2023年经济数学基础复习指导

（２0２3.05.2２）经济数学基础复习指导（文本)第一部微分学第1章函数1．理解函数概念。理解函数概念时，要掌握函数的两要素定义域和相应关系，这要解决下面四个方面的问题：（1）掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值。函数的定义域就是使函数故意义的自变量的变化范围。学生要掌握常见函数的自变量的变化范围，如分式的分母不为0,对数的真数大于０,偶次根式下表达式大于0，等等。例1求函数的定义域。解的定义域是，的定义域是,但由于在分母上，因此。故函数的定义域就是上述函数定义域的公共部分，即1<x<2。（2）理解函数的相应关系的含义:表达当自变量取值为时,因变量的取值为。例如，对于函数，表达运算:于是，,。设，求。解由于，说明表达运算:,因此=再将代入,得=(3)会判断两函数是否相同。从函数的两个要素可知，两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同,相应规则相同,而与自变量或因变量所用的字母无关。例3下列函数中,哪两个函数是相等的函数:A.与Ｂ.与解A中的两个函数定义域相同,相应规则也相同，故它们是相等的函数;B中的两个函数定义域不同，故它们是不相等的函数。（４）了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。例4设，求函数的定义域及。解函数的定义域是，,。2.掌握函数奇偶性的判别,知道它的几何特点；判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判断，即若，则为偶函数;若，则为奇函数。也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再运用“奇函数±奇函数、奇函数×偶函数仍为奇函数；偶函数±偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”的性质来判断。例5下列函数中，(ﻩ)是偶函数。A. B．C.ﻩﻩD．解根据偶函数的定义以及奇函数×奇函数是偶函数的原则,可以验证A中和都是奇函数，故它们的乘积是偶函数,因此A对的。既然是单选题,Ａ已经对的，那么其它的选项一定是错误的。故对的选项是A。3．了解复合函数概念,会对复合函数进行分解；例6将复合函数分解成简朴函数。解。4.知道初等函数的概念,牢记常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解析表达式、定义域、重要性质及图形。基本初等函数的解析表达式、定义域、重要性质及图形在微积分中常要用到,一定要纯熟掌握。5.了解需求、供应、成本、平均成本、收入和利润函数的概念。6．会列简朴应用问题的函数表达式。例7生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售的单价为３0元,试求:生产件该种产品的总成本和平均成本；售出件该种产品的总收入；若生产的产品都可以售出,则生产件该种产品的利润是多少？解（1）生产件该种产品的总成本为;平均成本为。（2)售出件该种产品的总收入为。(３)生产件该种产品的利润为==.第2章极限,导数与微分１.掌握求简朴极限的常用方法。求极限的常用方法有(1）运用极限的四则运算法则;(2）运用两个重要极限;(3）运用无穷小量的性质（有界变量乘以无穷小量还是无穷小量);(4）运用连续函数的定义。例1求下列极限:(1）;ﻩﻩ(２)(3）； ﻩﻩ(4)。解（1)分解因式,消去零因子,再运用四则运算法则计算（2)运用第一重要极限和四则运算法则计算（３)对分子进行有理化,然后消去零因子，再运用四则运算法则计算＝= ﻩ==(4)运用教材Ｐ68的结论=。2.知道一些与极限有关的概念(1)知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充足必要条件是该点左右极限都存在且相等;（2）了解无穷小量的概念,了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质;（3)了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念,了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性,会求函数的间断点。例２下列变量中,是无穷小量的为(）ﻩA.B.Ｃ. ﻩD.解A中:由于时，是无穷小量，是有界变量,由定理,是无穷小量;B中：由于时，,故不是无穷小量;C中:由于时,，故;但是时,，故，因此当时不是无穷小量。D中:由于,故当时，,不是无穷小量。因此对的的选项是B。例3当()时，在处连续。A.0 ﻩB.-1 ﻩC.2ﻩ Ｄ.1解函数在一点连续必须满足既是左连续又是右连续。由于而左连续。故当1时,在处连续。对的的选项是Ｄ。3．理解导数定义。理解导数定义时，要解决下面几个问题：（1）牢记导数定义的极限表达式;(2）会求曲线的切线方程;（3)知道可导与连续的关系(可导的函数一定连续,连续的函数不一定可导)。例4设,则( ）。ﻩA．ﻩ B. ﻩC．ﻩﻩﻩD．不存在解假如单看求极限，很难求出结果。但是若联想到以及导数的定义，即有 ==1故对的的选项是A。例5设在处可导，且,则( )。A.不存在 ﻩB.ﻩﻩC.0 D.任意解由于已知在处可导，且,将当作，当作,则就是在处的导数,故故对的选项是B。例6曲线在点（1，0)处的切线是(）A.ﻩB.Ｃ. ﻩＤ.解根据导数的几何意义可知，是曲线在点（１,０)处的切线斜率,故切线方程是 ，即故对的的选项是Ａ。例７求曲线在点处的切线方程。解由于,所以，在点处的切线方程为即。４.纯熟掌握求导数或微分的方法。具体方法有：（１)运用导数(或微分）的基本公式(２)运用导数(或微分)的四则运算法则（３）运用复合函数微分法（4）运用隐函数求导法则例８求下列导数或微分:(1)设,求；（2)设,求y；(3)设函数由方程拟定,求;（4）设,求。解（1）这是一个复合函数运用复合函数求导数(2）这是由两个复合函数相减构成的函数,先用导数的减法法则,再分别用复合函数求导法则求导。=＝(3)两边对x求导得： ﻩ ﻩﻩ ﻩ整理得 （4)ﻩ 5．知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。例9已知y=，则()Ａ.B．Ｃ.D．解运用导数的公式和导数的乘法法则计算:,故对的的选项是D。第３章导数的应用1.掌握函数单调性的判别方法,掌握极值点的判别方法,会求函数的极值。通常的方法是运用一阶导数的符号判断单调性,也可以运用已知的基本初等函数的单调性判断。例１在指定区间[-1０，1０]内，函数（）是单调增长的。Ａ. B． ﻩＣ.ﻩ ﻩD.解这个题目重要考察同学们对基本初等函数图形的掌握情况。因它们都是比较简朴的函数,从图形上就比较容易看出它们的单调性。A中是正弦函数，它的图形在指定区间[-1０，10］内是波浪形的,因此不是单调增长函数。B中是指数函数,(=-＜０，故它是单调减少函数。C中是幂函数，它在指定区间［-10,10］内的图形是抛物线,因此不是单调增长函数。根据排除法可知对的答案应是D。也可以用求导数的方法验证：由于在指定区间[－10，１0]内,有故是单调增长函数。对的的选项是D。例2函数的单调增长区间是（）。解用求导数的方法,由于令则，则函数的单调增长区间是。2．了解一些基本概念。(1)了解函数极值的概念,知道函数极值存在的必要条件，知道函数的极值点与驻点的区别与联系;例3函数的驻点是．解根据驻点定义，令,得。应当填写例4函数的最小值点是x= ﻩﻩﻩ．解由于函数在点ｘ＝1处连续但导数不存在，且当x>1或x<1时,f(x)＞f(1),所以点x=1是函数的最小值点。应当填写1。（２）了解边际概念和需求价格弹性概念;例５已知需求函数为，则需求弹性=.解由于,且＝所以应当填写例6已知需求函数，当时，需求弹性为（）.A．B．C．D．解由于，且=故对的选项是Ｃ3.纯熟掌握求经济分析中的应用问题(如平均成本最低、收入最大和利润最大等），会求几何问题中的最值问题。掌握求边际函数的方法,会计算需求弹性。例7设生产某种产品台时的成本(万元)，试求（１）当时的总成本,平均成本和边际成本；(2）当产量为多少时，平均成本最小。解(1）当时的总成本（万元）当时的平均成本（万元／台)当时的边际成本（2）这是一个求最值的问题。令，求得。由于故意义的驻点唯一，且平均成本存在着最小大值,所以当产量为２0台时，可使平均成本达成最小大。例8设某产品的成本函数为 ﻩﻩ（元）其中ｑ是产量，单位:件。单位销售价格为(元/件)问产量为多少时可使利润达成最大。最大利润是多少？解由于，且 所以令，解得(件)因唯一驻点唯一，故q=2５０件是所求的最大值点。当产量为２5０件时，利润最大。最大利润为 ﻩ (元)例9生产某种产品的固定费用是１000万元，每多生产1台该种产品,其成本增长1０万元,又知对该产品的需求为ｑ=１2０－2p（其中q是产销量,单位：台;p是价格，单位:万元）.求(1)使该产品利润最大的产量;(２)该产品的边际收入.解（１)设总成本函数为Ｃ(q）,收入函数为R(q），利润函数为L(q），于是C(q）=10q＋１０00(万元）ﻩﻩR(ｑ）=qp=(万元） ﻩL(q)=R(q)－C(q)＝(万元）ﻩﻩ得到ｑ＝５０(台)。由于驻点唯一,故ｑ＝50台是所求最小值点。即生产5０台的该种产品能获最大利润。ﻩ(2)因R(q)=，故边际收入R(ｑ)=60－q(万元/台)。第二部一元函数积分学第1章不定积分1.理解原函数与不定积分概念。这里要解决下面几个问题:（1)什么是原函数？若函数的导数等于,即，则称函数是的原函数。（２）原函数不是唯一的。由于常数的导数是０,故都是的原函数（其中是任意常数)。（３）什么是不定积分？原函数的全体（其中是任意常数）称为的不定积分，记为=。（4）知道不定积分与导数(微分）之间的关系。不定积分与导数（微分)之间互为逆运算,即先积分，再求导,等于它自身;先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即＝,=,，例1在某区间上，假如F（x）是ｆ(x)的一个原函数，c为任意常数，则下式成立的是（）。 A.ﻩ ﻩ Ｂ．ﻩC. ﻩﻩD.解假如F(x）是f(x)的一个原函数，则F（x)＋c都是f(x)的原函数，故有，即对的的选项是C。 例2假如，则f(ｘ）=（) Ａ．2ｓｉn2xﻩﻩB．－２cｏs2xﻩﻩC.－2siｎ2x D.２cos2ｘﻩ解根据不定积分的性质可知ﻩ f(x)=对的的选项是D。例３设是函数的一个原函数,则=（ﻩ）。 A.ﻩﻩB.ﻩC． D.解由于是函数的一个原函数,即有=,故＝＝故对的的选项C。例4设的一个原函数是,则( ）。 Ａ.ﻩﻩB．ﻩ Ｃ. ﻩD．ﻩ解由于的一个原函数是,故(=故对的的选项B。例5设函数，则=（ ）。ﻩA.x2＋cﻩﻩＢ.ﻩ C. Ｄ．ﻩ解由于,故,于是=故对的的选项B。 例6已知＝siｎx+ｃ,则f(x)=() A.B．xsｉｎxC.D.xcosx 解对＝ｓiｎx＋c两端求导，得 ﻩ 故f（x)＝，对的的选项是C。2.纯熟掌握不定积分的计算方法。常用的积分方法有（1）运用积分基本公式直接进行积分;(2)第一换元积分法(凑微分法）；(３）分部积分法,重要掌握被积函数是以下类型的不定积分：①幂函数与指数函数相乘；②幂函数与对数函数相乘；③幂函数与正(余)弦函数相乘；例7．（ ）。ﻩA． Ｂ.ﻩ C．ﻩ D.解两种方法,其一是凑微分直接计算：其二是求导计算:四个备选答案中都具有项,对它求导与被积函数比较可知,是的原函数。 对的的选项是B。例8计算下列积分（1）ﻩﻩ ﻩ（２）（3） （４）ﻩ解(１)==ﻩ(2）由于所以＝(3)设，运用分部积分公式，（４)设，运用分部积分公式，==第2章定积分1.了解定积分的概念,知道奇偶函数在对称区间上的积分结果.要区别不定积分与定积分之间的关系。定积分的结果是一个数,而不定积分的结果是一个表达式。奇偶函数在对称区间上的积分有以下结果:若是奇函数,则有若是偶函数，则有例1若是的一个原函数，则下列等式成立的是().A.B．C.D.解由牛顿莱布尼兹公式可知,对的的选项是B。例2已知，那么常数a=()。ﻩ 解由于故,即对的的选项是Ａ。例3=(ﻩ )。 Ａ.-ln(x2＋１) B.lｎ（x２+1)C．ln（x2+1)2ｘﻩﻩD．－ｌn(ｘ２+1）2x解根据变上限定积分的性质可知＝－ln(x2+1）故对的的选项是A。例４积分=。解在对称区间上求定积分，一方面要考虑被积函数的奇偶性，可以运用奇偶函数在对称区间上的积分的性质简化计算。由于是偶函数，故=应当填写:1例5。解由于是奇函数，故0应当填写:02.纯熟掌握定积分的计算方法。常用的积分方法有（1）运用积分基本公式直接进行积分;(2）第一换元积分法（凑微分法)；注意:定积分换元，一定要换上、下限,然后直接计算其值（不要还原成原变量的函数）．(3）分部积分法，重要掌握被积函数是以下类型的定积分:①幂函数与指数函数相乘；②幂函数与对数函数相乘；③幂函数与正（余）弦函数相乘； 例6计算下列定积分(1）（2) (2)(４)解（1)运用，于是==注意，（２)运用=,可知＝＝ 或设，则时， ; 时,原积分＝=（３)用分部积分法==（4）用分部积分法=-==3.知道无穷限积分的收敛概念，会求简朴的无穷限积分。例7广义积分=。解由于＝应当填写：例8下列无穷积分中收敛的是(）.Ａ．Ｂ.C.D．解由于=发散;==1所以对的的选项是B。第３章积分应用掌握用定积分求简朴平面曲线围成图形的面积。求平图形面积的一般环节:画出所围平面图形的草图；求出各有关曲线的交点及边界点，以拟定积分上下限；运用定积分的几何意义(即上述各式），拟定代表所求的定积分。y=x2y=4xy=x2y=4xx=1yxo所围成平面图形的面积。解一方面画出所围区域面积的草图。曲线的交点是(0，0），（1，1),（１，4）。所求面积为此外,假如规定曲线与直线及所围成平面图形的面积。则曲线的交点是(１，1),（1，4），(４,１6)，所求面积为=92．纯熟掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。例2生产某产品的边际成本为(万元/百台）,边际收入为（万元/百台),其中x为产量,若固定成本为10万元，问（1)产量为多少时,利润最大?(2）从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化?解(1）边际利润 令,得(百台)又是的唯一驻点，根据问题的实际意义可知存在最大值,故是的最大值点，即当产量为10(百台）时,利润最大。(2）利润的变化ﻩ ﻩ ﻩ ﻩﻩ即从利润最大时的产量再生产2百台,利润将减少２0万元。ﻩ例3已知某产品的边际成本为（万元/百台)，ｘ为产量（百台），固定成本为１8(万元)，求最低平均成本.解:由于总成本函数为＝当x=０时,C(０)=18,得c=18，即Ｃ(x)=又平均成本函数为令，解得x=3(百台)。该题的确存在使平均成本最低的产量.所以当x=3时，平均成本最低.最底平均成本为(万元／百台)３.了解微分方程的几个概念:微分方程、阶、解（通解、特解)线性方程等；掌握简朴的可分离变量的微分方程的解法,会求一阶线性微分方程的解。 例4求解初值问题解分离变量 ﻩ于是通解为lnｙ=。 因x＝0时，y=2，故有ln２=c。所求初值问题的解为lny＝,即y＝２。例５解微分方程的初值问题解分离变量，ﻩﻩ两端积分得ﻩ lnx－x－c＝-即所求通解为=x－ｌnｘ+c。 因ｘ＝ｅ时，ｙ＝１,代入上式得c=1。故所求初值问题的解为=x-lｎx+1。例6求微分方程满足初始条件的特解．解由于，， 用公式由，得。所以，特解为。章友刚:你好老师，你每贴必复,辛劳你了,我觉得学好经济数学有一定的难度。赵坚:你好!学习课程要讲究方法,（1）要认真听课;(2)及时复习；（3)准时完毕作业。再加一份努力，一定可以学好。汤晓燕：老师：您好！考试重点基本在期末复习指导书上对吗？赵坚：好好复习辅导中的内容，应当就可以提高你的学习成绩。罗军:现在学的好向都是高中的时候学过的,简朴啊赵坚：祝你学习取得好成绩。邓结青:每次老师发下来的练习卷都没有给出对的的答案,有时候都不知道自己对还是错,所以,请问那些练习题的答案在哪里可以找得到呢?赵坚：老师发的练习是中央电大教材中的还是老师自己做的，假如是中央电大教材中的题目,在教材中会有答案的。假如是任课老师自己出的,答案可以找老师要。顾静相：赵老师，听说今年经济数学期末考试是半开卷,是吗？赵坚:不是,本学期期末考试仍是采用闭卷笔试的形式。曲亚男