高中数学人教A版2本册总复习总复习 单元测评(一)

单元测评(一)导数及其应用(A卷)(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．下列各式正确的是()A．(sina)′＝cosa(a为常数)B．(cosx)′＝sinxC．(sinx)′＝cosxD．(x－5)′＝－eq\f(1,5)x－6解析：由导数公式知选项A中(sina)′＝0；选项B中(cosx)′＝－sinx；选项D中(x－5)′＝－5x－6.只有C正确．答案：C2．曲线y＝eq\f(x,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2解析：∵y′＝eq\f(x′x＋2－xx＋2′,x＋22)＝eq\f(2,x＋22)，∴k＝y′|x＝－1＝eq\f(2,－1＋22)＝2，∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.答案：A3．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时()A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0解析：f(x)为奇函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递增，f′(x)>0；g(x)为偶函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递减，g′(x)<0.答案：B4．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝()A．2B．3解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0.∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a答案：D5．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x答案：A6．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列结论正确的是()A．在区间(－2,1)内f(x)是增函数B．在区间(1,3)内f(x)是减函数C．在区间(4,5)内f(x)是增函数D．在x＝2时，f(x)取极小值解析：由图象可知，当x∈(4,5)时，f′(x)>0，∴f(x)在(4,5)内为增函数．答案：C7．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为()A．－5 B．7C．10 D．－19解析：∵y′＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，∴函数在[－2，－1]内单调递减，最大值为f(－2)＝2＋a＝2.∴a＝0，最小值为f(－1)＝a－5＝－5.答案：A8．曲线y＝x2－1与x轴围成图形的面积等于()\f(1,3) \f(2,3)C．1 \f(4,3)解析：函数y＝x2－1与x轴的交点为(－1,0)，(1,0)，且函数图象关于y轴对称，故所求面积为S＝2eq\i\in(0,1,)(1－x2)dx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)x3))|eq\o\al(1,0)＝2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3).答案：D9．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0，1]，,\f(1,x)，x∈1，e]，))则eq\i\in(0,e,)f(x)dx等于()\f(4,3) \f(5,4)\f(6,5) \f(7,6)解析：eq\i\in(0,e,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in(1,e,)eq\f(1,x)dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(1,0)＋lnx|eq\o\al(e,1)＝eq\f(4,3).答案：A10．若函数f(x)在R上可导，且f(x)>f′(x)，则当a>b时，下列不等式成立的是()A．eaf(a)>ebf(b)B．ebf(a)>eaf(b)C．ebf(b)>eaf(a)D．eaf(b)>ebf(a)解析：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(fx,ex)))′＝eq\f(exf′x－exfx,ex2)＝eq\f(ex[f′x－fx],ex2)<0，∴y＝eq\f(fx,ex)单调递减，又a>b，∴eq\f(fa,ea)<eq\f(fb,eb)，∴eaf(b)>ebf(a)．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．如果函数f(x)＝x3－6bx＋3b在区间(0,1)内存在与x轴平行的切线，则实数b的取值范围是________．解析：存在与x轴平行的切线，即f′(x)＝3x2－6b＝0有解．又∵x∈(0,1)，∴b＝eq\f(x2,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))12．函数y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a＝________.解析：∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a＋b＋a2＝10，,3＋2a＋b＝0，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11.))当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3))时，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，函数无极值，故a＝4，b＝－11.答案：413．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为________．解析：设圆柱的高为h，底面半径为R，根据条件4R＋2h＝4，得h＝2－2R,0<R<1.∴V＝πR2h＝πR2(2－2R)＝2πR2－2πR3，由V′＝4πR－6πR2＝0得R＝eq\f(2,3)，且当R∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))时，函数V递增；R∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))时，函数V递减，故R＝eq\f(2,3)时，V取最大值eq\f(8,27)π.答案：eq\f(8,27)π14．一动点P从原点出发，沿x轴运动，其速度v(t)＝2－t(速度的正方向与x轴的正方向一致)，则t＝3时，动点P移动的路程为________．解析：由v(t)＝2－t≥0得0≤t≤2，∴t＝3时，点P移动的路程为s＝eq\i\in(0,2,)(2－t)dt－eq\i\in(2,3,)(2－t)dt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t－\f(1,2)t2))|eq\o\al(2,0)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t－\f(1,2)t2))|eq\o\al(3,2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).(1)求曲线在x＝2处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解：(1)∵y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线斜率k＝y′|x＝2＝4.又x＝2时y＝4，∴在点P(2,4)处的切线方程：4x－y－4＝分(2)设曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)与过点P(2,4)的切线相切于点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))，则切线斜率k＝y′|x＝x0＝xeq\o\al(2,0)，∴切线方程为y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝xeq\o\al(2,0)·x－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3).8分∵点P(2,4)在切线上，∴xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1，x0＝2.故所求的切线方程为y＝x＋2或y＝4x－4，即4x－y－4＝0或x－y＋2＝分16．(12分)设函数f(x)＝aex＋eq\f(1,aex)＋b(a>0)．(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝eq\f(3,2)x，求a，b的值．解：(1)f′(x)＝aex－eq\f(1,aex)，当f′(x)>0，即x>－lna时，f(x)在(－lna，＋∞)上递增；当f′(x)<0，即x<－lna时，f(x)在(－∞，－lna)上递减．①当0<a<1时，－lna>0，f(x)在(0，－lna)上递减，在(－lna，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(－lna)＝2＋b；②当a≥1时，－lna≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(0)＝a＋eq\f(1,a)＋分(2)依题意f′(2)＝ae2－eq\f(1,ae2)＝eq\f(3,2)，解得ae2＝2或ae2＝－eq\f(1,2)(舍去)．所以a＝eq\f(2,e2)，代入原函数可得2＋eq\f(1,2)＋b＝3，即b＝eq\f(1,2).故a＝eq\f(2,e2)，b＝eq\f(1,2).12分17．(12分)若函数f(x)＝ax2＋2x－eq\f(4,3)lnx在x＝1处取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间及极值．解：(1)f′(x)＝2ax＋2－eq\f(4,3x)，由f′(1)＝2a＋eq\f(2,3)＝0，得a＝－eq\f(1,3).4分(2)f(x)＝－eq\f(1,3)x2＋2x－eq\f(4,3)lnx(x>0)．f′(x)＝－eq\f(2,3)x＋2－eq\f(4,3x)＝eq\f(－2x－1x－2,3x)由f′(x)＝0，得x＝1或x＝分①当f′(x)>0时1<x<2；②当f′(x)<0时0<x<1或x>2.当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下：x(0,1)1(1,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘eq\f(5,3)↗eq\f(8,3)－eq\f(4,3)ln2↘因此f(x)的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，＋∞)．函数的极小值为f(1)＝eq\f(5,3)，极大值为f(2)＝eq\f(8,3)－eq\f(4,3)分18．(14分)已知两个函数f(x)＝7x2－28x－c，g(x)＝2x3＋4x2－40x.(1)若对任意x∈[－3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求实数c的取值范围；(2)若对任意x1∈[－3,3]，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)成立，求实数c的取值范围．解：(1)∵f(x)≤g(x)恒成立，∴c≥(－2x3＋3x2＋12x)max.令F(x)＝－2x3＋3x2＋12x，x∈[－3,3]，∴F′(x)＝－6x2＋6x＋12，x∈[－3,3]，令F′(x)＝0得x＝－1或x＝2.∴当x∈[－1,2]，f′(x)≥0，f(x)单调递增，当x∈[－3，－1)或x∈(2,3]，f′(x)<0，f(x)单调递减，4分又∵F(2)＝20，F(－3)＝45，∴F(x)max＝F(－3)