4.2 对数函数-(人教A版2019必修第一册) (教师版)

对数函数1对数的概念①概念一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a(a底数，N真数，loga②两个重要对数常用对数以10为底的对数，log10N自然对数以无理数e为底的对数的对数，logeN③对数式与指数式的互化x=lo对数式指数式④结论(1)负数和零没有对数(2)lo特别地，lg10=1，lg1=0，lne=12对数的运算如果a>0，a≠1,M>0,N>0,有①loga(MN)=log③logaMn=nlo⑤换底公式lo利用换底公式推导下面的结论①logab=1logb特别注意：logaMN≠lo3对数函数①对数函数的概念函数y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数，其中②图像与性质图像a>10<a<1定义域(0,值域R过定点(1,0)奇偶性非奇非偶单调性在(0,+∞在(0,+∞变化对图像的影响在第一象限内，α越大图象越靠低；在第四象限内，α越大图象越靠高．【题型一】对数的化简与求值【典题1】求值2【解析】2==log=2-3+1=0【典题2】若x,y,z∈R+，且3x=4y=12z【解析】令3x则x=log3k=lgklg3(利用换底公式，把数值化为同底，有利于x+yz求值去掉k∴x+y(∵x+yz∈(n,n+1)，∵0<lg3lg4<1∴∴lg3∵lg4lg3<2,则x=lg3lg4则n=4．巩固练习1(★)已知函数f(x)=&3x(x≤0)【答案】1【解析】∵f(x)=&3x(x≤0)则f[f(12(★)lg22+lg5×lg20+20160【答案】102【解析】lg2＝lg22=lg2+lg5=1+1+100=102．3(★★)求值:lg8+lg125-lg2-lg5lg10⋅lg0.1=【答案】-4【解析】lg8+lg125-lg2-lg54(★★)求值:2log214【答案】-3【解析】2=1=1＝-3．故答案为：-3．5(★★)若a>1，b>1且lg(1+ba)=lgb【答案】0【解析】∵a>1，b>1且lg(1+b∴1+ba=b∴lg(a-1)+lg(b-1)=lg[(a-1)(b-1)]=lg(ab-a-b+1)=lg1=0．故选：C．6(★★★)已知2a=7b=m，1【答案】28【解析】∵2a=7b∵1a+∴m=27故答案为28．7(★★★)已知a>b>1，若logab+logba=5【答案】8【解析】∵log∴1∴2(logba)2∵a>b>1；∴logba>1；∴lo又ab∴b2b=bb2；∴b2=2b；∴ab=8．故答案为：8．【题型二】对数函数的图象及应用【典题1】函数y=loga(|x|+1)(a>1)A．B．C．D．【解析】方法1y=log因a>1，由对数函数的性质易得选B.方法2函数图象变换左移1个单位去掉y故选B．【点拨】涉及对数函数型的函数y=f(x)，往往需要得到其图象，方法有①利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；②利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.【典题2】设a,b,c均为正数，且2a=log12a，(1A．a<b<c B．c<b<a【解析】分别作出四个函数y=(12)x,y=log12【点拨】①2a=log12a中②函数y=2x与y=log2x互为反函数，图象关于直线y=x对称.函数【典题3】已知f(x)=&3|log3x|,0<x≤3&(x-4)(x-6),x>3，若f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，且a<b<c<d，则思考痕迹已知条件f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，相当于y=f(x)与一直线y=k相交于四个点，四点的横坐标是a、b【解析】先画出f(x)=&3|log∵a,b,c,d互不相同，不妨设a<b<c<d．且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，3<c<4．由图可知log3a=log3b∴-log3a=log故abcd=c10-c=-(c-5)由二次函数的知识可知21<-c∴abcd的范围为(21,24)．【点拨】遇到分段函数，经常用数形结合的方法画出函数图象，注意一些关键的临界值，比如x=3处.巩固练习1(★)已知lga+lgb=0，函数f(x)=ax与函数gx=-A． B． C． D．【答案】B【解析】∵lga+lgb=0，∴ab=1则b=从而gx=∴函数f(x)与函数g(x)的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B，故答案为B2(★)已知图中曲线C1,C2,C3,C4分别是函数y=logaA．a4<a3<C．a2<a1【答案】B【解析】选B.由已知图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，再利用loga3(★★)已知函数f(x)=|lnx|，若0<a<b，且f(a)=f(b)，则a+5b的取值范围是()A．(25，+∞) B．[25，+∞) C．(6,+∞)【答案】C【解析】函数f(x)=|lnx|⇔f(x)=-lnx(0<x<1)又因为0<a<b，故0<a<1，b>1，又知道f(a)=f(b)，∴－lna=lnb，即∴设t=a+5b=a+5∵由对勾函数的性质可知,t在(0,1)上单调递减，∴t>1+5=6，即a+5b>6故选：C．4(★★)已知函数f(x)=|loga|x-1||(a>0,a≠1)，若x1<xA．2 B．4C．8【答案】B【解析】函数f(x)=|log有图可知，函数f(x)=|loga|x又∵x1<则x1故选：B5(★★★)已知函数f(x)=|log2(x-1)|，g(x)=12A．x1x2<1【答案】C【解析】不妨设x1作出f(x)和g(x)的图象，由图象知x1<2，则f(x则f(x即(x1－1)(x故选：C．6(★★★)已知函数f(x)=|log2x|,0<x≤8-14x+5,x>8，若a,b,c互不相等，且【答案】8,20【解析】根据已知画出函数图象：不妨设a<b<c，∵f(a)=f(b)=f(c)，∴－∴log2(ab)解得ab=1，8<c<20，∴8<abc<20．故答案为(8,20)．7(★★★)已知函数f(x)=|log2x|，g(x)=12x，若对任意x∈[a,+∞)，总存在两个x0【答案】[2,+∞)【解析】f(x0)=1g(x)作出f(x)在[12，4]∵对任意x∈[a,+∞)，总存在两个x0∈[1∴0<2a≤1故答案为[2,+∞)．【题型三】对数函数的性质及应用角度1比较对数式的大小【典题1】已知a=log27,b=log38,c=0.30.2A．c<b<a B．a<b<c【解析】由题意，可知a=log27∵1<log38∴c<b<a．故选A．【典题2】设a=log23,b=43A．b<a<cB．c<a<b【解析】∵a=log∴a,b,c的大小关系为c<b<a．故选D．【典题3】已知a=log52，b=log0.50.2，c=0.50.2，则aA．a<c<b B．a<b<c【解析】由题意，可知a=log52b=log0.50.2=lo∴b最大，a、c都小于1，(b,c还比较不出来，进一步估值)∵a=log5∴a<c，(引入第三数12比较∴a<c<b，故选：A．【点拨】比较对数的大小，主要是利用对数函数的单调性，具体方法有①把对数化为同底，利用对数函数的单调性比较大小；②若不能化为同底，可对对数进行估值，一般可以与0，1比较大小；③利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.角度2求解对数型不等式和方程【典题1】方程log2(x-1)=2-log2【解析】∵log∴log∴x-1=4x+1，解得检验得x=-5不符合，(注意真数的范围∴方程log2(x-1)=2-故答案为{5【典题2】不等式log2(x2【解析】log∴0<x2-1<8解得-3<x<-1或1<x<3.【点拨】在处理对数的方程和不等式时不要忘记了“对数logax中真数x>0”角度3对数型函数综合问题【典题1】函数y=log12【解析】∵t=x∴内层函数的值域[8,+∞),而y=log12t在∴函数y=log12(【点拨】复合函数的值域先求内层函数值域再求外层函数.【典题2】已知函数f(x)是R上的奇函数，且满足fx+2=-f(x)，当x∈(0,1]时，fx=2【解析】函数f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，由fx+2=-f(x)，可得f(x+2)=f(-x)，∴f(x)的有条对称轴由fx+2=-f(x)，可得f(x+4)=f(x)，∴f(x)的周期(注由以上已知，较容易画出y=f(x)的图象，作图步骤如下①画fx=2x－1,x∈(0,1)②根据奇函数的性质④由周期T=4可得)作出在同一坐标系中画y=f(x)和g(x)=log注意到g(9)=1,g(-7)>1，(注意一些临界的位置)从图象不难看出，其交点个数7个．【点拨】①遇到函数综合性质问题(有单调性，对称性，周期性等)，一般通过数形结合的方法处理；②fx+a=fx+bfx+a=ffx+a=-ffx+a=1【典题3】设a>0，b>0，则下列叙述正确的是()A．若lna-2b>lnb-2a，则a>b B．若lna-2b>lnb－2aC．若lna-2a>lnb-2b，则a>b D．若lna-2a>lnb－2b【解析】方法1构造函数法∵y=lnx与y=2x均为增函数，故f(x)=lnx+2x在(0,+∞)上为增函数，故f(a)>f(b)⇔a>b>0，即lna+2a>lnb+2b⇔a>b>0，即lna-2b>lnb-2a⇔a>b>0，故选A．方法2取特殊值排除法对于A、令a=1，b=1e，代入lna-2b>lnb-2a得而a>b，此时可排除选项B；对于选项C、令a=1，b=e，代入lna-2a>lnb-2b得-2>1-2e显然成立，而a<b可排除选项C；令a=1，b=1e2，代入lna-2a>lnb-2b得-2>-2-2e故选A．【点拨】①方法1通过构造函数f(x)=lnx+2x，利用其单调性进行选项判断.构造函数的方法到了高二还经常见，可以先熟悉先！②方法2“取特殊值排除法”，在取数时一定要满足题目要求，尽量取容易计算的数值，要大胆尝试，能排除一个是一个.【典题4】已知函数f(x)=log3(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)当x∈[-12,12【解析】(1)要使函数f(x)=log自变量x须满足1-x1+x>0，解得故函数f(x)的定义域为(－(2)由(1)得函数的定义域关于原点对称，且f-x故函数f(x)为奇函数；(3)当x∈[－12，12]时，令u(x)(注函数图象如右图，由y=2x故u(x)=1-x1+x在[-又∵g(x)=f(x)=log故g(x)∈[-1,1]，故函数g(x)的值域为[-1,1]．【点拨】①遇到形如fx=a∙gx+bc∙gx+d的函数(比如y=1-2x1+x，②求复合函数的值域，要分清楚内层函数与外层函数，分别对它们的单调性进行分析再求值域，函数的定义域优先考虑.【典题5】设D是函数y=f(x)定义域的一个子集，若存在x0∈D，使得则称x0是f(x)的一个“准不动点”，也称f(x)在区间D已知f(x)=log12(1)若a=1，求函数f(x)的准不动点；(2)若函数f(x)在区间[0,1]上存在准不动点，求实数a的取值范围．【解析】(1)当a=1时，可得fx=log可得4x+2x-1=当a=1，函数f(x)的准不动点为x0=0．(2)方法1由定义可得方程log12即方程4x+a⋅2x-1=2x在令2x=t，x∈[0,1]，则那问题(*)转化为方程t2+a-1t-1=0在令gt=t所以y=gt在[1,2]上与x则只需要g1g2(一元二次方程根的分布问题，注意数形结合分析)要使t2其对称轴x=-a2，在1≤t≤2上是递增的，当t=1时最小值，可得综上可得实数a的取值范围是(0，1]．方法2与方法1同样得到方程t2+a-1t-1=0在即a=1-t+1t在t∈[1,2]上有解，且a>1t-t在由ht=1-t+1t在t∈[1,2]上显然是减函数，其值域为由dt=1t-t在t∈[1,2]综上可得实数a的取值范围是(0,1]．【点拨】①在第二问中不要漏了4x②第二问的方法1是采取了“二次方程根的分布问题”的处理技巧，注意结合二次函数图象进行思考；方法2是采取分离参数法转而求最值,巩固练习1(★)若a=log21.5,b=logA．c<b<a B．b<c<a【答案】D【解析】log2∴b<a<c．故选：D．2(★★)设a=log126,b=loA．a<b<c B．c<b<a【答