第三章学案2 概率的基本性质

开始学点一学点二学点三1.一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称

(或称

),

记作

(或

).2.一般地,若

,且

,那么称事件A与事件B相等,记作A=B.3.若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的

(或

)，记作

(或

).事件B包含事件A事件A包含于事件B和事件并事件A∪BA+B返回4.若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称事件为事件A与事件B的

(或

),记作

(或

).5.若A∩B为不可能事件(A∩B=),那么称事件A与事件

B

.6.若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A

与事件B互为

.7.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则

.积事件交事件互斥对立事件A∩BABP（A∪B）=P（A）+P（B）返回学点一判断事件之间的关系

【分析】本题考查互斥事件与对立事件的概念.1.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)恰有1名男生与恰有2名男生;(2)至少有1名男生与全是男生;(3)至少有1名男生与全是女生;(4)至少有1名男生与至少有1名女生.返回

【解析】(1)因为“恰有1名男生”与“恰有两名男生”不可能同时发生,所以它们是互斥事件;当恰有两名女生时它们都不发生,所以它们不是对立事件.

(2)因为恰有两名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生,所以它们不是互斥事件.

(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥;由于它们必有一个发生,所以它们对立.

(4)由于选出的是一名男生一名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.返回

【评析】互斥事件是概率知识中的重要概念,必须正确理解.

(1)互斥事件是对两个事件而言的.若有A,B两个事件,当事件A发生时,事件B就不发生;当事件B发生时,事件A就不发生(即事件A,B不可能同时发生),我们就把这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件,否则就不是互斥事件.

(2)对互斥事件的理解,也可以从集合的角度去加以认识.如果A,B是两个互斥事件,反映在集合上,是表示A,B这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交.如果事件A1,A2,A3,…,An中的任何两个都是互斥事件,即称事件A1,A2,…,An彼此互斥,反映在集合上,表现为由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交.返回

【分析】根据互斥事件与对立事件的定义进行判断,判断是否为互斥事件,主要看两事件是否同时发生;判断是否为对立事件,首先看是否为互斥事件,然后再看两事件是否必有一个发生,若必有一个发生,则为对立事件,否则,不是对立事件.2.判断下列给出的每对事件,是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明道理.

从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1到10各

10张)中,任取一张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.返回

【解析】(1)是互斥事件,不是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件,同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,两者不是对立事件.

(2)既是互斥事件,又是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”,两个事件不可能同时发生,且其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.

(3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件.返回

【评析】搞清对立事件与互斥事件的区别与联系是解题的关键.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得点数为10,因此,两者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.返回某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报”,事件B为“至少订一种报”,事件C为“至多订一种报”,事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.解:(1)由于事件C“至多订一种报”中有可能“只订甲报”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.

(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B发生可导致返回事件E一定不发生,且事件E发生会导致事件B一定不发生,故B与E还是对立事件.

(3)事件B“至少订一种报”中有可能“只订乙报”,即有可能“不订甲报”,即事件B发生,事件D也可能发生,故B与D不互斥.

(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能:“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”;事件C“至多订一种报”中有这些可能:“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”.由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件.

(5)由(4)分析可知,事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能,故事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不互斥.返回(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？2.经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下:

【分析】本题考查互斥事件求概率.

【解析】记事件在窗口等候的人数为0,1,2,3,4,5人及5人以上分别为A,B,C,D,E,F.

(1)至多2人排队等候的概率是P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.排队人员012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04返回学点二利用概率加法公式和求概率

(2)方法一:至少3人排队等候的概率是P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.方法二:因为至少3人排队等候与至多2人排队等候是对立事件,故由对立事件的概率公式,至少3人排队等候的概率是P(D∪E∪F)=1-P(A∪B∪C)=1-0.56=0.44.∴至多2人排队等候的概率是0.56,至少3人排队等候的概率是0.44.返回

【评析】（1）必须分析清楚事件A,B互斥的原因，只9有互斥事件才可考虑用概率加法公式.

(2)所求的事件，必须是几个互斥事件的和.

(3)满足上述两点才可用公式P(A∪B)=P(A)+P(B).

(4)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时,可先转化为求其对立事件的概率.返回目录返回如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是,取到方块(事件B)的概率是,问:(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少?(1)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?解:(1)事件A与事件B不可能同时发生,所以事件A与B是互斥事件,且C=A∪B.故由互斥事件的概率加法公式得P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=∴取到红色牌的概率是.返回

(2)当取一张牌时,取到红色牌与取到黑色牌不可能同时发生,所以事件C,D是互斥事件,又事件C与D必有一个发生,所以C与D为对立事件,∴P(D)=1-P(C)=∴取到黑色牌的概率是.返回学点三将较复杂的事件分解成互斥事件试解释下列情况中概率的意义:同时抛掷两枚骰子,求至少有一个5点或6点的概率.

【分析】视其为等可能事件,进而求概率.

【解析1】同时抛掷两枚骰子,可能结果如下表:1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)返回

【分析2】利用对立事件求概率.共有36个不同的结果，其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率P（A）=

【解析2】至少有一个5点或6点的对立事件是没有5点或6点，如上表，没有5点或6点的结果共有16个，则没有5点或6点的概率为.至少有一个5点或6点的概率为.返回

【评析】(1)本题常出现的错误有两类：一类是不符合题意，认为含5的有6个，含6的有6个，∴至少有一个5点或6点的共有12个，从而所求概率为；另一类是没有搞清楚A,B是否为互斥事件，直接利用公式P（A∪B）=P(A)+P(B)=

.（2）解题时，将所有基本事件全部列出来是避免重复和遗漏的有效方法；对于用直接法难于解决的问题，可求其对立事件的概率，进而求得其概率.返回一枚硬币连掷3次,求至少出现一次正面的概率.解:记A1表示“掷3次硬币有一次出现正面”,A2表示“掷3次硬币有两次出现正面”,A3表示“掷3次硬币有三次出现正面”,A表示“掷3次硬币至少出现一次正面”.因为每次掷硬币会出现正反面两种情况,所以掷3次硬币总情形数为2×2×2=8.又因为A1包含三个基本事件,A2包含三个基本事件,A3包含一个基本事件,且易知A1,A2,A3互斥,所以P(A)=P(A1)+P（A2）+P（A3）返回

即至少出现一次正面的概率为.方法二：用

表示“掷3次硬币，三次均出现反面”的事件，且=18，根据对立事件的概率满足

P(A)+=1.

所以P(A)=1-

=

即至少出现一次正面的概率为.返回

(1)两个事件互斥是指由事件A,B所含的结果所组成的集合的交集是空集.

(2)若事件A与B是互斥事件,那么在事件讨论的全过程中,事件A与B同时发生的机会一次都没有,即事件A或B发生与否有三种可能:①A发生,B不发生;②A不发生,B发生;③A,B都不发生.

(3)两个事件互斥的定义可以推广到n个事件中去,三个或三个以上的事件彼此互斥是指它们中的任何两个事件都是互斥的.1.如何理解互斥事件?返回2.如何理解对立事件?

(1)确定对立事件的条件①两事件不能同时发生,即对立事件是以两事件互斥为前提;②在同一次试验中,必有一个发生.

(2)事件A与的结果构成集合间的关系①A∩=;②A∪=Ω,两个对立事件的关系,如图3-2-1所示.关于“对立事件”,应从以下三个方面加深对它的理解.

(ⅰ)强调语句图3-2-1返回对立事件的定义强调了两条:①不可能同时发生,即对立事件是以互斥事件为前提的;②必有一个发生.

(ⅱ)A与用表示A的对立事件,从集合的角度看,A和所含的结果组成的集合是全集中互为补集的两个集合,这时A和的交是不可能事件,A和的并是必然事件，即A∩

=,A∪

=Ω.返回3.如何理解对立事件的概率加法公式?对立事件A与的概率之和等于1，即P(A)+P()=1.常见变形:P()=1-P(A)或P(A)=1-P().(1)∵A,是互斥事件且A∪=Ω,又∵P(A∪)=P(Ω)=1,∴P(A)+P()=1.(2)公式P()=1-P(A)很有用,常可使概率的计算得到简化,当直接求某一事件的概率较为复杂时,可转而去求其对立事件的概率.返回

(1)对立事件是针对两个事件来说的.一般地,两个事件对立,则这两个事件是互斥事件;反之,若两事件是互斥事件,则这两个事件未必是对立事件.如掷骰子试验中,“出现奇数点”与

“出现偶数点”是对立事件;“