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文档简介

习题课一、主要内容二、典型例题

第八章重积分的计算及应用良乡1-101工科数学分析Ⅱ07011401、07011402、07011406良乡1-106工科数学分析Ⅱ05941402考试时间：2015年5月9日（第9周周6）上午9:50-11:50良乡1-102工科数学分析Ⅱ07011407、08111401、08111402良乡1-105工科数学分析Ⅱ08111403、08111404定义几何意义性质计算法应用二重积分定义物理意义性质计算法应用三重积分一、主要内容1、二重积分的定义２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体积的负值．性质１当为常数时，性质２３、二重积分的性质性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积性质５若在D上，特殊地性质６性质７（二重积分中值定理）性质8设函数D位于

x轴上方的部分为D1,当区域关于

y轴对称,函数关于变量

x有奇偶性时,在

D上在闭区域上可积,域D关于x轴,则则仍有类似结果.对称，若４、二重积分的计算［X－型］

X-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（１）直角坐标系下

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.［Y－型］（２）极坐标系下5、二重积分的应用(1)体积设S曲面的方程为：曲面S的面积为(2)曲面积当薄片是均匀的，重心称为形心.(3)重心薄片对于x轴的转动惯量薄片对于y轴的转动惯量(4)转动惯量薄片对

轴上单位质点的引力为引力常数(5)引力6、三重积分的定义7、三重积分的几何意义8、三重积分的性质类似于二重积分的性质．对称性9、三重积分的计算(１)直角坐标(２)柱面坐标(３)球面坐标10、三重积分的应用(１)质心(２)转动惯量在闭区域D上可积,若域D关于线关于轮换对称性在重积分计算中的应用y=x对称,则有(2)设函数在空间有界闭区域则有上可积,(1)设函数域若将的形状不变，例1

计算二重积分在第一象限部分.其中D

为圆域解

两部分作辅助线将D分成二、典型例题例2计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)

利用对称性.围成.(2)

积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得例3计算二重积分其中:D:例4计算三重积分其中:例5求例6

证例7

证从改变积分次序入手．例8解:

在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中例9证明证:左端=右端例10设函数f(x)

连续且恒大于零,其中(1)讨论F(t)

在区间(0,+∞)

内的单调性;(2)证明t>0

时,解:

(1)

因为两边对

t

求导,得(2)

问题转化为证即证故有因此t>0

时,因例11如图所示交换下列二次积分的顺序:解:例12计算其中:

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