经济4学分高等数学同济版-第五章定积分反常

一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分第四节反常积分上页下页铃结束返回首页常义积分积分区间有限被积函数有界推广反常积分(广义积分)积分区间无限被积函数无界

第五章

积分区间无限积分区间有限转化逼近方法：引例.

曲线和直线及

x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为:一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分无穷限的反常积分的定义

在反常积分的定义式中,如果极限是存在的,

则称此反常积分收敛,否则称此反常积分发散.

连续函数f(x)在区间[a,

)上的反常积分定义为下页

类似地,连续函数f(x)在区间(,

b]上和在区间(,

)的反常积分定义为下页一、无穷限的反常积分无穷限的反常积分的定义

连续函数f(x)在区间[a,

)上的反常积分定义为反常积分的计算

如果F(x)是f(x)的原函数则有可采用如下简记形式：一、无穷限的反常积分无穷限的反常积分的定义

连续函数f(x)在区间[a,

)上的反常积分定义为反常积分的计算

如果F(x)是f(x)的原函数则有

类似地有下页

解

例1

下页提示：

例2

下页

解

解:

例3

当p1时此反常积分发散

首页有从而有从而

二、无界函数的反常积分注：

如果函数f(x)在点x0的任一邻域内都无界那么点x0称为函数f(x)的瑕点(也称为无界间断点)

无界函数的反常积分又称为瑕积分

无界函数反常积分的定义

设函数f(x)在区间(a,

b]上连续,

点a为f(x)的瑕点.

函数f(x)在(a,

b]上的反常积分定义为下页

在反常积分的定义式中,如果极限是存在的,

则称此反常积分收敛;

否则称此反常积分发散.

函数f(x)在[a

c)(c

b]上(c为瑕点)的反常积分定义为

二、无界函数的反常积分

类似地,函数f(x)在[a,

b)上(b为瑕点)的反常积分定义为下页无界函数反常积分的定义

设函数f(x)在区间(a,

b]上连续,

点a为f(x)的瑕点.

函数f(x)在(a,

b]上的反常积分定义为

二、无界函数的反常积分无界函数反常积分的定义

设函数f(x)在区间(a,

b]上连续,

点a为f(x)的瑕点.

函数f(x)在(a,

b]上的反常积分定义为反常积分的计算

如果F(x)为f(x)的原函数可采用简记形式

则f(x)在(a,

b]上的反常积分为下页

二、无界函数的反常积分无界函数反常积分的定义

设函数f(x)在区间(a,

b]上连续,

点a为f(x)的瑕点.

函数f(x)在(a,

b]上的反常积分定义为反常积分的计算

如果F(x)为f(x)的原函数则f(x)在(a,

b]上的反常积分为提问：

f(x)在[a,

b)上和在[a

c)(c

b]上的反常积分如何计算？如何判断反常积分的敛散性？下页所以点a为被积函数的瑕点

解

例4

下页

解

例5

下页当c(acb)为瑕点时

解

例6

当q1时此反常积分发散

结束三、Γ函数（GammaFunction）

可以证明它是收敛的。这里我们探讨Γ函数的几个重要性质：

性质1

性质4

性质5

（在概率论中常用的一个积分）

定义：含参变量的广义积分称为函数性质3为正整数时,有当性质2递推公式（或Gamma函数）．例7计算下列积分：解:（2）令

则从而1.反常积分积分区间无限被积函数无界等于常义积分的极限2.两个重要的反常积分内容小结:

例如：

是否收敛？思考1:分析:原积分发散!注意