图解法。重点：平面应力状态分析的解析法、图解法。难点：平面应力状态分析的图解法的应用。§9-1应力状态的概念§9-2平面应力状态分析的解析法§9-3平面应力状态分析的图解法§9-4梁的主应力及主应力迹线§9-5空间应力状态简介§9-6广义胡克定律第九章应力状态与应变状态分析（1）四种内力素（2）二种应力N、T、M、Vσ、τ（拉压）（弯曲）（扭转）（剪切）一、回顾§9-1应力状态的概念二、问题提出：低碳钢铸铁塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？脆性材料拉伸时为什么横断？低碳钢铸铁脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？塑性材料扭转时为什么横断？不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；为了对杆件内某一点的应力情况有一比较全面的了解,不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。结论：过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。应力哪一个截面上？

哪一点？指明(1)找危险点。研究点的应力状态的目的(2)解释破坏现象。(3)为强度理论打基础三、应力单元应力表示——单元体：B、C——单向受力，τ＝0A——纯剪切，σ＝0D——既有σ，又有τxzy1、dx、dy、dz（微小的正六面体）2、单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对应点同方位截面上的应力。PABCD3、由于单元体的边长都是无穷小量,所以单元体各个平面上的应力可以认为是均匀分布的。4、单元体的任意一对平行平面上的应力也可以认为是相等的。B、C——单向受力，τ＝0A——纯剪切，σ＝0D——既有σ，又有τxzyPABCD§9-2平面应力状态分析的解析法一、平面应力状态仅在微体四个侧面上作用有应力，且其作用线均平行于微体不受力表面的应力状态。特殊平面应力状态：单向应力状态、纯剪切应力状态xzy已知单元体各面上的应力分量、和，可以确定任一斜截面上的未知应力分量，从而确定该点处的主应力和主平面。σ、τ正负号规定：σ——拉为正，压为负；τ——以对微单元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负；xx

y规定：与截面外法线同向为正；

绕研究对象顺时针转为正；

逆时针为正。二、任意斜截面上应力一般公式yyxxxyOxx

ynx

yy如图，斜截面外法线n与坐标轴x的夹角为a，求斜截面上的应力sa和ta。利用截面法，选三角形微体ebf为研究对象，如图沿斜截面法向与切向列平衡方程，有：ntsydAsinabftydAsinatadAtxdAcosaesadAsxdAcosa由平衡方程，得：将以下关系式：代入（a）、（b），得ntsydAsinabftydAsinatadAtxdAcosaesadAsxdAcosa三、主应力与主平面由(9-1)知,斜截面上的正应力sa是a的函数，sa的极值称为主应力，主应力所在的平面称为主平面。代入（9-1）第二式得：求解以上两式均可得：即剪应力为零的平面为主平面a0和a0+90°均可满足上式，即有互相垂直的两个主平面将上两式代入（9-1）式得主应力：主平面——切应力为零的截面由于z面上剪应力为零,故z面也是主平面。通过结构内一点总可找到三个相互垂直的截面皆为主平面。对应的有三个主应力，相应的用、、来表示，它们按代数值的大小顺序排列，即设α=αs时上式成立主平面与剪应力极值所在面相差45o角四、剪应力极值及其所在平面tz例1画出下列图中的B、C点的应力单元体。

PMxyzBCsxsxBtxtytx解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：(b)Cxtxsxsxtxtytyy(a)xMeFMeCF例2：图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求圆周上C点=-30°截面上的应力，并求C点的主应力和主平面。

由公式（9-1）得图示斜截面上应力分量为：Cxtxsxsxtxtytyy30°nst-30-30°°例2：图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求圆周上C点=-30°截面上的应力，并求C点的主应力和主平面。C点处的主应力：Cxtxsxsxtxtytyy30°nst-30-30°°例2：图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求圆周上C点=-30°截面上的应力，并求C点的主应力和主平面。Cxtxsxsxtxtytyy30°nst-30-30°°确定主平面：例2：图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求圆周上C点=-30°截面上的应力，并求C点的主应力和主平面。§9-3平面应力状态分析的图解法一、基本原理（a）（b）两式相加得：（9-9）而圆的一般方程为可见上式是以与为变量的圆的方程。若以为横坐标，为纵坐标，则圆心坐为，半径为。这个圆称为应力圆，又称莫尔圆。二、应力圆的作法：步骤如下：（1）取坐标系，以轴为横轴，轴为纵轴。（2）按适当的比例尺，在轴上从原点O分别量取和；从S点沿轴方向量取，从点沿轴方向量取。（3）连接T、点，交轴于C点，以C点为圆心，以为半径作圆。（4）过T点作直线平行于轴，交圆周于P点，称P点为极点；过P点引与轴平行并与轴正向一致的基线P——X。从应力圆上可以看出，，，。

。圆心坐标（，0），半径为，确为上式所定义的圆。应力圆上T点坐标（，），表示单元体X面上的应力，T点对应着单元体的X面；点坐标（，）表示Y面上的应力，点对应着Y面。三、用应力圆求面上的应力与从应力圆上的点P作与基线成角的射线，交圆周于E点（上图），E点的坐标（、）表示面上的正应力与剪应力。证明如下：可见，应力圆上的点与单元体上的面具有点面对应关系，即由极点引出的角度为的射线与圆的交战，对应着单元体上的面；该交点的横坐标与纵坐标分别等于面上的正应力与剪应力。四、用应力圆求主应力、主平面及剪应力极值应力圆与轴交于A点和点（上图），这两点的纵坐标为零，即剪应力为零。由此可见，A、两点与主平面相对应；这两点的横坐标都代表主应力，即，，而主平面的方位角由图（b）可知式中的负号表示为负角（顺时针）。于是，图中的与角为主平面的方位角。应力圆上B点的纵坐标最大，即与上两式相一致。[例9-2]用应力圆求下图所示的主应力与主平面。解在坐标纸上按应力圆作图步骤作出图（b）所示应力圆。量得，；；可见用应力圆求得的主应力精度是足够的。将求得的主平面与主应力示于图（c）。[例9-3]用解析法和图解法求下图（a）所示单元体的主应力与主平面。解：由式得

，即，。由式（9-4），得，。§9-3平面应力状态分析的图解法对上述方程消去参数2，得：xyOxx

ynyxyxtn一、基本原理在以s为横坐标、t为纵坐标轴的平面内，上式的轨迹为圆----应力圆(莫尔圆)圆心C坐标为：半径为：x建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）1、应力圆的作法在坐标系内画出点T(x，x)和T

’(y，y)

TT

’与轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以CT为半径画圆——应力圆；xxyxyOnaO

CT(

x,

x)T

’(

y,y)2anD(

a,

a)二、应力圆的作法S2、单元体与应力圆的对应关系1)、面上的应力(，)应力圆上一点(，)2）、两面夹角两半径夹角2；且转向一致。xxyyxyOnaO

aaCT(

x,

x)T

’(

y,y)x2anD(

a,

a)stC三、利用应力圆求应力极值大小:（1）主应力:（2）最大剪应力:Otxsysxsytysxsxtxsysysxyxty=-tx2aEn四、极坐标中点面对应关系αPx(sα,tα)sαtαα0s1s3点面对应法线极径对应总之：（2）单元体的一个面与应力圆上一个点对应（3）单元体上面与面的关系转化成应力圆上点与点的关系（1）一个点的应力状态可以用一个应力圆来表示，反之亦然

转向对应CSS’stO

T(sx,tx)xT’(sy,ty)yA(s1,0)A’(s3,0)B’(tmin)(tmax)BsOt402080yx8020ty单位:MPa例1图解法求应力极值圆心坐标:半径：主应力：10C解:（1）由单元体可知（2）画应力圆：建立sa-ta坐标系（3）求应力极值：最大剪应力T(80,40)T’(20,-40)P图解法建立s-t坐标，选定比例尺，做应力圆确定出与m-m截面对应的D点，按确定的比例尺量得：例2已知应力状态如图所示,试计算截面m-m上的正应力sm与切应力tm例3：梁mm截面上C点的应力单元如图，用图解法求主应力和剪应力极值、450斜截面应力。解：（1）定比例（2）作应力圆（3）量取主应力x10大小:方向:（4）量取剪应力极值大小:方向:MPaxyM（5）量取斜截面应力q例3：试确定图示梁指定截面上各点主应力大小及主平面位置。MV12345q§9-4梁的主应力及其主应力迹线s151s3tsA’T‘TC2AOPxstAA‘TT’C1OPxsAOtC4A’TT‘PxstA’C5AOTT‘xP4sT’C3TOA’AxPt12345qs13s3–45°2s1s3s1s3a04二、主应力迹线1、定义：主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。受拉钢筋的布置大致与主应力迹线一致，钢筋可制成折线。2、主应力迹线的应用实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。§9-5空间应力状态简介下图所示单元体的应力状态称为一般的空间应力状态。图中x平面有：图中y平面有：图中z平面有：在剪应力的下标中，第一个表示所在平面，第二个表示应力的方向。xyzOdxdydztxytxzsxtyxsytyztxysztzxtxysxtxztzysztzxtyxsytyz§9-5空间应力状态简介可以证明，对上述应力状态一定可找到一个单元体，其三对相互垂直的面都是主平面，其上应力分别为：空间应力状态共有9个分量，然而，根据剪应力互等定理可知，独立的分量只有6个，即：空间应力状态：三个主应力都不等于零；平面应力状态：两个主应力不等于零；单向应力状态：只有一个主应力不等于零。该单元体称为主单元体。主单元体：六个平面都是主平面若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力:一、三向应力圆空间应力状态：

这样，单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示。至于与三个主方向都不平行的任意斜截面，弹性力学中已证明，其应力σn和τn可由图中阴影面内某点的坐标来表示。在三向主应力状态情况下：τmax作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45°角的平面上，以τ1，3表示二、三向应力状态的最大应力例求图示应力状态的主应力和最大剪应力。（应力单位为MPa）。解：前提：1、材料的使用在弹性（比例）极限内2、小变形要点：1、线应变由正应力引起2、剪应变由剪应力引起§9-6广义胡克定律一、单拉下的应力--应变关系二、纯剪切的应力--应变关系xyzsxxyzx三、复杂状态下的应力---应变关系依叠加原理,得:

xyzszsytxysx对平面应力状态当单元体三个平面皆为主平面时:

分别为x,y,z方向的主应变，与主应力的方向一致，，三主平面内的切应变等于零。例

边长为0.1m的铜方块，无间隙地放入变形可略去不计地刚性凹槽中。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比u＝0.34。当铜块受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的三个主应力的大小。解：铜块横截面上的压应力为由题意：按主应力的代数值顺序排列，得该铜块的主应力为：例

边长为0.1m的铜方块，无间隙地放入变形可略去不计地刚性凹槽中。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比m＝0.34。当铜块受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的三个主应力的大小。低碳钢铸铁探讨1:请解释低碳钢、铸铁材料拉伸时不同的破坏现象。sxsxsocA(s1,0)B(0,tmax)x45ºy(0,tmin)B’45º45º45º(P)x铸铁抗拉能力较低沿横截面拉断塑性材料抗