广东省广州市从化第四中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省广州市从化第四中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f（x）为单调增函数，而f（0）＜0，f（）＞0由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点【解答】解：函数f（x）的定义域为[0，+∞）∵y=在定义域上为增函数，y=﹣在定义域上为增函数∴函数f（x）=在定义域上为增函数而f（0）=﹣1＜0，f（1）=＞0故函数f（x）=的零点个数为1个故选B【点评】本题主要考查了函数零点的判断方法，零点存在性定理的意义和运用，函数单调性的判断和意义，属基础题2.已知平面，直线，点A，下面四个命题，其中正确的命题是A.若，则与必为异面直线；

B.若则；

C.若则；

D.若，则.参考答案：D3.设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：因该函数的对称轴,结合二次函数的图象可知当,即时,单调递增,应选C.考点：数列的单调性等有关知识的综合运用．【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,借助二次函数的对称轴进行数形结合,合理准确地建立不等式是解答好本题的关键.求解时很多学生可能会出现将对称轴放在的左边而得,而得的答案.这是极其容易出现的错误之一.4.若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则=

A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B试题分析：∵等差数列单调递增，∴，∵，即，即，∴.考点：等差数列的通项公式.6.在复平面内，复数（是虚数单位）所对应的点位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B略7.函数的部分图象如图所示，则的值为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】利用图像可得A值，由周期性可得，代点可得值，可得函数解析式，代值计算可求。【详解】解：由题意和图像可得，，，解得，代入点可得结合可得，故函数的解析式为故选：C

8.下列命题中的假命题是（）A．?x0∈（0，+∞），x0＜sinx0 B．?x∈（﹣∞，0），ex＞x+1C．?x＞0，5x＞3x D．?x0∈R，lnx0＜0参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用反例判断A的正误；利用函数的导数判断函数的单调性以及最值，推出B的正误；指数函数的性质判断C的正误；特例判断D的正误．【解答】解：x∈（0，）时，x＞sinx，所以?x0∈（0，+∞），x0＜sinx0不正确；x∈（﹣∞，0），令g（x）=ex﹣x﹣1，可得g′（x）=ex﹣1＜0，函数是减函数，g（x）＞g（0）=0，可得?x∈（﹣∞，0），ex＞x+1恒成立．由指数函数的性质的可知，?x＞0，5x＞3x正确；?x0∈R，lnx0＜0，的当x∈（0，1）时，恒成立，所以正确；故选：A．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查函数的导数与函数的单调性的关系，函数的最值的求法，指数函数的性质，命题的真假的判断，考查计算能力．9.已知为平面上的定点，、、是平面上不共线的三点，若，则DABC是（

）（A）以AB为底边的等腰三角形

（B）以BC为底边的等腰三角形（C）以AB为斜边的直角三角形

（D）以BC为斜边的直角三角形参考答案：B10.已知则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知曲线的极坐标方程为（，），曲线在点处的切线为，若以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则的直角坐标方程为

．参考答案：根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线点,因为点在圆上,故圆在点处的切线方程为,故填.12.以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是

▲

．参考答案：13.在区间[－1,5]上任取一个实数b，则曲线在点处切线的倾斜角为锐角的概率为

．参考答案：∵，∴∴，∴．由几何概型，可得所求概率为．故答案为．14.在平面四边形ABCD中，，，，则CD的取值范围是___________．参考答案：【分析】首先补全平面四边形，成为等腰直角三角形，在内平移直线都能满足条件，通过数形结合，分析的两个临界点得到的取值范围.【详解】如图1，延长和交于点，由已知可知是等腰直角三角形，直线向下平移，当点和点重合时，如图2，此时，，，中，根据正弦定理可知，，解得：,图1的向上平移，当重合于点时，此时,的取值范围是.,故答案为：【点睛】本题考查求几何图形中的长度计算，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是通过平行移动，根据临界点分析出的长度.15.以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为______.参考答案：

略16.在△中，，，且在边上分别取两点，点

关于线段的对称点正好落在边上，则线段长度的最小值为

．参考答案：方法一：设，

∵A点与点P关于线段MN对称，∴，，

在中，，，，，

由正弦定理：

则，当时此时，.方法二：建立如图如示坐标系

由

得，设，，

与交于点，由，得，

，此时．

17.

.参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，短轴的一个顶点与椭圆两焦点构成的三角形面积为2．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线y=x+m与椭圆交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】方程思想；设而不求法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=x+m代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线与y轴交于（0，m），则S△OAB=|m|?|x1﹣x2|，化简整理，再由基本不等式即可得到最大值．【解答】解：（I）由题意可得，e==，?2c?b=2，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=，即有椭圆方程为+=1；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=x+m代入椭圆方程x2+4y2=8，可得x2+2mx+2m2﹣4=0，判别式△=4m2﹣4（2m2﹣4）＞0，解得﹣2＜m＜2且m≠0，x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，由直线与y轴交于（0，m），则S△OAB=|m|?|x1﹣x2|=|m|?=|m|?≤=2，当且仅当m=±时取得等号．则OAB面积的最大值为2．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和基本不等式，考查运算化简能力，属于中档题．19.（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，∠A1AB=45°，四边形BCC1B1为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3（1）求证：AB1⊥面A1BC；（2）求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值．参考答案：考点： 与二面角有关的立体几何综合题．专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析： （1）证明AB1⊥面A1BC，只需证明AB1⊥A1B，CB⊥AB1，证明CB⊥平面AA1B1B，利用四边形A1ABB1为菱形可证；（2）过B作BD⊥AA1于D，连接CD，证明∠CDB就是二面角C﹣AA1﹣B的平面角，求出DB，CD，即可求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值．解答： （1）证明：在△ABC中AC=5，AB=4，BC=3，所以∠ABC=90°，即CB⊥AB，又因为四边形BCC1B1为矩形，所以CB⊥BB1，因为AB∩BB1=B，所以CB⊥平面AA1B1B，又因为AB1?平面AA1B1B，所以CB⊥AB1，又因为四边形A1ABB1为菱形，所以AB1⊥A1B，因为CB∩A1B=B所以AB1⊥面A1BC；（2）解：过B作BD⊥AA1于D，连接CD因为CB⊥平面AA1B1B，所以CB⊥AA1，因为CB∩BD=B，所以AA1⊥面BCD，又因为CD?面BCD，所以AA1⊥CD，所以，∠CDB就是二面角C﹣AA1﹣B的平面角．在直角△ADB中，AB=4，∠DAB=45°，∠ADB=90°，所以DB=2在直角△CDB中，DB=2，CB=3，所以CD=，所以cos∠CDB==．点评： 本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定，作出面面角是关键．20.（12分）已知在锐角中，角对边分别为且（1）求；（2）求函数的最小正周期及单调递减区间；参考答案：解析：（1）在中，利用余弦定理，，

代入得，

而是锐角三角形，所以角·······················5分

（2）

周期

因为

所以·························8分

当时，又；

所以，在上的单调减区间为········12分21.

（12分）如图：在三棱锥中，面，是直角三角形，，，，点分别为的中点。⑴求证：；⑵求直线与平面所成的角的大小；⑶求二面角的正切值。参考答案：解析：⑴连结。在中，，点为的中点，又面，即为在平面内的射影

（2分）分别为的中点

（4分）⑵面，连结交于点，，平面为直线与平面所成的角，且

（6分）面，，又，，在中，，

（8分）⑶过点作于点，连结，，面，即为在平面内的射影，为二面角的