数值分析方法

2.2迭代法2.2.1迭代原理2.2.2迭代的收敛性2.2.3迭代的收敛速度2.2.4迭代的加速预备定理2.2.1迭代原理计算结果见下表

方程f(x)=0化为等价形式的方程x=φ(x)，构造迭代公式xk+1=φ(xk

),k=0,1,2,……取初始近似根x0

,进行迭代计算x1=φ(x0),x2=φ(x1),……..则有x1,

x2,,…….,xk

,

…….,得到迭代序列{xk

}.如果这个序列有极限，则迭代公式是收敛的。这时

则，x*

为不动点，等价地有f(x*)=0,x*

即为方程的根。连续函数φ(x)称为迭代函数。实际计算到|xk–xk-1|<ε（ε是预定的精度），取x*≈xk

。

迭代公式收敛指迭代序列{xk

}收敛，迭代公式发散指迭代序列{xk

}不收敛，即发散。迭代公式不一定总是收敛。例如求方程

f(x)=x3-x-1=0的一个根。对应的迭代公式为取初值迭代序列{xk

}发散.x1=φ(x0)x2=φ(x1)迭代法收敛与发散的图示迭代法的收敛与发散收敛的情形发散的情形2.2.2迭代的收敛性迭代法的收敛条件及误差估计式定理（充分性条件）

设函数

φ(x)

在[a,b]上连续，且(1)对x∈[a,b],有φ

(x)∈[a,b](2)存在0<L<1，使对任意x∈[a,b]有

|φ

′(x)|≤L<1则方程x=φ(x)在[a,b]上的根x*存在且唯一；对初值

x0∈[a,b]

,迭代过程xk+1=

φ

(xk)均收敛于方程的根x*。定理中的(1)对x∈[a,b],有φ(x)∈[a,b]，称为适定性（映内性）。证明先证根的存在性。作连续函数ψ(x)=x-φ(x),由条件（1）x∈[a,b],φ

(x)∈[a,b]，即a≤φ(x)、x≤b,于是

ψ(a)=a-φ

(a)≤0

ψ(b)=b-φ(b)≥0

由于ψ(x)是连续函数，故必存在

x*∈[a,b]

使ψ(x*)=0.即ψ(x*)=x*-φ(x*)=0.于是

x*=φ

(x*)即x*为方程

x=φ

(x)的根。其次，证根的唯一性。

设y*也是方程的根，则x*=φ(x*),y*=φ(y*),x*-y*=φ(x*)–φ(y*)=φ′(ξ)(x*-y*)x*-y*–φ′(ξ)(x*-y*)=0，（x*-y*）[1-

φ′(ξ)]=0由条件（2）|φ′(x)|≤L<1，故有x*-y*=0，即x*=y*所以方程在[a,b]的根唯一。

再证迭代的收敛性。由xk=φ(xk-1),x*=φ(x*),有|xk-x*|=|φ′(ξ)(xk-1-x*)|≤L|xk-1-x*|≤L2|xk-2-x*|≤L3|xk-3-x*|≤……≤Lk|x0-x*|→0（k→∞）

所以，对[a,b]上任取的x0,迭代公式xk+1=φ(xk

)都收敛于x*。L越小收敛得越快。定理是充分性条件xk-x*=φ(xk-1)–φ(x*)=φ′(ξ)(xk-1-x*)推论：在定理的条件下，有误差估计式验后误差估计式验前误差估计式证明：|xk-x*|≤L|xk-1-x*|=L|xk-1-xk+xk-x*|≤L（|xk-x*|+|xk-1-xk|）（1-L)|xk-x*|≤L|xk-1-xk|迭代法的终点判断：只要相邻两次迭代值的偏差充分小，就能保证迭代值足够准确，因而用|xk-xk-1|控制迭代过程的结束。定理设在区间[a,b]上方程x=φ(x)有根x*,且对一切x∈[a,b]都有|

φ′(x)|≥1，则对于该区间上任意x0(≠x*),迭代公式xk+1=φ(xk

)一定发散。证明不可能收敛于0。计算结果见下表取方程的根2.0946。由于，故取

迭代法的局部收敛性由于在实际应用中根

x*

事先不知道，故条件|φ′(x*)|<1无法验证。但已知根的初值x0在根

x*邻域，又根据φ′(x)的连续性，则可采用

|φ′(x0)|<1来代替|φ′(x*)|<1，判断迭代的收敛性。

例求方程

x=e

–x在x=0.5附近的一个根，按5位小数计算，结果的精度要求为ε=10–3.解迭代公式xk+1=e

–xk，取φ

(x)=e–x,迭代公式xk+1=e

–xk收敛。迭代结果:

0123450.50.606530.545240.579700.560070.57117

0.10653－0.061290.03446－0.019630.011106789100.564860.568440.566410.567560.56691－0.006310.00358－0.002030.00115－0.00065kxkxk–xk-1xk–xk-1k

xk|x10-x9|=0.00065<ε，故x*≈x10≈0.567x0=