3.2 函数的单调性-(人教A版2019必修第一册) (学生版)

函数的单调性1函数单调性的概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D∈I:如果∀x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(如果∀x1,x2∈D，当x1<x2时，都有fx1>f(Eg：y=1x在特别注意它的减区间是0,+∞,(-∞,0)，不是0,+∞2单调性概念的拓展①若y=f(x)递增，x2>x比如：y=f(x)递增，则f(a②若y=f(x)递增，fx2≥f(比如：y=f(x)递增,f(1-m)≥f(n),则1-m≥n.y=f(x)递减，有类似结论！3判断函数单调性的方法①定义法解题步骤(1)任取x1,x(2)作差f(x(3)变形(通常是因式分解和配方)；(4)定号(即判断差f(x1)(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．②数形结合③性质法增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；但增函数×增函数不一定是增函数，比如y=x，y=x-2均是增函数，而y=x(x-2)不是.④复合函数的单调性(1)如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、比如：Fx=1x2+x(Fx=1-2x(f(u)=uFx=21x((2)同增异减设函数u=g(x)(x∈A)的值域是M，函数y=f(u)(u∈M)若y=fu,u=g(x)在各自区间单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在区间若y=f(u),u=g(x)在各自区间单调性不同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递减.4函数的最值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈I，都有fx≤M；(2)∃x那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.(最小值类似定义)简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.

【题型一】对函数单调性的理解【典题1】函数y=f(x)在R是增函数，若a+b≤0，则有()A.fC.f【典题2】已知函数f(x)在R上是单调函数，且对任意x∈R，都有f(fx-2x巩固练习1(★★)设a∈R，函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数，则(A．f(a2+a+2)>f(C．f(a2+a+2)≥f(2(★★)已知f(x)是定义在[0,+∞)上单调递增的函数，则满足f(2x-1)<f(13)的x【题型二】判断函数单调性的方法方法1定义法【典题1】判断f(x)=x+4x在(0,2),(2,+∞)方法2数形结合【典题2】函数fx=x1-xA.-∞,1B

.-∞,1∪1,+∞C.方法3复合函数的单调性【典题3】函数fx=x2巩固练习1(★)下列四个函数在(-∞,0)是增函数的为()A．fC．f2(★)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()A．y=1f(x)在R上为减函数 B．y=|f(x)|在RC．y=-1f(x)在R上为增函数 D．3(★)函数f(x)=x|x-2|的递减区间为．4(★)函数y=x2+3x的单调递减区间为5(★★)函数f(x)=|12x-2|的单调递增区间为6(★★★)已知函数fx=x-a(1)求a的取值范围；(2)若方程fx=10存在整数解，求满足条件a的个数.7(★★★)函数fx,g(x)在区间①f(x)为增函数，fx>0；②g(x)为减函数，判断fxg(x)在【题型三】函数单调性的应用角度1解不等式【典题1】已知函数f(x)=(12)x-x3角度2求参数取值范围或值【典题2】若f(x)=ax2+1,x≥0(a2-1)∙2ax角度3求函数最值【典题3】已知函数fx(1)当a=1时，求f(x)的值域；(2)当a>0时，求函数f(x)在区间[0,+∞)上的最小值．巩固练习1(★★)已知函数f(x)=2x+1x-1，其定义域是[-8,-4)，则下列说法正确的是(A．f(x)有最大值53，无最小值 B．C．f(x)有最大值75，无最小值 D2(★★)若f(x)=ax,x≥1-x+3a,x<1是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为3(★★)若函数fx=x2-2ax+1-a在[0,2]上的最小值为-1．则a4(★★)已知函数f(x)=x-2，若f(2a2-5a+4)<f(a2+a+4)5(★★)已知函数fx=|x-1|+|2x+a|的最小值为2，则实数a的值为6(★★★)已知函数fx=2x-ax的定义域为(0，(1)当a=1时，求函数y=f(x)的值域；(2)求函数y=f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时【题型四】抽象函数的单调性定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)对所有的正数x、f2=-1且当x>1(1)求f(1)的值(2)判断并证明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性(3)若关于x的不等式fkx-f(x2-kx+1)≥1在巩固练习1(★★★)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足下