4.4 数学归纳法 -(人教A版2019选择性必修第二、三册)(教师版)

数学归纳法1数学归纳法的概念一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n=n0(2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件，推出只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法PS用数学归纳法证明，两个步骤缺一不可.2数学归纳法的运用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题，比如：与正整数n有关的等式或不等式的证明，求数列的通项公式，与数列有关的不等关系证明，整除问题，函数不等式等.在运用数学归纳法证明时要注意以下几点①第一步归纳奠基中的n0不一定是1②当证明从n=k到③在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在n=k+1时的式子中凑出n=k的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论④要注意“观察---归纳—猜想---证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想.【题型一】对数学归纳法的理解【典题1】用数学归纳法证明“2n>n+2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值【解析】根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n=1时，左边=21=2，右边=1+2=3，2n=2时，左边=22=4，右边=2+2=4n=3时，左边=23=8，右边=3+2=5n=4时，左边=24=16，右边=4+2=6…因为n>2成立，所以2n故n0【点拨】数学归纳法第一步中的n0不一定是1，一般是满足题意的最小的正整数【典题2】用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn+yn能被x+y整除”A．假设n=k(k∈N*)B．假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+1命题成立C．假设n=2k+1(k∈N*))D．假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+2命题成立【解析】A、B、C中，k+1不一定表示奇数，只有D中k【点拨】注意第二步中不一定是n=k+1，要注意题目对【典题3】用数学归纳法证明：1+12+n=k+1成立时，左边增加的项数是.【解析】用数学归纳法证明1+1假设n=k时，左侧=1+1当n=k+1成立时，左侧=1+1∴从n=k到n=k+1时，左边增加12共有2k+1－【点拨】数学归纳法第二步中从n=k到n=k+1成立时，增加的项数不一定是只有1项，要式子变化的规律去判断，这在证明题中有助于关于“两个凑”的思考.巩固练习1(★)用数学归纳法证明不等式12+13A．第一步应该验证当n=1时不等式成立 B．从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是12C．从“n=k到n=k+1”左边需要增加(2k-1D．从“n=k到n=k+1”左边需要增加2k-1项【答案】D【解析】由于n∈所以第一步应该是验证当n=2时不等式成立，从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是12k-1+1故选：D．2(★)用数学归纳法证明2n≥n2A．n=k≥2时，2k≥k2 BC．n=k≥4时，2k≥k2 D．【答案】C【解析】根据证明的结论，n≥4，故第二步的假设应写成：假设n=k,n≥4,k∈N*故选：C．3(★)用数学归纳法证明“1n+1+1n+2+1n+3+⋅⋅⋅+1A．13k+4B．13k+4-1k+1C．1【答案】D【解析】n=k时，不等式的左边等于1k+1+1当n=k+1时，不等式的左边等于1k+2当n=k+1时，不等式的左边比n=k时增加13k+2故选：D．4(★)用数学归纳法证明“(3n+1)×7n－1(n∈N*)能被9整除”，在假设n=k时命题成立之后，需证明n=k+1A．3×7k+6 B．3×7k+1+6【答案】B【解析】假设n=k时命题成立，即(3k+1)×7k－那么，当n=k+1时，[3(k+1)+1]×=3k+4=(3k+1)×7=6[(3k+1)×7∵(3k+1)×7k∴要证上式能被9整除，还需证明3×7k+1+6故选：B．【题型二】等式的证明【典题1】用数学归纳法证明：1+2+3+⋯+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N【解析】(1)①当n=1时，左边=1+2+3+4=10，右边=(1+3)×(1+4)2=10②假设n=k(k∈N*)那么当n=k+1时，1+2+3+⋯+(k+3)+(k+4)=(k+3)(k+4)即当n=k+1时，等式成立．综上，1+2+3+⋯+(n+3)=(n+3)(n+4)【点拨】熟悉数学归纳法的解题步骤.【典题2】观察下列等式：13=1；13+2(1)请写出第5个、第6个等式，猜想出第n(n∈N(2)用数学归纳法证明你的猜想．【解析】(1)根据等式可知第5个等式为13第6个等式为13观察6个式子，可以猜测第n个式子为13(通过观察法得到，其实其公式即是13(2)证明：当n=1时，左边=1当n=k，k≥1时，假设13∴当n=k+1时，1(这步相当于以“13+证明“13+2接着证明k2=k=(k+1∴当n=k+1时，猜想的等式也成立，综上，等式13+2【点拨】等式的证明主要是对式子进行“通分、因式分解”等基本操作，要明确已知什么证明什么，再利用综合法分析法找到解题思路.巩固练习1(★★)证明：11×2【证明】(1)当n=1时，左边=11×2=(2)假设当n=k时，等式成立，即11×2则当n=k+1时，11×2=1=1=1=1即当n=k+1时，等式成立．根据(1)、(2)可知，对一切n∈N2(★★)证明(3×【证明】(1)n=1时，左边=3×12+1=4，右边=1×(2)假设n=k≥1(k∈即(3×1n=k+1时，即证明(3×1左边3×1∴n=k+1综上可得：n∈N*3(★★)证明：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2)=【证明】当n=1时，1×2×3=1假设当n=k时等式成立，即1×2×3+2×3×4+3×4×5+⋯则当n=k+1时，1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)=1=(k+1)(k+2)(k+3)(1=1所以当n=k+1时等式也成立．综上所述，等式成立．4(★★★)给出下列等式：31×2×131×2×131×2×1…(1)由以上等式推测出一个一般性的结论；(2)证明你的结论．【证明】(1)由以上等式推测出一个一般性的结论为：31×2(2)下面用数学归纳法证明这一结论．当n=1时，左边=34，右边假设当n=k时，结论成立，即31×2则当n=k+1时，左边==1-=1-∴当n=k+1时也成立．因此，等式对于一切n∈5(★★★)证明tanα∙tan2α+tan2α∙tan3α+…+【证明】(1)当n=2时，左边=tanα∙右边=tan2α(2)假设当n=k时，(k≥2,k∈Ntanα∙tan2α+tan2α∙tan3α+…+tan则当n=k+1时，tanα∙tan2α+tan2α∙tan3α+…+tan=tankαtanα由tanα=得tan代入(*)式，得右边=tankα即tanα∙tan2α+tan2α∙tan3α+…+tan=tan这就是说，当n=k+1时等式成立．根据(1)、(2)可知，对任意n≥2,n∈N*【题型三】不等式的证明【典题1】已知前三个式子分别为：1+122<32，照此规律，写出第n个不等式，并证明．【解析】第n个不等式为1+1以下用数学归纳法证明：当n=1时，左边=1+1假设当n=k(k∈N*且k≥1)时不等式成立，即那么，当n=k+1时，即要证明1+1而1+则只需证明2k+1k+1+1(k+2)⇔2k+1⇔2k而4<5显然成立，(这里用“分析法”进行推导，其过程纯为计算，思考难度不高，“磨灭”掉“技巧性”)∴当n=k+1时不等式成立．综上所述，不等式1+122【点拨】①用数学归纳法证明不等式，使用“分析法”求证，有助于降低“思考难度”；②同时也看些“技巧性”的方法：不等式证明中的“放缩”，1+1<2k+1这里仅仅用到了1(k+2)2<1③其实本题还可直接使用“放缩法”解∵n2>n(n∴1+1=1+1-1与数学归纳法比较下！【典题2】证明：当n≥2,n∈N时，1【解析】(1)当n=2时，左边=11(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)那么当n=k+1时，1=(1(凑假设：注意n=k与n>1+1(利用分析法，可知相当于要证明1k>1+(2k+1)×1(这里用放缩：1k2+1=1+k∴当n=k+1时不等式也成立，综上，由(1)(2)知，原不等式对∀n≥2(n∈N【点拨】①注意第二步中n=k+1与n=k时相同与不同的项；②多归纳总结下求证不等式的放缩技巧.【典题3】证明：sin⁡(nα)≤n【解析】当n=1时，不等式的左边=|sinα|，右边=|sinα|，不等式成立；假设n=k(k∈N*)当n=k+1时，|sin(k+1)α|=|≤sin⁡(这里用到绝对值三角不等式a-≤sin⁡(kα)+sinα≤ksinα即n=k+1时，不等式也成立．综上可得，sinnα≤n【点拨】绝对值三角不等式a-b≤a+b≤a+b，不等式右边“=”成立的条件是ab≥0，左边巩固练习1(★★)证明：12+1【证明】①当n=1时，左边=1②假设当n=k时，结论成立，即1那么n=k+1时，左边=∴n=k+1综上，由①②可知122(★★)当n≥2，n∈N*时，求证：1【证明】(1)当n=2时，左边=1+12=1+(2)假设当n=k(k≥2且k∈N当n=k+1时，1+1∴当n=k+1时，不等式也成立．∴对n≥2，n∈3(★★)证明：1+1【证明】(1)当n=1时，左边=1，右边=1，命题成立．(2)假设当n=k时，1+1当n=k+1时，左边=1+1当n=k+1时命题成立．由(1)(2)可得，对于任意n≥1，4(★★★)设an=1×2+2×3【证明】当n=1时，由a1=2假设n=k(k∈N*当n=k+1时，ak+1由ak<(k+1由(k+1)可得ak+1由ak>k(k+1)由kk+12⇔k可得ak+1则n=k+1时，不等式也成立．综上可得，对任意的正整数n，都有n(n+1)25(★★★)已知a>0，b>0，n>1，n∈N*．证明：【证明】(1)当n=2时，左边－右边=a2(2)假设当n=k(k∈N*,k>1)因为a>0，b>0，k>1，k∈所以(a于是ak+1当n=k+1时，(a+b即当n=k+1时，不等式也成立．综合(1)，(2)知，对于a>0，b>0，n>1，n∈N*【题型四】数列与数学归纳法【典题1】已知数列{an}的前n(1)计算a1,a2,a3【解析】(1)根据题意，Sn当n=1时，a1=S当n=2时，a1+a当n=3时，a1+a当n=4时，a1+a由此猜想an(2)证明：①当n=1时，a1②假设n=k(k≥1且k∈N*)那么n=k+1时，ak+1∴a∴当n=k+1时，猜想成立．由①②知猜想an【点拨】①求数列的通项公式也可以用数学归纳法求解；②可尝试用非数学归纳法的方法求通项公式an，比较下它们之间的难易【典题2】设正项数列{an}满足a1=1，a【解析】∵an+12可得n=1时，a2=2，n=2时，a3=3，n=3时，下面用数学归纳法证明an=n，(体会下“观察---归纳—猜想---证明”①当n=1时，a1=1，等式成立．∴当②假设当n=k时，猜想成立，即ak那么当n=k+1时，ak+1正项数列{an}∴当n=k+1时猜想也成立，由①②可得猜想成立．【点拨】①用数学归纳法求解通项公式，一般是先求出前几项，猜想an②本题数列递推公式an+12【典题3】由正实数组成的数列{an}满足an2【解析】an2∵an是正项数列，∴an－下面用数学归纳法证明：①当n=2时，a2(基本不等式的运用，用二次函数也行，前面确定0<an②当n=k时(k≥2,k∈N)那么a≤-1k-12=1k-1k2==1∴当n=k+1时，命题也正确综上所述，对于一切n∈N*，【点拨】在数列中证明不等式，与前面不等式的证明方法差不多，其中有分析法、放缩法等，还需要多注意各变量的取值范围(比如a1,ak【典题4】已知数列an的各项都是正数，且满足：a0=1证明an【解析】(证明an<an+1<2方法一数学归纳法(i)当n=0时，a0=1，a1ii假设n=k－1(k∈则当n=k时，ak=1=12(而ak-1－a所以a又ak+1所以n=k时命题成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N时有a方法二数学归纳法(i)当n=0时，a0=1，a1(ii)假设n=k－1(k∈N(已知ak-1<ak<2要证明a令f(x)=12x(4－x)所以由假设有：f(a即12所以当n=k时，ak所以对一切n∈N，有a【点拨】①方法一与方法二都是数学归纳法，但是方法二更能体现出题目的本质，由递推公式an+1=12an这属于蛛网模型.②本题也可先求出通项公式an=2-(1巩固练习1(★★)在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1【答案】a1=2,a2=6,a3【解析】由条件得2bn=又a1=2,b1=4，由此可得a2a4=20，b4=25，用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=2，②假设当n=k(k∈即ak=k(k+1)，bkak+1bk+1∴当n=k+1时，结论也成立．由①②知，an2(★★)已知数列{an}的前n项和Sn，且(1)求a1,a2,【答案】(1)a1=3,a2=6,【解析】(1)∵6∴当n=1时，6S∵an>0，当n=2时，6S∵an>0当n=3时，6S∵an故a1=3,(2)猜想an=3n，证明：①当n=1时，左边a1=3，右边②假设当n=k时，a当n=k+1时，a即ak+1∵an>0∴当n=k+1时，也成立．根据①②可知，an3(★★★)已知数列{an}满足a1=(1)计算a2(2)猜想数列{a【答案】(1)a2=13，a3=2【解析】(1)数列{an}满足an=1时，a2=13，n=2时，解得a3=2(2)猜想：an证明：①当n=1时，a1②假设当n=k(k∈N*那么，依题可得ak+1所以，当n=k+1时猜想成立．根据①和②，可知猜想对任何n∈4(★★★)已知数列{xn}满足x(1)猜想数列{x(2)证明：|x【答案】(1){x2n}是递减数列，证明见解析【解析】(1)由x1=1∴x2=2由x2>x4下面用数学归纳法证明：(1)当n=1时，已证命题成立(2)假设当n=k时命题成立，即x易知x2k>0=x即x也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合(1)和(2)知，命题成立(2)当n=1时，|x当n≥2时，易知0<x∴1+x∴(1+x∴x≤(2=15(★★★★)设数列{an}满足a(1)当a1=2时，求a2(2)当a1≥3时，证明对所有n∈N*，有：①a【答案】(1)a2=3,a【解析】(1)由a1=2由a2=3得a由a3=4，得a4由此猜想an的一个通项公式：a(2)证明：①当n＝1时，a1≥3＝1+2，不等式成立…6分(2)①用数学归纳法证明：(i)当n=1，a(ii)假设当n=k时不等式成立，即a那么a也就是说，当n=k+1时，ak+1根据(i)和(ii)，对于所有n≥1②证明：由①知，an+1即an+1+1≥反复放缩，可得11+∴1【题型五】整除问题【典题1】用数学归纳法证明：2n+2×3n【解析】(1)当n=1时，21+2×3(2)假设n=k(k∈N*)时，2k+2那么n=k+1时，原式==6×2=6[(2=6(2=6(2(整个过程就是在n=k+1时“凑”出假设：2k+2×∵62k+2×3k∴62k+2×∴n=k+1时，命题成立．综上，2n+2×3n【点拨】在第二步中，也可令2k+2×3k+5k则2k+2当n=k+1时，原式=625m-5k+4+5k+1巩固练习1(★★)用数学归纳法证明：n3+5n(n∈N【证明】(1)当n=1时，13+5=6，显然能被(2)假设n=k时，k3+5k,(k∈则当n=k+1时，k+13由于假设k3+5k能够被6整除，而k(k+1)能够被因此3k(k+1)+6能够被6整除，故当n=k+1时，能被6整除，由(1)，(2)可知n3+5n(n∈2(★★)用数学归纳法证明：1+2+22+…+【证明】(1)n=1时，左边=1+2+22=7(2)假设n=k时，1+2+22+即1+2+22+则n=k+1时，左边=1+2+∴1+2+22综上，1+2+22+3(★★)证明：对一切正整数n，5n+2×3【证明】(1)当n=1时，5n+2•即n=1时，结论成立(2)假设当n=k，(k≥2,k则5k+2•3k-1+1当n=k+1时，5=5(5而当k≥2，k∈N*时3故=5(5k也能被8整除，故当n=k+1时结论也成立；由(1)(2)可知对一切正整数n，5n+2•【题型六】其他应用【典题1】平面内n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点．(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线，猜想f(n)的表达式并给出证明；(2)求证：这n条直线把平面分成sn【解析】(1)解：f(2)=4，f(3)=9，f(4)=16，∴猜想f(n)=n2．(体会下“观察---归纳—猜想---证明”以下用数学归纳法证明：①当n=2时，f(2)=4=2②假设n=k(k≥2)时猜想正确，即f(k)=k则当n=k+1时，这第k+1条直线与原来的k条直线分别相交，新增k个交点，它们分别把原来的一条线段或射线一分为二，使原来的k条直线新分割出k条线段或射线，又这k个交点还把第k+1条直线分割为k+1条线段或射线，∴fk+1∴当n=k+1时，猜想也正确．根据①②知，对大于1的任意自然数n，猜想都正确．(2)证明：①当n=1时，一条直线把平面分为两部分，而n=1时n(n+1)2+1=2，②假设n=k时命题正确，即k条直线把平面分成sk则n=k+1时，第k+1条直线lk+1与原来的k条直线可交于A1,点，截成k+1条线段或射线，而每一条线段或射线都把它们所占的一块区域一分为二，故新增加出k+1块区域，因此k+1条直线把平面共分成sk+1∴当n=k+1时命题也成立．由①②可知，对任意的n∈N【点拨】①若要猜想f(n)的表达式，多理解“观察---归纳—猜想---证明”思维模式和从特殊到一般的数学思想；②对于平面几何的问题，画图进行分析有助于找到其规律.【典题2】若已知ln(1x+1)>1x+1【解析】数学归纳法证明：当n=2时，ln2-12=ln②假设当n=k(k≥2)时，命题成立，即lnk>1当n=k+1时,右边=由ln(1令x=k，有ln(1(感觉有些裂项的效果)因此有：左边=ln(k+1)>lnk+故左边>右边，即当n=k+1时，命题成立．综上①②，当n∈N*且n≥2，【点拨】①题中放缩公式ln(n+1)-lnn>1n+1可用后面学习的导数证明②数学归纳法与函数的考核在高考也压轴题型，可先了解下！巩固练习1(★★)平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n个圆把平面分成了n2－n+2【证明】(1)当n=1时，一个圆把平面分成两个区域，而12(2)假设n=k(k≥1)时，命题成立，即k个圆把平面分成当n=k+1时，第k+1个圆与原有的k个圆有2k个交点，这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此增加了2k个区域，共有k2∴n=k+1由(1)、(2)知，对任意的n∈2(★★)如图，曲线C：xy=1(x>0)与直线l：y=x相交于A1，作A1B1⊥l交x轴于B1，作B1(1)写出点A1、A(2)猜想An【答案】(1)A11,1，A22+1,2-1，(2)A【解析】(1)根据题意，由y=xxy=1x>0，求得由y=0y-1=-(x-1)，求得B由y