大学数学导数应用

第三节尽可能地描述函数曲线：判断函数的单调区间，寻找特殊点—极值及拐点，曲线的凸性与渐近线机动目录上页下页返回结束导数在函数研究中的应用

第三章一、函数单调性的判定法若定理1.

设函数则在I

内单调递增(递减).证:

无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I

内单调递增.在开区间I

内可导,机动目录上页下页返回结束证毕机动目录上页下页返回结束几何上解释：

1.导数大于零：切线斜率大于0，单调增

2.导数小于零：切线斜率小于0，单调减回忆：函数曲线在局部看成斜率为f’(x)的直线。例1.

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为机动目录上页下页返回结束说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,

则不改变函数的单调性.例如,机动目录上页下页返回结束y在y在二、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称为的极大值点

,称为函数的极大值

;(2)则称为的极小值点

,称为函数的极小值

.极大点与极小点统称为极值点机动目录上页下页返回结束例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得不可导点：3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为机动目录上页下页返回结束二、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点——导数为

0

或不存在的点：(2)

最大值最小值机动目录上页下页返回结束注:

当在上单调时,最值必在端点处达到.机动目录上页下页返回结束例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:

显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.机动目录上页下页返回结束定义.

对于可导单调函数，对应的函数曲线(1)往上凸：位于该曲线上任一点切线的下方。该曲线被称为上凸曲线，对应的函数称为上凸函数。(2)往下凸：位于该曲线上任一点切线的下方。该曲线被称为下凸曲线，对应的函数称为下凸函数。

函数曲线上凸与下凸的分界点称为拐点

.三、曲线的凸性与拐点机动目录上页下页返回结束定理3.(凸性判定法)(1)在

I内则在I

内是下凸的;(2)在

I内则在

I

内是上凸的.“证”:从前面图像可观察到：下凸：曲线切线斜率越来越大，即导函数单增；二阶导数>0.上凸：曲线切线斜率越来越小，即导函数单减；二阶导数<0.

严格证明见P71定理3.13：利用一阶泰勒公式（P71定理3.12)可得。

机动目录上页下页返回结束设函数在区间I上有二阶导数例4.判断曲线的凸性.解:故曲线在上是向上凸的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:则曲线的凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,机动目录上页下页返回结束2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.例5.求曲线的凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)

及均为拐点.下凸下凸上凸机动目录上页下页返回结束点M

与某一直线L的距离趋于0,四、曲线的渐近线定义.

若曲线

C上的点M

沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C

的渐近线.或为“纵坐标差”机动目录上页下页返回结束只讲：

水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例6.

求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.机动目录上页下页返回结束五、函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.根据第二步判别增减及上下凸区间4.求水平和垂直渐近线;5.在坐标上描出这些特殊点,再依据上面其他三个步骤逐段描绘函数图形.为0和不存在的点，以及对应的极值和拐点（统称特殊点）;并考察其对称性及周机动目录上页下页返回结束例7.

描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)机动目录上页下页返回结束例8.描绘方程的图形.解:1)定义域为2)求特殊点机动目录上页下页返回结束3)判别曲线形态(极大)(极小)4)求渐近线为垂直渐近线无定义机动目录上页下页返回结束5）绘图(极大)(极小)绿色斜渐近线不用画！！！垂直渐近线特殊点