拉普拉斯变换2

Chapter13拉普拉斯变换主要内容1.拉普拉斯变换的定义；2.拉普拉斯变换的基本性质；3.拉普拉斯反变换的部分分式法（分解定理）；4.KCL、KVL的运算形式、运算阻抗(导纳)、运算电路；5.运用拉普拉斯变换分析线性电路。§13-1拉普拉斯变换的定义定义在[0,)即(0t<)区间的函数f(t)，它的拉氏变换式为F(s)

①F(s)称为f(t)

的象函数，f(t)

称为F(s)

的原函数。

1、拉普拉斯变换②拉氏变换是一种积分变换，把f(t)

与e-st

构成的乘积由

t=0-到∞对t进行积分，定积分的值不再是t的函数，而是复变数s的函数。③

拉氏变换把时域函数f(t)

变换到s

域复变函数F(s)

。④运算法（复频率分析）：应用拉氏变换进行电路分析。s=+j为复数，有时称为复频率。2、拉普拉斯反变换拉氏变换

拉氏反变换

例13-1：求以下函数的象函数。(1)单位阶跃函数f(t)=(t)

(2)单位冲激函数f(t)=(t)

(3)指数函数f(t)=e

t解：(1)单位阶跃函数(t)

的象函数(2)单位冲激函数(t)

的象函数(3)指数函数e

t

的象函数例13-2：求f(t)=(t-T)的象函数。解：推论：§13-2拉普拉斯变换的基本性质

1.线性性质2.微分性质

例13-3：若（1）,（2）,求其象函数。解:（1）（2）3.积分性质例13-4：应用导数性质求下列函数的象函数。解：(1)(2)例13-5：利用积分性质求单位斜坡函数f(t)=t

的象函数。解：4.延迟性质

例13-6：求下图所示矩形脉冲的象函数。解：常用函数的拉氏变换表（表13-1PP294）。§13-3拉普拉斯反变换的部分分式展开2.用部分分式展开有理分式F(s)

时，首先要把有理分式化为真分式，若n>m

，则为真分式；若n=m，则将化为1.电路响应的象函数通常表示为两个实系数的s

的多项式之比，也就是s

的一个有理分式。3.展开有理分式F(s)

时，要求出D(s)

=0的根，再根据根的不同情况展开。①D(s)

=0有n个单根，n个单根分别为p1,p2,…,pn,则可展开为为待定系数例13-7：求的原函数f(t)。解：∵∴的根分别为又同理故②D(s)

=0具有共轭复根，p1=+j,p2=-j,则因F(s)是实系数多项式之比，故k1,k2

为共轭复数设,则,有例13-8：求的原函数f(t)。解：D(s)

=s2+2s+5=0

的根分别为p1=-1

+j2,p2=-1

-j2

③D(s)

=0具有重根，则应含有(

s-p1)m的因式现设D(s)

=0中含有(

s-p1)m

的因式，其余为单根，F(s)可分解为b,a,只要含有共轭复数，其系数则为共轭复数;这里例13-9：求的原函数f(t)。解：令D(s)

=(s+1)3s2=0,有p1=-1为三重根,p2=0

为二重根这里§13-4运算电路2.元件电压、电流关系的运算形式1.基尔霍夫定律的运算形式①电阻R的电压、电流关系②电感L的电压电流关系sL

为电感L的运算阻抗，为运算导纳，或，为反映作用的附加电压源电压和附加电流源电流。③电容C

的电压电流关系和分别为C的运算阻抗和运算导纳。和分别为反映的附加电压源电压和附加电流源电流。④耦合电感的运算电路

a.为互感运算阻抗，和都是附加电压源。b.附加电压源的极性与

i1,i2

的进端是否同名端有关。3.用运算法分析串联电路电压源电压为，电感电流初始值，电容电压初始值由，则令为RLC

串联电路的运算阻抗，在零初始条件下，，则有

例13-10：用拉氏变换求RLC

串联电路的(a)阶跃响应；(b)零输入响应。（设，欠阻尼）。解：(a)，此时有令，则得查表可得：(b)设，则有查表可得:(c)如求冲激响应，则有§13-5应用拉普拉斯变换分析线性电路1.相量法正弦量→相量求解正弦交流电路→求解以相量为变量的线性代数方程相量→正弦量相量方程：描述电路的激励相量与响应相量的关系，求解正弦稳态响应2.运算法时间函数→象函数求解时间函数→求解以象函数为变量的线性代数方程象函数→时间函数运算方程：描述电路的激励和响应的象函数关系，求解零状态响应。结论：相量法中各种计算方法和定理完全可以移用于运算法。

例13-11：图示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，试用运算法求解电流i1(t)。解：∵∴运算电路如图所示。设回路电流为Ia(s)、Ib(s)，方向如图中所示，则有

例13-12：下图所示为RC

并联电路，激励为电流源is(t)，若(1)iS(t)=(t)

A，(2)iS(t)=

(t)

A，试求响应u(t)。解：运算电路如右图，则有（1）当iS(t)=(t)A

时，(2)当iS(t)=

(t)A

时，例13-13：下图所示电路中，电路原处于稳态，t=0时将开关S闭合，已知uS1=2e-2t

V,uS2=5V,R1=R2=5,L=1H,

求t

0时的uL(t)。解：∵∴运算电路如右图所示。应用结点法（弥尔曼定理），有

例13-14：下图所示电路中，已知R1=R2=1,L1

=L2

=0.1H,M=0.05H,激励为直流电压

US=1V，试求t=0时，开关闭合后的电流

i1(t)和i2(t)。解：运算电路如右图所示，回路电流方程为解得：

例13—15：下图所示电路，开关S原来是闭合的，试求S打开后电路的电流及两电感元件上的电压。解:开关S打开后，L1

和L2中的电流在t=0