2023年小学数学教师招聘考试专业知识

数学教师招聘考试专业知识复习一、复习规定（由于招考题目仅为高考知识，所以本内容以均为高考知识点）理解集合及表达法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；理解逻辑联结词的含义，会纯熟地转化四种命题，掌握反证法；理解充足条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。二、学习指导1、集合的概念：集合中元素特性，拟定性，互异性，无序性；集合的分类：按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特性分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表达非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表达开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；集合的表达法：①列举法：用来表达有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。2、两类关系：元素与集合的关系，用或表达；（2）集合与集合的关系，用，，=表达，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集。3、集合运算（1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且xA｝，集合U表达全集；运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。4、命题：命题分类：真命题与假命题，简朴命题与复合命题；复合命题的形式：p且q，p或q，非p；（3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。（3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。充足条件与必要条件（1）定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充足条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充足条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；（2）在判断充足条件及必要条件时，一方面要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，另一方面，结论要分四种情况说明：充足不必要条件，必要不充足条件，充足且必要条件，既不充足又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，则当AB时，p是q的充足条件。BA时，p是q的充足条件。A=B时，p是q的充要条件；当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想解决数学问题。三、典型例题例1、已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。解题思绪分析：在集合运算之前，一方面要辨认集合，即认清集合中元素的特性。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。另一方面要化简集合，或者说使集合的特性明朗化。M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}∴M∩N=M={y|y≥1}说明：事实上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}应当作是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x，y）|y=x2+1，x∈R}是有本质差异的，后者是点集，表达抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特性与代表元素的字母无关，例{y|y≥1}={x|x≥1}。例2、已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B+{x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。解题思绪分析：化简条件得A={1，2}，A∩B=BBA根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2}当B=φ时，△=m2-8<0∴当B={1}或{2}时，，m无解当B={1，2}时，∴m=3综上所述，m=3或说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B={1}或{2}时，不能漏掉△=0。例3、用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求证x、y中至少有一个大于1。解题思绪分析：假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾∴假设不成立∴x、y中至少有一个大于1说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。例4、若A是B的必要而不充足条件，C是B的充要条件，D是C的充足而不必要条件，判断D是A的什么条件。解题思绪分析：运用“”、“”符号分析各命题之间的关系DCBA∴DA，D是A的充足不必要条件说明：符号“”、“”具有传递性，但是前者是单方向的，后者是双方向的。例5、求直线：ax-y+b=0通过两直线1：2x-2y-3=0和2：3x-5y+1=0交点的充要条件。解题思绪分析：从必要性着手，分充足性和必要性两方面证明。由得1，2交点P（）∵过点P∴∴17a+4b=11充足性：设a，b满足17a+4b=11∴代入方程：整理得：此方程表白，直线恒过两直线的交点（）而此点为1与2的交点∴充足性得证∴综上所述，命题为真说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是运用“”，双向传输，同时证明充足性及必要性；另一种是分别证明必要性及充足性，从必要性着手，再检查充足性。四、同步练习选择题设M={x|x2+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M的关系是A、{a}=MB、M{a}C、{a}MD、M{a}已知全集U=R，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，则a的取值范围是[0，2]B、（-2，2）C、（0，2]D、（0，2）已知集合M={x|x=a2-3a+2，a∈R}，N、{x|x=b2-b，b∈R}，则M，N的关系是MNB、MNC、M=ND、不拟定4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是A、11B、10C、16D、155、集合M={1，2，3，4，5}的子集是A、15B、16C、31D、326、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断对的的是A、所给命题为假B、它的逆否命题为真C、它的逆命题为真D、它的否命题为真7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的A、充足不必要条件B、必要不充足条件C、充要条件D、既不充足也不必要条件8、集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3+1，∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之间的关系是A、SBAB、S=BAC、SB=AD、SB=A9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是A、0<m≤1或m<0B、0<m≤1C、m<1D、m≤110、已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的A、充足不必要条件B、必要不充足条件充要条件D、既不充足又不必要条件填空题已知M={}，N={x|，则M∩N=__________。12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是________人。关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是________________。命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。非空集合p满足下列两个条件：（1）p{1，2，3，4，5}，（2）若元素a∈p，则6-a∈p，则集合p个数是__________。解答题设集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=|x|}，若A∩B是单元素集合，求a取值范围。已知抛物线C：y=-x2+mx-1，点M（0，3），N（3，0），求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件。设A={x|x2+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A∩M=φ，A∩N=A，求p、q的值。已知，b=2-x，c=x2-x+1，用反证法证明：a、b、c中至少有一个不小于1。函数一、复习规定函数的定义及通性；2、函数性质的运用。二、学习指导1、函数的概念：（1）映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之相应，则称从A到B的相应为映射，记为f：A→B，f表达相应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，则称映射为单射，若B中每一个元素都有原象与之相应，则称映射为满射。既是单射又是满射的映射称为一一映射。（2）函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。定义域，相应法则，值域构成了函数的三要素，从逻辑上讲，定义域，相应法则决定了值域，是两个最基本的因素。逆过来，值域也会限制定义域。求函数定义域，通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。要熟记基本初等函数的定义域，通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域，不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数相应法则的规定。理解函数定义域，应紧密联系相应法则。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数相应法则通常表现为表格，解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式。求已知类型函数解析式的方法是待定系数法，抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便。在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型解决方法就是建立函数解析式，借助于求函数值域的方法。2、函数的通性（1）奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在运用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如，（f(x)≠0）。奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。运用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的环节。（2）单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。判断函数单调性的方法：①定义法，即比差法；②图象法；③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；④复合函数单调性判断法则。函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用重要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。（3）周期性：周期性重要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。求周期的重要方法：①定义法；②公式法；③图象法；④运用重要结论：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，则T=2|a-b|。（4）反函数：函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数之前一方面要判断函数是否具有反函数，函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是解决反函数问题的重要思想。设函数f(x)定义域为A，值域为C，则f-1[f(x)]=x，x∈Af[f-1(x)]=x，x∈C函数的图象函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充足发挥图象的工具作用。图象作法：①描点法；②图象变换。应掌握常见的图象变换。4、本单常见的初等函数；一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在具体的相应法则下理解函数的通性，掌握这些具体相应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，运用赋值法（变量代换法）解题。联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思绪，及解题突破口。应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意，找准数量关系，把握好模型是解应用题的关键。5、重要思想方法：数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。三、典型例题例1、已知，函数y=g(x)图象与y=f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称，求g(11)的值。分析：运用数形相应的关系，可知y=g(x)是y=f-1(x+1)的反函数，从而化g(x)问题为已知f(x)。∵y=f-1(x+1)∴x+1=f(y)∴x=f(y)-1∴y=f-1(x+1)的反函数为y=f(x)-1即g(x)=f(x)-1∴g(11)=f(11)-1=评注：函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，当f(x)存在反函数时，若b=f(a)，则a=f-1(b)。例2、设f(x)是定义在（-∞，+∞）上的函数，对一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，当-1<x≤1时，f(x)=2x-1，求当1<x≤3时，函数f(x)的解析式。解题思绪分析：运用化归思想解题∵f(x)+f(x+2)=0∴f(x)=-f(x+2)∵该式对一切x∈R成立∴以x-2代x得：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)当1<x≤3时，-1<x-2≤1∴f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5∴f(x)=-f(x-2)=-2x+5∴f(x)=-2x+5（1<x≤3）评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持相应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。例3、已知g(x)=-x2-3，f(x)是二次函数，当x∈[-1，2]时，f(x)的最小值，且f(x)+g(x)为奇函数，求f(x)解析式。分析：用待定系数法求f(x)解析式设f(x)=ax2+bx+c（a≠0）则f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3由已知f(x)+g(x)为奇函数∴∴f(x)=x2+bx+3下面通过拟定f(x)在[-1，2]上何时取最小值来拟定b，分类讨论。，对称轴当≥2，b≤-4时，f(x)在[-1，2]上为减函数∴∴2b+7=1∴b=3（舍）当（-1，2），-4<b<2时∴∴（舍负）当≤-1，b≥2时，f(x)在[-1，2]上为增函数∴(f(x)min=f(1)=4-b∴4-b=1∴b=3∴，或评注：二次函数在闭区间上的最值通常对对称轴与区间的位置关系进行讨论，是求值域的基本题型之一。在已知最值结果的条件下，仍需讨论何时取得最小值。例4、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，求证：f(0)=1；求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；证明：f(x)是R上的增函数；若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。分析：令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0∴f(0)=1令a=x，b=-x则f(0)=f(x)f(-x)∴由已知x>0时，f(x)>1>0当x<0时，-x>0，f(-x)>0∴又x=0时，f(0)=1>0∴对任意x∈R，f(x)>0任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0∴∴f(x2)>f(x1)∴f(x)在R上是增函数f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0∴0<x<3评注：根据f(a+b)=f(a)·f(b)是恒等式的特点，对a、b适当赋值。运用单调性的性质去掉符号“f”得到关于x的代数不等式，是解决抽象函数不等式的典型方法。例5、已知lgx+lgy=2lg(x-2y)，求的值。分析：在化对数式为代数式过程中，全面挖掘x、y满足的条件由已知得∴x=4y，∴例6、某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估测以后每月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可选用y=abx+c（其中a，b，c为常数）或二次函数，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由。分析：设f(x)=px2+qx+r（p≠0）则∴∴f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3设g(x)=abx+c则∴∴g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35∵|1.35-1.37|<|1.3-1.37|∴选用y=-0.8×(0.5)x+1.4作为模拟函数较好。四、巩固练习选择题1、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且在[-1，0]上单调递增，设a=f(3)，b=f()，c=f(2)，则a，b，c大小关系是A、a>b>cB、a>c>bC、b>c>aD、c>b>a2、方程（a>0且a≠1）的实数解的个数是A、0B、1C、2D、33、的单调减区间是A、（-∞，1）B、（1，+∞）C、（-∞，-1）∪（1，+∞）D、（-∞，+∞）函数的值域为（-∞，3]B、（-∞，-3]C、（-3，+∞）D、（3，+∞）函数y=log2|ax-1|（a≠b）的图象的对称轴是直线x=2，则a等于B、C、2D、-26、有长度为24的材料用一矩形场地，中间加两隔墙，要使矩形的面积最大，则隔壁的长度为3B、4C、6D、12填空题7、已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)=x，则=__________。已知y=loga(2-x)是x的增函数，则a的取值范围是__________。函数f(x)定义域为[1，3]，则f(x2+1)的定义域是__________。10、函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是__________。11、已知f(x)=log3x+3，x∈[1，9]，则y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是__________。12、已知A={y|y=x2-4x+6，y∈N}，B={y|y=-x2-2x+18，y∈N}，则A∩B中所有元素的和是__________。13、若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)=mφ(x)+ng(x)+2在（0，+∞）上有最大值，则f(x)在（-∞，0）上最小值为__________。14、函数y=log2(x2+1)（x>0）的反函数是__________。15、求值：=__________。解答题16、若函数的值域为[-1，5]，求a，c。17、设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)<f(m)，求实数m的取值范围。18、已知0<a<1，在函数y=logax（x≥1）的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是t，t+2，t+4若△ABC面积为S，求S=f(t)；判断S=f(t)的单调性；求S=f(t)最大值。设f(x)=，x∈R证明：对任意实数a，f(x)在（-∞，+∞）上是增函数；当f(x)为奇函数时，求a；当f(x)为奇函数时，对于给定的正实数k，解不等式。设0<a<1，函数f(x)=的定义域为[m，n]，值[logaa(n-1)，logaa(m-1)]，求证：m>3；求a的取值范围。数列一、复习规定等差数列及等比数列的定义，通项公式，前n项和公式及性质；2、一般数列的通项及前n项和计算。二、学习指导1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的相应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表达。研究数列，一方面研究相应法则——通项公式：an=f(n)，n∈N+，要能合理地由数列前n项写出通项公式，另一方面研究前n项和公式Sn：Sn=a1+a2+…an，由Sn定义，得到数列中的重要公式：。一般数列的an及Sn,，除化归为等差数列及等比数列外，求Sn尚有下列基本题型：列项相消法，错位相消法。2、等差数列（1）定义，{an}为等差数列an+1-an=d（常数），n∈N+2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N+）；（2）通项公式：an=an+(n-1)d，an=am+(n-m)d；前n项和公式：；（3）性质：an=an+b，即an是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；Sn=an2+bn，即Sn是n的不含常数项的二次函数；若{an}，{bn}均为等差数列，则{an±nn},{},{kan+c}（k，c为常数）均为等差数列；当m+n=p+q时，am+an=ap+aq，特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…；当2n=p+q时，2an=ap+aq；当n为奇数时，S2n-1=(2n-1)an；S奇=a中，S偶=a中。3、等比数列定义：=q（q为常数，an≠0）；an2=an-1an+1（n≥2，n∈N+）；通项公式：an=a1qn-1，an=amqn-m;前n项和公式：；性质当m+n=p+q时，aman=apaq，特例：a1an=a2an-1=a3an-2=…，当2n=p+q时，an2=apaq，数列{kan}，{}成等比数列。4、等差、等比数列的应用（1）基本量的思想：常设首项、公差及首项、公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等；（2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算；（3）若{an}为等差数列，则{}为等比数列（a>0且a≠1）；若{an}为正数等比数列，则{logaan}为等差数列（a>0且a≠1）。三、典型例题例1、已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，其中，，…，恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+kn。解题思绪分析：从寻找新、旧数列的关系着手设{an}首项为a1，公差为d∵a1，a5，a17成等比数列∴a52=a1a17∴（a1+4d）2=a1(a1+16d)∴a1=2d设等比数列公比为q，则对项来说，在等差数列中：在等比数列中：∴∴注：本题把k1+k2+…+kn当作是数列{kn}的求和问题，着重分析{kn}的通项公式。这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”。例2、设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列{}的前n项和，求Tn。解题思绪分析：法一：运用基本元素分析法设{an}首项为a1，公差为d，则∴∴∴此式为n的一次函数∴{}为等差数列∴法二：{an}为等差数列，设Sn=An2+Bn∴解之得：∴，下略注：法二运用了等差数列前n项和的性质例3、正数数列{an}的前n项和为Sn，且，求：数列{an}的通项公式；设，数列{bn}的前n项的和为Bn，求证：Bn.解题思绪分析：涉及到an及Sn的递推关系，一般都用an=Sn-Sn-1（n≥2）消元化归。∵∴4Sn=(an+1)2∴4Sn-1=(an-1+1)2（n≥2）∴4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(an-1+1)2∴4an=an2-an-12+2an-2an-1整理得：(an-1+an)(an-an-1-2)=0∵an>0∴an-an-1=2∴{an}为公差为2的等差数列在中，令n=1，a1=1∴an=2n-1（II）∴注：递推是学好数列的重要思想，例本题由4Sn=(an+1)2推出4Sn-1=(an-1+1)2，它其实就是函数中的变量代换法。在数列中一般用n-1，n+1等去代替n，事实上也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式，代换就是对n赋值。例4、等差数列{an}中，前m项的和为77（m为奇数），其中偶数项的和为33，且a1-am=18，求这个数列的通项公式。分析：运用前奇数项和和与中项的关系令m=2n-1，n∈N+则∴∴n=4∴m=7∴an=11∴a1+am=2an=22又a1-am=18∴a1=20，am=2∴d=-3∴an=-3n+23例5、设{an}是等差数列，，已知b1+b2+b3=，b1b2b3=，求等差数列的通项an。解题思绪分析：∵{an}为等差数列∴{bn}为等比数列从求解{bn}着手∵b1b3=b22∴b23=∴b2=∴∴或∴或∵∴∴an=2n-3或an=-2n+5注：本题化归为{bn}求解，比较简朴。若用{an}求解，则运算量较大。例6、已知{an}是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和，用Sn表达Sn+1；是否存在自然数c和k，使得成立。解题思绪分析：（1）∵∴（2）（*）∵∴∴式（*）①∵Sk+1>Sk∴又Sk<4∴由①得：c=2或c=3当c=2时∵S1=2∴k=1时，c<Sk不成立，从而式①不成立∵∴由Sk<Sk+1得：∴当k≥2时，，从而式①不成立当c=3时，S12，S2=3∴当k=1，2时，C<Sk不成立∴式①不成立∵∴当k≥3时，，从而式①不成立综上所述，不存在自然数c，k，使成立例7、某公司全年的利润为b元，其中一部分作为资金发给n位职工，资金分派方案如下：一方面将职工按工作业绩（工作业绩均不相等）从大到小，由1到n排序，第1位职工得资金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将资金逐个发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金。（1）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得资金额，试求a2，a3，并用k，n和b表达ak（不必证明）；（2）证明：ak<ak+1（k=1，2，…，n-1），并解释此不等式关于分派原则的实际意义。解题思绪分析：谈懂题意，理清关系，建立模型第1位职工的奖金第2位职工的奖金第3位职工的奖金……第k位职工的奖金（2）此奖金分派方案体现了“按劳分派”或“不吃大锅饭”等原则。例8、试问数列{}的前多少项的和最大，并求这个最大值（lg2=0.3010）解题思绪分析：法一：∴{an}为首项为2，公差为的等差数列∴∵n∈N+∴n=14时，(Sn)max=14.35法二：∵a1=2>0，d=∴{an}是递减数列，且Sn必为最大值设∴∴∴k=14∴(Sn)max=S14=14.35四、同步练习选择题1、已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<logmab<1，则m取值范围是A、m>1B、1<m<8C、m>8D、0<m<1或2、设a>0，b>0，a，x1，x2，b成等差数列，a，y1，y2，b成等比数列，则x1+x2与y1+y2的大小关系是A、x1+x2≤y1+y2B、x1+x2≥y1+y2C、x1+x2<y1+y2D、x1+x2>y1+y2已知Sn是{an}的前n项和，Sn=Pn（P∈R，n∈N+），那么数列{an}是等比数列B、当P≠0时是等比数列当P≠0，P≠1时是等比数列D、不是等比数列{an}是等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，则a3A、5B、10C、15D、20已知a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴交点个数是0B、1C、2D、1或2设m∈N+，log2m的整数部分用F(m)表达，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是8204B、8192C、9218D、80217、若x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0（a≠b）的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值为B、C、D、在100以内所有能被3整除但不能被7整除的正整数和是A、1557B、1473C、1470D、13689、从材料工地运送电线杆到500m以外的公路，沿公路一侧每隔5011700mB、14700mC、14500mD、10、已知等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取最大值的正整数n是A、4或5B、5或6C、6或7D、8或9填空题11、已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)，则它的前n项和Sn=______。12、设等差数列{an}共有3n项，它的前2n项之和为100，后2n项之和为200，则该等差数列的中间n项的和等于________。13、设数列{an}，{bn}（bn>0），n∈N+满足（n∈N+），则{an}为等差数列是{bn}为等比数列的________条件。14、长方体的三条棱成等比数列，若体积为216cm3，则全面积的最小值是______cm215、若不等于1的三个正数a，b，c成等比数列，则(2-logba)(1+logca)=________。解答题16、已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比和项数。17、已知等比数列{an}的首项为a1>0，公比q>-1（q≠1），设数列{bn}的通项bn=an+1+an+2（n∈N+），数列{an},{bn}的前n项和分别记为An，Bn，试比较An与Bn大小。18、数列{an}中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1-an（n∈N+）求数列{an}通项公式；设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn；设（n∈N+）Tn=b1+b2+…+bn，是否存在最大的整数m，使得对于任意的n∈N+，均有成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。三角函数一、复习规定三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式，涉及诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；3、三角函数的图象及性质。二、学习指导1、角的概念的推广。从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。这样一来，在直角坐标系中，当角的终边拟定期，其大小不一定（通常把角的始边放在x轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同）。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表达成k·3600+α的形式，特例，终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800，k∈Z}，终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800+900，k∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900，k∈Z}。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先拟定角的终边位置，然后再拟定大小。弧度制是角的度量的重要表达法，能对的地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式=|α|R，扇形面积公式，其中α为弧所对圆心角的弧度数。2、运用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。设P(x，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记，则，，，。运用三角函数定义，可以得到（1）诱导公式：即与α之间函数值关系（k∈Z），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。3、三角变换公式涉及和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要纯熟地正用、逆用、变用。如倍角公式：cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α，变形后得，可以作为降幂公式使用。三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义：设T为非零常数，若对f(x)定义域中的每一个x，均有f(x+T)=f(x)，则称T为f(x)的周期。当T为f(x)周期时，kT（k∈Z，k≠0）也为f(x)周期。三角函数图象是性质的重要组成部分。运用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法，纯熟掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。5、本章思想方法等价变换。纯熟运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；数形结合。充足运用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；分类讨论。三、典型例题已知函数f(x)=求它的定义域和值域；求它的单调区间；判断它的奇偶性；判断它的周期性。分析：（1）x必须满足sinx-cosx>0，运用单位圆中的三角函数线及，k∈Z∴函数定义域为，k∈Z∵∴当x∈时，∴∴∴函数值域为[）（3）∵f(x)定义域在数轴上相应的点关于原点不对称∴f(x)不具有奇偶性（4）∵f(x+2π)=f(x)∴函数f(x)最小正周期为2π注；运用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号，如图。化简，α∈（π，2π）分析：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式∵∴原式=∵α∈（π，2π）∴∴当时，∴原式=当时，∴原式=∴原式=注：1、本题运用了“1”的逆代技巧，即化1为，是欲擒故纵原则。一般地有，，。2、三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为（取）是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±cosx，要纯熟掌握变形结论。求。分析：原式=注：在化简三角函数式过程中，除运用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。例4、已知00<α<β<900，且sinα，sinβ是方程=0的两个实数根，求sin(β-5α)的值。分析：由韦达定理得sinα+sinβ=cos400，sinαsinβ=cos2400-∴sinβ-sinα=又sinα+sinβ=cos400∴∵00<α<β<900∴∴sin(β-5α)=sin600=注：运用韦达定理变形寻找与sinα，sinβ相关的方程组，在求出sinα，sinβ后再运用单调性求α，β的值。例5、（1）已知cos(2α+β)+5cosβ=0，求tan(α+β)·tanα的值；（2）已知，求的值。分析：从变换角的差异着手。∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α∴8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0展开得：13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0同除以cos(α+β)cosα得：tan(α+β)tanα=以三角函数结构特点出发∵∴∴tanθ=2∴注；齐次式是三角函数式中的基本式，其解决方法是化切或降幂。例6、已知函数（a∈(0，1)），求f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。分析：对三角函数式降幂∴f(x)=令则y=au∴0<a<1∴y=au是减函数∴由得，此为f(x)的减区间由得，此为f(x)增区间∵u(-x)=u(x)∴f(x)=f(-x)∴f(x)为偶函数∵u(x+π)=f(x)∴f(x+π)=f(x)∴f(x)为周期函数，最小正周期为π当x=kπ（k∈Z）时，ymin=1当x=kπ+（k∈Z）时，ynax=注：研究三角函数性质，一般降幂化为y=Asin(ωx+φ)等一名一次一项的形式。四、同步练习选择题1、下列函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是A、y=lgx2B、y=|sinx|C、y=cosxD、y=假如函数y=sin2x+acos2x图象关于直线x=-对称，则a值为-B、-1C、1D、3、函数y=Asin(ωx+φ)（A>0，φ>0），在一个周期内，当x=时，ymax=2；当x=时，ymin=-2，则此函数解析式为A、B、C、D、4、已知=1998，则的值为A、1997B、1998C、1999D、20235、已知tanα，tanβ是方程两根，且α，β，则α+β等于A、B、或C、或D、6、若，则sinx·siny的最小值为A、-1B、-C、D、7、函数f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是A、5.5B、6.5C8、若θ∈（0，2π]，则使sinθ<cosθ<cotθ<tanθ成立的θ取值范围是A、（）B、（）C、（）D、（）9、下列命题对的的是若α，β是第一象限角，α>β，则sinα>sinβ函数y=sinx·cotx的单调区间是，k∈Z函数的最小正周期是2π函数y=sinxcos2φ-cosxsin2x的图象关于y轴对称，则，k∈Z函数的单调减区间是B、D、k∈Z填空题函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的图象关于y轴对称，则θ=________。已知α+β=，且(tanαtanβ+c)+tanα=0（c为常数），那么tanβ=______。函数y=2sinxcosx-(cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为________。已知(x-1)2+(y-1)2=1，则x+y的最大值为________。函数f(x)=sin3x图象的对称中心是________。解答题已知tan(α-β)=，tanβ=，α，β∈（-π，0），求2α-β的值。是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+在闭区间[0，]上的最大值是1？若存在，求出相应的a值。18、已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+（x∈R）求f(x)的最小正周期；求f(x)单调区间；求f(x)图象的对称轴，对称中心。平面向量一、复习规定向量的概念；2、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律；3、向量运算的运用二、学习指导1、向量是数形结合的典范。向量的几何表达法——有向线段表达法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等。向量的三种线性运算及运算的三种形式。向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。重要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+=-=记=(x1,y1)，=(x1,y2)则+=(x1+x2,y1+y2)-=（x2-x1,y2-y1）+=实数与向量的乘积=λλ∈R记=(x,y)则λ=(λx,λy)两个向量的数量积·=||||cos<,>记=(x1,y1),=(x2,y2)则·=x1x2+y1y2运算律加法：+=+，(+)+=+(+)实数与向量的乘积：λ(+)=λ+λ；(λ+μ)=λ+μ，λ(μ)=(λμ)两个向量的数量积：·=·；(λ)·=·(λ)=λ(·)，(+)·=·+·说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，对的迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(±)2=重要定理、公式（1）平面向量基本定理；假如+是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任历来量，有且只有一对数数λ1，λ2，满足=λ1+λ2，称λ1λ+λ2为，的线性组合。根据平面向量基本定理，任历来量与有序数对(λ1,λ2)一一相应，称(λ1,λ2)为在基底{，}下的坐标，当取{，}为单位正交基底{，}时定义(λ1，λ2)为向量的平面直角坐标。向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1)（2）两个向量平行的充要条件符号语言：若∥，≠，则=λ坐标语言为：设=（x1,y1），=(x2,y2)，则∥(x1,y1)=λ(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0在这里，实数λ是唯一存在的，当与同向时，λ>0；当与异向时，λ<0。|λ|=，λ的大小由及的大小拟定。因此，当，拟定期，λ的符号与大小就拟定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。（3）两个向量垂直的充要条件符号语言：⊥·=0坐标语言：设=(x1,y1),=(x2,y2)，则⊥x1x2+y1y2=0（4）线段定比分点公式如图，设则定比分点向量式：定比分点坐标式：设P（x,y），P1（x1,y1），P2（x2,y2）则特例：当λ=1时，就得到中点公式：，事实上，对于起点相同，终点共线三个向量，，（O与P1P2不共线），总有=u+v，u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表达第三个向量，且系数和为1。（5）平移公式：点平移公式，假如点P（x，y）按=（h，k）平移至P’（x’，y’），则分别称（x，y），（x’，y’）为旧、新坐标，为平移法则在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标②图形平移：设曲线C：y=f(x)按=（h，k）平移，则平移后曲线C’相应的解析式为y-k=f(x-h)当h，k中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右及上下移运用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性质（6）正弦定理，余弦定理正弦定理：余弦定理：a2=b2+c2-2cbcosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosc定理变形：cosA=，cosB=，cosC=正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本，理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。运用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点。三、典型例题例1、如图，，为单位向量，与夹角为1200，与的夹角为450，||=5，用，表达。分析：以，为邻边，为对角线构造平行四边形把向量在，方向上进行分解，如图，设=λ，=μ，λ>0，μ>0则=λ+μ∵||=||=1∴λ=||，μ=||OEC中，∠E=600，∠OCE=750，由得：∴∴说明：用若干个向量的线性组合表达一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来解决例2、已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。分析：用解方程组思想设D（x，y），则=（x-2，y+1）∵=（-6，-3），·=0∴-6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0①∵=(x-3，y-2)，∥∴-6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0②由①②得：∴D（1，1），=（-1，2）例3、求与向量=，-1）和=（1，）夹角相等，且模为的向量的坐标。分析：用解方程组思想法一：设=（x，y），则·=x-y，·=x+y∵<，>=<，>∴∴即①又||=∴x2+y2=2②由①②得或（舍）∴=法二：从分析形的特性着手∵||=||=2·=0∴△AOB为等腰直角三角形，如图∵||=，∠AOC=∠BOC∴C为AB中点∴C（）说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。例4、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记=，=，用，表达向量。分析：∵B、P、M共线∴记=s∴①同理，记∴=②∵,不共线∴由①②得解之得：∴说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，运用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程。例5、已知长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点运用向量知识鉴定点P在什么位置时，∠PED=450；若∠PED=450，求证：P、D、C、E四点共圆。分析：运用坐标系可以拟定点P位置如图，建立平面直角坐标系则C（2，0），D（2，3），E（1，0）设P（0，y）∴=（1，3），=（-1，y）∴·=3y-1代入cos450=解之得（舍），或y=2∴点P为靠近点A的AB三等分处当∠PED=450时，由（1）知P（0，2）∴=（2，1），=（-1，2）∴·=0∴∠DPE=900又∠DCE=900∴D、P、E、C四点共圆说明：运用向量解决几何问题一步要骤为：①建立平面直角坐标系；②设点的坐标；③求出有关向量的坐标；④运用向量的运算计算结果；⑤得到结论。四、同步练习选择题平面内三点A（0，-3），B（3，3），C（x，-1），若∥，则x的值为：-5B、-1C、1D、52、平面上A（-2，1），B（1，4），D（4，-3），C点满足，连DC并延长至E，使||=||，则点E坐标为：A、（-8，）B、（）C、（0，1）D、（0，1）或（2，）点（2，-1）沿向量平移到（-2，1），则点（-2，1）沿平移到：A、（2，-1）B、（-2，1）C、（6，-3）D、（-6，3）△ABC中，2cosB·sinC=sinA，则此三角形是：直角三角形B、等腰三角形C、等边三角形D、以上均有也许设，，是任意的非零平面向量，且互相不共线，则：①(·)-(·)=0②||-||<|-|③(·)-(·)不与垂直④(3+2)·(3-2)=9||2-4|2中，真命题是：A、①②B、②③C、③④D、②④6、△ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2)，则∠C度数是：A、600B、450或1350C、12007、△OAB中，=，=，=，若=，t∈R，则点P在A、∠AOB平分线所在直线上B、线段AB中垂线上C、AB边所在直线上D、AB边的中线上8、正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=（0，3），=（4，0），则=A、（）B、（）C、（7，4）D、（）填空题9、已知{，|是平面上一个基底，若=+λ，=-2λ-，若，共线，则λ=__________。10、已知||=，||=1，·=-9，则与的夹角是________。11、设，是两个单位向量，它们夹角为600，则(2-)·(-3+2)=____________。12、把函数y=cosx图象沿平移，得到函数___________的图象。解答题13、设=（3，1），=（-1，2），⊥，∥，试求满足+=的的坐标，其中O为坐标原点。14、若+=（2，-8），-=（-8，16），求、及与夹角θ的余弦值。15、已知||=，||=3，和夹角为450，求当向量+λ与λ+夹角为锐角时，λ的取值范围。不等式一、复习规定不等式的概念及性质；2、不等式的证明；3、不等式的解法；4、不等式的应用。二、学习指导不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有：对称性或反身性：a>bb<a；传递性：若a>b，b>c，则a>c；可加性：a>ba+c>b+c，此法则又称为移项法则；可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac<bc。不等式运算性质：同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d；正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。特例：（3）乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则；（4）开方法则：若a>b>0，n∈N+，则；倒数法则：若ab>0，a>b，则。掌握不等式的性质，应注意：条件与结论间的相应关系，如是“”符号还是“”符号；不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。2、均值不等式；运用完全平方式的性质，可得a2+b2≥2ab（a，b∈R），该不等式可推广为a2+b2≥2|ab|；或变形为|ab|≤；当a，b≥0时，a+b≥或ab≤.在具体条件下选择适当的形式。3、不等式的证明：不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。不等式的解法：解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。运用序轴标根法可以解分式及高次不等式。含参数的不等式应适当分类讨论。5、不等式的应用相称广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题过程中，应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。三、典型例题已知f(x)=ax2-c，-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的取值范围。分析：从条件和结论互相化归的角度看，用f(1)，f(2)的线性组合来表达f(3)，再运用不等式的性质求解。设f(3)=mf(1)+nf(2)∴9a-c=m(a-c)+n(4a-c)∴9a-c=(m+4n)a-(m+n)c∴∴∴f(3)=∵-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5∴≤≤,≤≤∴-1≤f(3)≤20说明：1、本题也可以先用f(1)，f(2)表达a，c，即a=[f(2)-f(1)]，c=[f(2)-4f(1)]，然后代入f(3)，达成用f(1)，f(2)表达f(3)的目的。2、本题典型错误是从-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5中解出a，c的范围，然后再用不等式的运算性质求f(3)=9a-c本题还可用线性规划知识求解。设a>0，b>0，求证：≥。分析：法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三环节即为函数单调性证明的环节。左-右=≥0∴左≥右法二：基本不等式根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧。∵≥≥∴两式相加得：≥设实数x，y满足y+x2=0，0<a<1，求证：≤。分析：∵≥，≤，0<a<1∴≥∴≥∴≤说明：本题在放缩过程中，运用了函数的单调性，函数知识与不等式是紧密相连的。例4、已知a，b为正常数，x，y为正实数，且，求x+y的最小值。分析：法一：直接运用基本不等式：≥当且仅当，即时等号成立说明：为了使得等号成立，本题运用了“1”的逆代换。法二：消元为一元函数途径一：由得∴∵x>0，y>0，a>0∴由>0得y-b>0∴x+y≥当且仅当，即时，等号成立途径二：令，，∈（0，）∴，∴x+y=≥当且仅当时，等号成立说明：本题从代数消元或三角换元两种途径起到了消元作用。例5、已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b解关于a的不等式f(1)>0；当不等式f(x)>0的解集为（-1，3）时，求实数a，b的值。分析：f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3∵f(1)>0∴a2-6a+3-b<0=24+4b当b≤-6时，△≤0∴f(1)>0的解集为φ；当b>-6时，∴f(1)>0的解集为（2）∵不等式-3x2+a(6-a)x+b>0的解集为（-1，3）∴f(x)>0与不等式(x+1)(x-3)<0同解∵3x2-a(6-a)x-b<0解集为（-1，3）∴解之得例6、设a，b∈R，关于x方程x2+ax+b=0的实根为α，β，若|a|+|b|<1，求证：|α|<1，|β|<1。解题思绪分析：在不等式、方程、函数的综合题中，通常以函数为中心。法一：令f(x)=x2+ax+b则f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>0又∵0<|a|≤|a|+|b|<1∴-1<a<1∴∴f(x)=0的两根在（-1，1）内，即|α|<1，|β|<1法二：∵α+β=-a，αβ=b∴|α+β|+|αβ|=|α|+|β|<1∴|α|-|β|+|α||β|<|α+β|+|αβ|<1∴（|α|-1）（|β|+1）<0∵|β|+1>0∴|α|<1同理：|β|<1说明：对绝对值不等式的解决技巧是适度放缩，如|a|-|b|≤|a+b|及|b|-|a|≤|a±b|的选择等。例7、某人乘坐出租车从A地到乙地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，每km价1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每km价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较适合？分析：设A地到B地距离为mkm，起步价内行驶的路为akm显然，当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较合适当m>a时，设m=a+x（x>0），乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)=10+1.2x，Q(x)=8+1.4x∵P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x)∴当x>0时，P(x)<Q(x)，此时起步价为10元的出租车比较合适当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选起步价为8元的出租车比较合适当x=10时，此时两种出租车任选四、同步练习选择题1、“a>0且b>0”是“≥”的A、充足而非必要条件B、必要而非充要条件C、充要条件D、既非充足又非必要条件2、设a<0，则关于x的不等式42x2+ax-a2<0的解集为A、（）B、（）C、（）D、φ若0<a<b且a+b=1，则四个数，b，2ab，a2+b2中最大的是B、bC、2abD、a2+b2已知x>0，f(x)=，则A、f(x)≤2B、f(x)≥10C、f(x)≥6D、f(x)≤3已知，（a>2），则p>qB、p<qC、p≥qD、p≤q若|a-c|<h，|b-c|<h，则下列不等式一定成立的是|a-b|<2hB、|a-b|>2hC、|a-b|<hD、|a-b|>h关于x的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解，则实数a的取值范围是（-∞，-8]∪[0，+∞）B、（-∞，-4）[-8，4）D、（-∞，-8]若a>0，b>0，且2a+b=1，则S=2-4a2-b2的最大值是B、C、D、填空题设a>0，b>0，a，b是常数，则当x>0时，函数f(x)=的最小值是______。10、周长为的直角三角形面积的最大值为__________。11、记S=，则S与1的大小关系是__________。12、不等式|x2-2x+3|<|3x-1|的解集为__________。解答题13、要使不等式≤对所有正数x，y都成立，试问k的最小值是多少？14、解关于x的不等式15、已知a≠0，求证：≥16、已知不等式对n∈N+都成立，试求实数a的取值范围。17、若a是正实数，2a2+3b2=10，求的最值。18、商店经销某商品，年销售量为D件，每件商品库存费用为I元，每批进货量为Q件，每次进货所需费用为S元，现假定商店在卖完该货品时立即进货，使库存量平均为件，问每批进货量Q为多大时，整个费用最省？直线和圆的方程一、复习规定直线方程的五种表现形式，如何求直线方程；二元一次不等式的几何意义及运用。2、圆的方程三种形式，如何求圆的方程。3、直线和圆位置关系的研究。二、学习指导曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象。借助于平面直角坐标系，形和数可以得到高度的统一，它们最基本的相应关系是点和有序数对的一一相应。当点运动形成轨迹时，相应坐标便会满足一个方程。当曲线C和方程F(x，y)=0满足如下关系时：①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；②以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上，则称曲线C为方程F(x，y)=0表达的曲线；方程F(x，y)=0是曲线C表达的方程。从集合角度看，点集（曲线）与方程解集相等。解析几何研究的内容就是给定曲线C，如何求出它所相应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。其特性是以数解形。坐标法是几何问题代数化的重要方法。2、直线的倾斜角α和斜率k是描述直线位置的重要参数，它们之间关系是正切函数关系：k=tanα，α∈[0，，当α=时，直线斜率不存在，否则由α求出唯一的k与之相应。当已知k，求倾斜角α时：k≥0时，α=arctank；k<0时，α=π+arctank。或：k=0时，α=0；k≠0时，cotα=,α=arccot。由正切函数可知，当α∈（0，），α递增时，斜率k→+∞。当α∈（，π），α递减时，斜率k→-∞。当涉及到斜率参数时，通常对k是否存在分类讨论。3、直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）一一相应。从几何条件看，已知直线上一点及直线方向与已知直线上两点均可拟定直线；从相应方程看，直线方程两种典型形式：点斜式（斜截式），两点式（截距式），因此求直线方程，常用待定系数法。即根据题意，选择方程的适当形式；由已知条件，列关于参数的方程（组）。当点P(x0，y0)在直线Ax+By+C=0上时，其坐标满足方程Ax0+By0+C=0；当P不在直线Ax+By+C=0上时，Ax0+By0+C≠0，即Ax0+By0+C>0或Ax0+By0+C<0。这就是二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）表达直线Ax+By+C=0上方或下方区域，其具体位置的拟定常用原点（0，0）代入检查。运用此几何意义，可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划的内容。因直线与二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）一一相应，即由有序数组（A，B，C）拟定，因此研究直线与直线之间的位置关系就是考察直线相应的数组间关系。设直线1：A1x+B1y+C1=0（A12+B12≠0），直线2：A2x+B2y+C2=0（A22+B22≠0）则：1∥21与2相交A1B2≠A2B1其夹角公式为，其中k1，k2分别表达1及2斜率，当1或2斜率不存在时，画图通过三角形求解，1与2夹角为θ∈（0，]特例：1⊥2A1A2+B1B2=0（此时不能用夹角公式求解）运用点P(x0，y0)到直线：Ax+By+C=0的距离公式d=可以求出两平行直线：Ax+By+C1=0，Ax+By+C2=0（C1≠C2）间的距离d=。4、当直线位置不拟定期，直线相应的方程中具有参数。含参数方程中有两种特殊情形，它们的相应的直线是有规律的，即旋转直线系和平行直线系。在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中，当（x0，y0）拟定，k变化时，该方程表达过定点（x0，y0）的旋转直线系，当k拟定，(x0，y0)变化时，该方程表达平行直线系。这些直线系尚有其它表达形式：已知直线：Ax+By+C=0，则方程Ax+By+m=0（m为参数）表达与平行的直线系；方程-Bx+Ay+n=0（n为参数）表达与垂直的直线系。（2）已知直线1：A1x+B1y+C=1=0，直线2：A2x+B2y+C2=0，则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表达过1与2交点的直线系（不含2）掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，不仅可以加深数形结合的思想，还可以优化解题思想。5、圆与二元二次方程一一相应，这些二元二次方程方程特性为：（1）二次项中无xy交叉项；（2）x2，y2项前面系数相等；（3）x，y的一次项系数D，E及常数项F满足D2+E2-4F>0。圆方程常见形式：（1）标准式：(x-a)2+(y-b)2=R2（R>0），其中（a，b）为圆心，R为半径；（2）一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0；（3）参数式：(x-a)2+(y-b)2=R2（R>0）的参数式为：x=a+Rcosθ，y=b+Rsinθ，其中θ为参数，表达旋转角，参数式常用来表达圆周上的点。求圆方程的原理与求直线方程完全类似。直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而不采用方程组理论（△法）。6、对称是平面几何的基本变换。在掌握点关于点及直线对称的基础上，理解曲线与曲线之间的中心对称及轴对称。善于运用对称的知识解题。7、本章重要思想方法：数形结合，分类讨论，函数与方程，等价变换等。三、典型例题例1、已知定点P（6，4）与定直线1：y=4x，过P点的直线与1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使△OQM面积最小的直线方程。分析：直线是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还是选择点Q（还是M）作为参数是本题关键。通过比较可以发现，选k作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。设Q（x0，4x0），M（m，0）∵Q，P，M共线∴kPQ=kPM∴解之得：∵x0>0，m>0∴x0-1>0∴令x0-1=t，则t>0≥40当且仅当t=1，x0=11时，等号成立此时Q（11，44），直线：x+y-10=0评注：本题通过引入参数，建立了关于