2022年高考数学一轮复习 几何法解空间角（精练）（解析版）

7.4几何法解空间角（精练）【题组一线线角】1.（2021·全国高三其他模拟（理））如图所示，直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中点为，的中点为，，，所以或其补角即为与所成角，设，则，，在，，故选：A2．（2021·河南商丘市·高三月考（文））在正方体中，点分别在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，在平面内作，交BG于N，则(或其补角)即为与所成角．因为是正方体，不妨设，则，由勾股定理得，又,所以，所以在中，，即与所成角的余弦值为，故选：C.3．（2021·四川自贡市·高三三模（文））已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则异面直线CD与PB所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：设AB＝1，则PA＝2，AE＝＝，PE＝＝，BE＝2，PB＝＝∵CD与BE平行，∴∠PBE是是直线CD与PB所成的角（或所成角的补角），∴直线CD与PB所成的角的余弦值为：，故选：C．4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知点，分别为圆锥的顶点和底面圆心，为圆锥底面的内接正三角形，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示连接，，延长交于点，取中点，连接，.因为为正三角形，且为的外心，所以为的中点，故∥，则即为异面直线与所成的角.设，则，.由题意可知为等边三角形﹐则，在中，.故选：B5．（2021·辽宁高三其他模拟）如图是一个正方体的平面展开图，则在原正方体中，与所成的角为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知正方体的直观图如图：连接，，则，所以就是与所成的角，因为几何体是正方体，所以是正三角形，所以与所成的角为：.故选：C.6．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（文））已知在正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取中点，连接，为，中点，，即为异面直线与成角，设正四面体棱长为2，则,.故选：A.7．（2021·全国高考真题（理））在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，连接，因为∥，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，，所以.故选：D8．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））如图，在正方体中，M，N分别为AD，AB的中点，则异面直线D1M与DN所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中点Q，连接，则，或其补角即为异面直线D1M与DN所成角，不妨设正方体的棱长为4，则,，，所以，所以异面直线D1M与DN所成角的余弦值为.故选：A.9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））三棱锥所有棱长都为2，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】连接CF，取CF的中点O，连接EO，BO，∵E是PC的中点，∴EO∥PF，∴（或其补角）是异面直线BE与PF所成的角.设三棱锥P－ABC的所有棱长为2，则,则，则，在中，由余弦定理得，∴异面直线BE与PF所成角的余弦值为.10．（2021·广西南宁三中高三其他模拟（文））在正方体中，O是底面的中心，E为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中点，连接，如图所示，为的中点，，故即为异面直线与所成角，设正方体的棱长为，则在中，，故，故选：B.【题组二线面角】1．（2021·浙江温州市·温州中学高三其他模拟）已知在六面体中，平面，平面，且，底面为菱形，且．（1）求证．平面平面．（2）若直线与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连接，交于，底面为菱形，，平面，平面，，，平面，平面，平面平面；（2）设，则平面，即为直线与平面所成角，即，，平面，平面，，，平面，平面，平面平面，即为直线与平面所成角，，为菱形，，,则.2．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）在三棱锥中，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】⑴如图，作，连接，由，可知为边长为的正方形，，又，所以平面，；同理，,得平面，，，所以平面，所以，又，得平面，得．⑵由⑴知平面，平面PAB，所以平面平面，过点作于，平面，即为与平面所成角．由于全等，，，所以为等边三角形，，故，所以点为中点，故，，所以与平面所成角和与平面所成角相等，故直线与平面所成角的正弦值为．3．（2021·全国高三其他模拟）如图所示的几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的，已知，线段与交于点，，分别为线段，的中点，平面平面，平面．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若是边长为2的等边三角形，，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）连接，因为平面，平面平面平面ABC1，所以，由为线段的中点，可知为线段的中点，又为线段的中点，所以四边形为平行四边形．（2）如图，连接，，由（1）及是边长为2的等边三角形可知，平行四边形为菱形，且，．易知四边形为菱形，又，，所以，．又，所以平面，所以．因为，所以．因为，平面平面，平面平面，所以平面，所以，又为的中点，，所以，，又，所以平面，故为直线与平面所成的角．易知，故．故直线与平面所成角的正弦值为．4．（2021·浙江高三其他模拟）已知直角梯形，，，，为的中点，将沿翻折至.（1）求证：；（2）若，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）过点P作PE⊥BD于E，连接EF，中，令PD=1，则BD=2PD=2，，，如图：直角梯形中，显然有，而，则，又，即△为正三角形，而为的中点，则，又，中，由余弦定理得，即，是直角三角形，有，而PE⊥BD，，所以面，面，故；(2)过B作BQ⊥平面PAD与平面PAD交于点Q，连接PQ，则PQ是PB在平面PAD内射影，是直线PB与平面PAD所成角，如图：因面，即平面面，平面面，过点P作PO⊥EF于O，则面，由(1)，，，中，PD=DF=1，则，，，由得，即，，，所以与平面所成角的正弦值为.5．（2021·浙江温州市·高三三模）如图，四棱台的底面为正方形，面，．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线m与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：连结交交于点O，连结，，由多面体为四棱台可知四点共面，且面面，面面，面面，∴，∵和均为正方形，，∴，所以为平行四边形，∴，面，面，∴平面．（2）∵面，平面，平面，∴，又∵，∴∴求直线m与平面所成角可转化为求与平面所成角，∵和均为正方形，，且，∴，，∴，又∵面，∴∴面，∴面面，由面面，设O在面的投影为M，则，∴为与平面所成角，由，可得，又∵，∴∴，直线m与平面所成角的正弦值为.6．（2021·浙江湖州市·高三二模）已知三棱柱，是正三角形，四边形是菱形且，是的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设中点为，连结，，如图：由得，由是正三角形得，又，故平面，因此；（2）三棱柱中，四边形是菱形，设中点为，平面交于，连结，设，平面ABC//平面A1B1C1，平面平面ABC=AD，平面平面A1B1C1=MN，则，而AC//A1C1，由等角定理得，，则有，M是A1C1中点，，即得，由(1)平面得平面平面，则为在平面内的射影，四边形AMNE为平行四边形，即AM//EN，所以为与平面所成的角，由四边形是直角梯形，得，中，，则，中，，，，所以，直线与平面所成角的正弦值为.7．（2021·山西临汾市·高三其他模拟（理））图1是由和组成的一个平面图形，其中，，，，分别为，的中点，，，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，如图2.（1）求证：点在平面内；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：在中，因为，是，的中点，所以，又因为，，可得，则，即，，，四点共面.即证点在平面内.（2）方法一：过作，连接.因为平面平面，且平面平面，所以面.所以为直线与平面所成角.在中，，，在中，，，，由余弦定理可得.在中，.所以.即直线与平面所成角的正弦值为.方法二：取中点为，连接，，因为，所以，.又因为平面平面，且平面平面，所以面.设点到平面的距离为，因为，所以，.在中，，所以.设直线与平面所成角为，所以.即直线与平面所成角的正弦值为.8．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，在三棱锥中，三角形为等腰直角三角形且，侧棱，，相等且，为的中点．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）连接，因为为等边三角形，为的中点，所以，因为，所以，所以，在中，因为，所以，即，又因为，所以平面．又由平面，所以平面平面．（2）由（1）知平面，因为平面，所以，因为，且，所以平面，所以为与平面所成的角，在直角中，因为，，所以．【题组三二面角】1．（2021·黑龙江哈尔滨市）如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，且．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）∵平面，平面，∴，∵，，，如图过作交于点，所以，，所以∴，，又平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）由（1）知平面，平面，∴，又有，故即二面角的平面角，∵平面，平面，∴，所以因为，所以在中，，所以二面角的余弦值为．2．（2021·河北高三其他模拟）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等腰直角三角形，，E为的中点，且.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（（1）证明：取中点，连接、，如图，为等腰直角三角形，，且，，且，即，，四边形是正方形，，，、面，面，面，，，且、面，面，面，平面平面．（2）平面平面，，，，，取中点，则，，，即为所求二面角的平面角，，，面与面所成的锐二面角余弦值为．3．（2021·全国高考真题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)详见解析(2)【解析】（（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因为平面BCD，所以AO⊥CD(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,连FM因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD所以EF⊥BD,EF⊥CD,,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC因为FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME则为二面角E-BC-D的平面角,因为,为正三角形,所以为直角三角形因为,从而EF=FM=平面BCD,所以4．（2021·重庆高三三模）如图正三棱柱的所有棱长均为2，分别是棱的中点.（1）求证：面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）证明：因为是三棱柱，所以，又，，所以，所以，平面，面，所以面；（2）解：由（1）可得，，所以，其中为点到平面的距离，因为正三棱柱的所有棱长均为2，所以，故，所以三棱锥的体积为；（3）解：设二面角，，的平面角分别为，，，则，所以，过点作于点，连结，则，所以，，同理可得，，，所以，故二面角的余弦值为．5．（2021·广东珠海市·高三二模）如图，圆柱，矩形为过轴的圆柱的截面，点为弧的中点，点为的中点.（1）求证：平面；（2）若，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）矩形为过轴的圆柱的截面，设，连接，则为中点，如图：点为弧的中点，则CC1是圆柱OO1的母线，是矩形，点为的中点，则，，有四边形是平行四边形，，平面，平面，所以平面；（2）设圆锥底面半径，由点C是弧AB中点得，因，三棱锥的体积为，平面，三棱锥的体积，即，得，，取中点，连接，如图：因，平面平面，则有平面，而，则，，，，为二面角的平面角，由，得：.所以二面角的余弦值为.6．（2021·江苏苏州市·常熟中学高三三模）如图，在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，∠ABC=60°，CD=1，AE=AC=2，F为BE的中点．（1）当BC的长为多少时，DF⊥平面ABE．（2）求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小．【答案】（1）BC=2；（2）60°．【解析】（1）取AB的中点G，连接FG，CG，∵F为BE的中点∴，又∵，∴∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG//DF∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面∴AE⊥平面ABC，∴AE⊥CG，要使DF⊥平面ABE，则只需CG⊥平面ABE，由线面垂直定理，只需，故BC=2.BC=2时，，又，，平面，所以平面，即DF⊥平面ABE；（2）过B作BHCD，则，连接，所以平面平面＝，证明如下：设平面平面平面＝，由，平面，平面，得平面，所以，即，而平面的交线只有一条，所以．由（1），同理，所以，则即所求二面角的平面角而，∴所成锐二面角为.7．（2021·江苏扬州市·高三其他模拟）如图，四棱锥中，平面，，，，，，平面.（1）证明：平面；（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：∵平面，平面，平面平面，∴，∵，∴，∵，∴，，∵，，∴∴，∴，又∵平面，平面，∴，∵，∴平面.（2）∵与平面所成角为，∴，∴，∵平面，过作于点，连接，因为平面，而平面，所以，因为，所以平面，而平面，所以，所以即为所求二面角的平面角，因为，，所以，∵，∴，∴.8．（2021·辽宁锦州市·高三一模）如图，在正三棱柱中，为的中点，若，.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：连接，交于，连接，因为四边形为矩形，所以为中点，又因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）解：取中点，过作于，连接，因为为正三棱柱，所以，平面平面，所以平面，于是在平面内的射