高中数学人教A版第二章平面向量单元测试【省一等奖】

第二章平面向量一、向量的概念1．向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量．数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量．2．有向线段：带有方向的线段叫做有向线段．3．向量的长度（模）：向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作．4．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的．单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．5．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．若向量a、b是两个平行向量，那么通常记作a∥b．平行向量也叫做共线向量．我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任一向量a，都有0∥a．6．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若向量a、b是两个相等向量，那么通常记作a=b．例1若a为任一非零向量，b为其单位向量，下列各式：①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1；⑤eq\f(a,|a|)＝b．其中正确的是（）．A．①④⑤ B．③C．①②③⑤ D．②③⑤答案：D

解析：|a|与|b|大小关系不能确定，故①错，a与其单位向量平行②正确．a≠0，∴|a|＞0，③正确．|b|＝1，故④错．由定义知⑤正确．例2如图四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是（）．A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))| B．eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(FH,\s\up6(→))共线C．eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→)) D．eq\o(DC,\s\up6(→))与eq\o(EC,\s\up6(→))共线答案：C解析：当菱形ABCD与其他两个菱形不共面时，BD与EH异面，故选C．例3如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中错误的是（）．A．图中所标出的向量中与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有1个（不含eq\o(AB,\s\up6(→))本身）B．图中所标出的向量中与eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有4个（不含eq\o(AB,\s\up6(→))本身）C．eq\o(BD,\s\up6(→))的长度恰为eq\o(DA,\s\up6(→))长度的eq\r(3)倍D．eq\o(CB,\s\up6(→))与eq\o(DA,\s\up6(→))不共线答案：D解析：易知△ABC和△ACD均为正三角形．对于A，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；对于B，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|；对于C，△BAD是顶角为120°的等腰三角形，则|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(DA,\s\up6(→))|；对于D，eq\o(CB,\s\up6(→))∥eq\o(DA,\s\up6(→))成立，故D是错误的．二、向量的加、减法1．已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法．这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则．2．对于零向量与任一向量a，我们规定：a+0=0+a=a3．公式及运算定律： ①=0 ②|a+b|≤|a|+|b|③a+b=b+a ④（a+b）+c=a+（b+c）4．相反向量：①我们规定，与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a．a和－a互为相反向量．②我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．③任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋（－a）=（－a）＋a=0．④如果a、b是互为相反的向量，那么a=－b，b=－a，a＋b=0．⑤我们定义a－b=a＋（－b），即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．例1向量（eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))）＋（eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))）＋eq\o(OM,\s\up6(→))等于（）．A．eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→)) C．eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(AM,\s\up6(→))答案：C解析：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AC,\s\up6(→))．例2△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，则下面结论正确的是（）．A．eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)) B．eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝0 C．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))≠0 D．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))≠0答案：D例3若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，用a、b表示向量eq\o(BC,\s\up6(→))为（）．A．a＋b B．－a－b C．－a＋b D．a－b答案：B解析：解法一：eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＋（－2eq\o(OA,\s\up6(→))）＝－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－a－b．解法二：∵b＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＝－a，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a－b．例4已知等腰直角△ABC中，∠C＝90°，M为斜边中点，设eq\o(CM,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，试用向量a、b表示eq\o(AM,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(CB,\s\up6(→))、eq\o(BA,\s\up6(→))．解：如图所示，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(CM,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝b＋2eq\o(AM,\s\up6(→))＝b＋2a－2b＝2a－eq\o(BA,\s\up6(→))＝－2eq\o(AM,\s\up6(→))＝－2（a－b）＝2b－2a三、数乘向量1．向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘．记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|=|λ||a|，②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，的方向与a的方向相反；λ=0时，λa=0．2．运算定律：①λ（ua）=（λu）a②（λ＋u）a=λa＋ua③λ（a＋b）=λa＋λb④（－λ）a=－（λa）=λ（－a）⑤λ（a－b）=λa－λb3．定理：对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么a与b共线．相反，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=ua；当a与b反方向时，有b=－ua．则得如下定理：向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa．例1点C在线段AB上，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，则λ等于（）．A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,2)C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(3,2)答案：C解析：∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)（eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))），∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴λ＝－eq\f(2,3)，故选C．例2在△ABC中，已知D为AB边上一点，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，则λ＝（）．A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)答案：A解析：解法一：∵A、D、B三点共线，∴eq\f(1,3)＋λ＝1，∴λ＝eq\f(2,3)．解法二：∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)（eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))）＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(2,3)，故选A．例3已知G是△ABC内的一点，若eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0．求证：G是△ABC的重心．解：如图，∵eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＝－（eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())以eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(GC,\s\up6(→))为邻边作平行四边形BGCD，则eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))，∴eq\o(GD,\s\up6(→))＝－eq\o(GA,\s\up6(→))，又∵在平行四边形BGCD中，BC交GD于E，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))，∴AE是△ABC的边BC的中线，且|eq\o(GA,\s\up6(→))|＝2|eq\o(GE,\s\up6(→))|，∴G为△ABC的重心．四、平面向量基本定理1．如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2．我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．向量a与b的夹角：已知两个非零向量a和b．作=a，=b，则（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角．当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b．3．补充结论：已知向量a、b是不共线的两个向量，且m、n∈R，若ma＋nb=0，则m=n=0．例1已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足（x－y）e1＋（2x＋y）e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于（）．A．3 B．－3C．6 D．－6答案：C解析：由，解得，∴x－y＝6，故选C．例2如图，在△AOB中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a、eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，设eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝3eq\o(NA,\s\up6(→))，而OM与BN相交于点P，试用a、b表示向量eq\o(OP,\s\up6(→))．解：eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)（eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))）＝a＋eq\f(2,3)（b－a）＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b．∵eq\o(OP,\s\up6(→))与eq\o(OM,\s\up6(→))共线，令eq\o(OP,\s\up6(→))＝teq\o(OM,\s\up6(→))，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a＋\f(2,3)b))．又设eq\o(OP,\s\up6(→))＝（1－m）eq\o(ON,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)a•（1－m）＋mb∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(t,3)＝\f(3,4)1－m,\f(2,3)t＝m))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5),t＝\f(9,10)))．∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,10)a＋eq\f(3,5)b．五、正交分解与坐标表示1．正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．即若a=，b=，则a＋b=，a－b=．3．实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．即若a=，则λa=．4．当且仅当x1y2－x2y1=0时，向量a、b（b≠0）共线．5．定比分点坐标公式：当时，P点坐标为①当点P在线段P1P2上时，点P叫线段P1P2的内分点，λ＞0；②当点P在线段P1P2的延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，λ＜－1；③当点P在线段P1P2的反向延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，－1＜λ＜0．6．从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线，则，其中λ+μ=1．例1（1）设向量a、b的坐标分别是（－1，2）、（3，－5），求a＋b，a－b，2a＋3b（2）设向量a、b、c的坐标分别为（1，－3）、（－2，4）、（0，5），求3a－b＋c解：（1）a＋b＝（－1，2）＋（3，－5）＝（－1＋3，2－5）＝（2，－3）；a－b＝（－1，2）－（3，－5）＝（－1－3，2＋5）＝（－4，7）；2a＋3b＝2（－1，2）＋3（3，－5）＝（－2，4）＋（9，－15）＝（－2＋9，4－15）＝（7，－11）（2）3a－b＋c＝3（1，－3）－（－2，4）＋（0，5＝（3，－9）－（－2，4）＋（0，5）＝（3＋2＋0，－9－4＋5）＝（5，－8）．例2平面内给定三个向量a＝（3，2）、b＝（－1，2）、c＝（4，1），（1）求满足a＝mb＋nc的实数m、n；（2）若（a＋kc）∥（2b－a），求实数k．解：（1）∵a＝mb＋nc，∴（3，2）＝m（－1，2）＋n（4，1）＝（－m＋4n，2m＋n）∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3,2m＋n＝2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9),n＝\f(8,9)))．（2）∵（a＋kc）∥（2b－a），又a＋kc＝（3＋4k，2＋k），2b－a＝（－5，2），∴2×（3＋4k）－（－5）×（2＋k）＝0．∴k＝－eq\f(16,13)．例3已知A、B、C三点的坐标分别为（－1，0）、（3，－1）、（1，2），并且eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，求证：eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))．解：设E（x1，y1）、F（x2，y2），依题意有：eq\o(AC,\s\up6(→))＝（2，2）、eq\o(BC,\s\up6(→))＝（－2，3）、eq\o(AB,\s\up6(→))＝（4，－1）．因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))．因为eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))．因为（x1＋1，y1）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)))．因为（x2－3，y2＋1）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，所以Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0))．∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3)))．又因为4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－eq\f(8,3)×（－1）＝0，所以eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))．例4若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝（1，0），求向量a、b的坐标．解：设a＝（m，n），b＝（p，q），则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋n2＝1,p2＋q2＝1,m＋p＝1,n＋q＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝p＝\f(1,2),q＝－\f(\r(3),2),n＝\f(\r(3),2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝p＝\f(1,2),q＝\f(\r(3),2),n＝－\f(\r(3),2)))．故a＝（eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)）、b＝（eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2)）或a＝（eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2)）、b＝（eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)）．六．数量积（内积）1．已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|叫做a与b的数量积（或内积），记作a•b即a•b=|a||b|．其中θ是a与b的夹角，|a|（|b|）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影．我们规定，零向