高数 第八章 多元函数微分法及其应用

第八章多元函数微分法及其应用研究对象：主要是二元函数主要内容：对应于一元函数微分学，系统介绍多元函数的极限、连续、导数、微分的概念及其计算法.

第八章多元函数微分法及其应用8.1多元函数基本概念8.2偏导数8.3全微分及其应用8.4多元复合函数的求导法则8.5隐函数的求导法则8.6微分法在几何上的应用8.7方向导数8.8多元函数的极值及其求法第一节

多元函数的基本概念多元函数的概念多元函数的极限多元函数的连续性小结思考回顾一元函数的极限，连续及闭区间上连续函数的性质闭区间上一元连续函数的性质：最值定理闭区间上连续的函数在区间上一定有最大值和最小值零点定理介值定理1.邻域(neighborhood)一、区域(demain)

多元函数的概念例如即为开集．2.设E是xoy平面上一点集,P是xoy平面上一点,

则P与E的关系有以下三种①内点②外点③区域、闭区域不包括边界的区域称为开区域．例如：例如：连通的开集叫区域.④聚点说明：a.内点一定是聚点；b.边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．例的边界点，但不是聚点。c.点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．有界闭区域；无界开区域．例如，3.有界集与无界集4.n维空间1.n维空间的记号为说明：2.n维空间中有两点间距离公式:3.

n维空间中邻域、区域等概念

特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：设两点为5二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．定义域的约定：使算式有意义的自变量所确定的点集。约定,凡用算式表达的多元函数,除另有说明外,其定义域是指的自然定义域．与一元函数类似，当我们用某个算式表达多元函数时，凡是使算式有意义的自变量所组成的点集称为这个多元函数的自然定义域．一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的定义在多元函数中不再适用，但有界性的定义仍然适用.例1

求的定义域．解所求定义域为求函数的定义域闭矩形区域例2yxb-b-aa解例3解:此平面域既不是闭区域也不是开区域,但有界6二元函数的图形（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:二、多元函数的极限说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．一元函数极限存在的可利用一元的两个重要极限和两边夹准则.左右极限存在且相等(4)

形如下面的极限则称为二次极限（累次极限）例4

求证证当时，原结论成立．分析：要证P7例4例5

求极限解其中与一元函数的运算法则类似例6

考察函数在原点的二重极限。故原函数的二重极限不存在.例7

证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．例解：当沿着趋向于原点时当沿着趋向于原点时确定极限不存在的方法：三、多元函数的连续性定义不仅有间断点（0，0），还有间断线还有间断面二元函数间断点可以形成一条曲线。例例8

讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．例9

讨论函数在(0,0)处的连续性．解取故函数在(0,0)处连续.当时

多元初等函数：用一个算式表示的多元函数，这个算式由常量和不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．结论：例10解利用函数的连续性求极限闭区域上连续函数的性质

在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值．

在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义思考题思考题解答不能.例取但是不存在.原因为若取练习求极限练习题预习：第二节邻域:返回返回1.举一个不连通的开集的例子

{(x,y)|x^2-y^2>1}

2是否闭集<==>闭区域

否。闭区域==>闭集，反之不然。

3闭区域是否是连通的闭集

闭区域是连通的闭集，但连通的闭集不一定是闭区域。

若某二元函数的两个二次极限都存在，并且相等，则该函数的二重极限一定存在，对吗？

如：请问如何理解“连通的开集”，就拿下面的例子说明吧！1.为何D={(x,y)lxy=0}为无界闭集？2.D={(x,y)lx不等于0，y不等于0}能算做一个连通的开集吗？

3.怎么才能算做“连通”？看定义后再结合例题还是不太理解。谢谢～无界是显然的此集合是x轴+y轴，所以任意不在此集合上的点都不可能是此集合的聚点所以是闭集2.是开集，但不连通此集合是1题中集合的补集，而闭集的补集是开集这个集合显然不连通，而是被分成了4部分3.连通的定义是，集合内任意两点，都存在包含与集合的一条连续曲线连接两点。比如说2题，在不同象限内找两点，不能由任何集合内的曲线连接，所以不连通D={(x,y)lxy=0}为无界闭集？无界是显然的此集合是x轴+y轴，所以任意不在此集合上的点都不可能是此集合的聚点所