第三章线性系统时域分析法 第6讲

3-6线性系统的稳态误差计算理解误差与稳态误差的概念掌握典型输入信号作用下的稳态误差计算方法和计算结果熟悉减小或消除稳态误差的措施。

3.6线性系统的稳态误差稳定性、动态性能和稳态性能是我们分析系统、评价系统和改善系统时所用的三类重要衡量标准。系统稳定是前提。控制系统的性能

动态性能

稳态性能

稳态误差

稳态误差的不可避免性

摩擦，不灵敏区，零位输出等非线性因素

输入函数的形式不同(阶跃、斜坡、或加速度)系统结构（1）稳态误差的分类原理性稳态误差和结构性稳态误差原理性稳态误差：控制系统由于系统结构、输入的作用类型和形式所产生的稳态误差。结构性稳态误差：控制系统由于非线性因素所引起的系统稳态误差，称为结构性稳态误差(附加稳态误差)。给定信号或扰动信号三种典型外作用元件的不灵敏、零点漂移、老化及机械间隙、摩擦一、误差和稳态误差给定稳态误差(由给定输入引起的稳态误差)和扰动稳态误差(由扰动输入引起的稳态误差)系统的性质不同两种误差在稳态性能分析的地位不同：

随动系统要求系统输出量以一定的精度跟随输入量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性能。恒值系统需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能。3.6.1稳态误差的定义

图控制系统框图输出的实际值

输出的希望值

在实际系统中是可以量测的

(真值很难得到)如果，输出量的希望值，即为输入量。由图可得误差传递函数输入端定义：输入信号与反馈信号之差为作用误差。输出端定义：输出端定义：理想输出值与实际输出值的差值为系统误差。－输出量的理想值两种误差之间的关系两种误差的比较

从输入端定义的误差在实际的物理系统中可以测量，便于实施控制，具有一定的物理意义；从输出端定义的误差在实际的物理系统中有时无法测量(主要指理想输出)，因此只具有数学意义。公式条件：的极点均位于S左半平面（包括坐标原点）输入形式结构形式开环传递函数

给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差，就取决于开环传递函数所描述的系统结构按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的3.6.2系统类型终值定理，求稳态误差。类型3.6.2系统类型令系统开环传递函数为判断系统类型：(1)看开环传递函数分母极点为零的个数；(2)看误差传函的零点为零的个数。,)1()1()()(11³+P+P=-==mnSTSSKsHsGjnjiminnt注意：系统类型与系统的阶数的区别令系统稳态误差计算通式则可表示为分别讨论阶跃、斜坡和加速度函数的稳态误差情况)()()()(00==nnSKsHsGSKsHsGlim)]([lim010+=®+®nnSKsRSessss阶跃信号输入令

所以，根据稳态误差通式和Kp，有Staticpositionerrorconstant要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统1)()(lim1)()(1)(lim0000+=+=+=®®pssssKRsGsHRsGsHsSRe知：由式(1)令)()(lim0=®sGsHKsplim)]([lim010+=®+®nnSKsRSessss0型系统：1、0型系统对阶跃输入的稳态误差为一定值，误差的大小与系统的开环放大系数K成反比，K越大，ess越小，只要K不是无穷大，系统总有误差存在。结论2、具有单位负反馈的1型系统可以准确跟踪阶跃输入信号，稳态误差为0。要准确跟踪阶跃输入信号，必须采用1型及以上系统。step(feedback(tf(1,conv([10],[11])),1))step(feedback(tf(1,[11]),1))step(feedback(tf([21],conv([100],[11])),1))——静态速度误差系数将R(s)=1/s2代入ess斜坡信号输入

0型系统：1型系统：1型以上系统：2、具有单位负反馈的1型系统可以跟随斜坡输入，但有一定的误差(稳态速度误差)。结论3、具有单位负反馈的2型或2型以上的系统可以准确跟踪斜坡输入信号稳态误差为0。1、0型系统在稳态时，不能跟踪斜坡输入信号，最后误差为∞。要准确跟踪速度输入信号，必须采用2型及以上系统。——加速度误差系数将R(s)=1/s3代入ess加速度信号输入

0型系统：1型系统：2型以上系统：2型系统：结论3、具有单位负反馈的3型或3型以上的系统可以准确跟踪加速度输入信号，稳态误差为0。2、具有单位负反馈的2型系统可以跟随加速度输入信号，但有一定的误差(稳态加速度误差)。要准确跟踪加速度输入信号，必须采用3型及以上系统。1、0型和1型系统在稳态时，不能跟踪加速度输入信号，最后误差为∞。响应时间为5s时的响应曲线（从图中可以看出3型系统跟踪输入信号的能力很强）系统型别、静态误差系数与输入信号之间的关系型

别

静态误差系数

阶跃输入

)(1)(tRtr×=斜坡输入

Rttr=)(

加速度输入

2)(2Rttr=

n

pK

vK

aK

1PssKRe+=VssKRe=

assKRe=

0

K

0

0

)1(KR+

∞

∞

Ⅰ

∞

K

0

0

KR

∞

Ⅱ

∞

∞

K

0

0

KR

Ⅲ

∞

∞

∞

00

0减小或消除误差的措施：增加开环增益

K

、提高系统的型别

。如果系统承受的输入信号是多种典型信号的组合由叠加原理知稳态误差至少选用2型系统，否则稳态误差为∞。选择高型别系统可以较准确地跟踪输入信号，但在系统的动态性能要求上不易满足。例1已知单位反馈系统的开环传递函数，求输入为r(t)=2+2t+t2时，系统的稳态误差。解：(1)列劳斯表判断系统的稳定性系统特征式为：由劳斯表知系统稳定。开环增益K=0.1注意要化成尾1形式系统型别υ=2当时，当时，当时，当时，(2)求稳态误差例2已知单位反馈系统的开环传递函数，求位置误差系数Kp、速度误差系数Kv、加速度误差系数Ka。解：开环增益系统型别υ=1所以：Kp=∞，Ka=0利用静态误差系数求解稳态误差的前提：（1）系统必须是稳定的；（2）输入信号必须是三种典型信号（阶跃信号、速度信号、加速度信号）或是它们的线性组合。静态误差系数定量描述了系统跟踪不同形式输入信号（三种典型输入信号）的能力，但求得的是系统的终值误差，不能表示稳态误差随时间的变化规律；当系统输入信号为其他形式的函数时，静态误差系数不能使用；研究t趋于无穷理论上有意义，实际上没有太大意义。为此引入动态误差系数的概念

动态误差系数法能够表示误差随时间变化的规律。

一般地将在s＝0的邻域内进行泰勒展开

则3.6.3动态误差系数

对上式求拉氏反变换令——称为动态误差系数则其中：C0——动态位置误差系数；C1——动态速度误差系数；C2——动态加速度误差系数稳态误差与动态误差系数，输入信号及其各阶导数的稳态分量有关。说明：（1）“动态”是描述ess(t)的变化规律，与瞬态分量不同（2）用求出的是稳态误差ess(t)动态误差系数的计算：（1）按定义计算（2）用长除法3.6.4扰动作用下的稳态误差负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。扰动不可避免它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。

扰动稳态误差控制对象

控制器干扰信号作用下的稳态误差称为扰动稳态误差。R(s)-B(s)+N(s)C(s)E(s)扰动输入作用下的传函：扰动输入作用下的输出：扰动误差：扰动稳态误差：如果扰动是单位阶跃函数，则在扰动作用点以前的系统前向通路环节G1(s)的放大系数(传递函数)越大，则由一定扰动引起的稳态误差越小。扰动位置不同引起的误差可能不同如果在G1(s)或H(s)中包含有积分环节，则扰动稳态误差为0。结论：例3控制系统如图所示，R(s)=R0/s,N(s)=n0/s，求系统的稳态误差。R(s)-B(s)+N(s)C(s)E(s)解：开环传递函数为：在干扰作用下的输出：系统为1型系统，对阶跃输入信号的稳态误差为0。在干扰作用下的稳态误差：3.6.5减小和消除稳态误差的措施增大系统开环增益或扰动点之前系统的前向通路增益在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节采用串级控制抑制内回路扰动采用复合控制方法增大系统开环增益或扰动作用点之前系统前向通路增益

1、减小由给定信号引起的稳态误差(增大K)；2、减小由扰动信号引起的稳态误差(增大K1)。

R(s)-B(s)+N(s)C(s)E(s)控制器G1(s)的放大系数扰动误差阻尼振荡在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节R(s)-B(s)+N(s)C(s)E(s)在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节比较两个系统，在单位阶跃输入信号下的稳态误差。闭环回路提高稳态精度如果稳态增益G0（0）