行列式1次课电子教案

行列式1次课由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决

.于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础.

线性代数在许多科学技术领域中有着广泛的应用，如信息技术及计算机技术、工程数值计算等领域。2/7/20232湖南科技大学彭叶辉线性代数内容包括：

n阶行列式;

矩阵;

n维向量;

线性方程组;

特征值与特征向量;

二次型；线性空间与线性变换…2/7/20233湖南科技大学彭叶辉教材：《线性代数》，刘金旺主编，天津大学出版社主要参考书同济大学版《线性代数》上海交通大学版《线性代数》…….2/7/20234湖南科技大学彭叶辉内容多，时间少；学习要求:课前预习课堂认真听讲（不完全按照书本讲）课后复习，独立作业课后答疑:八教楼3楼30３网上答疑：E-mail：pengyehui@作业：每周一之前交到八教三楼2/7/20235湖南科技大学彭叶辉第一章

n阶行列式2/7/20236湖南科技大学彭叶辉§1–2行列式的定义§1–3对换§1–1

全排列、逆序数§1–4行列式的性质§1–5行列式的计算§1–6克莱姆法则2/7/20237湖南科技大学彭叶辉第一节全排列及逆序数

先看一个例子。引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？

显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有2种放法；而个位只能放最后一个数字，所以只有1种放法。因此，共有3×2×1=6种放法。2/7/20238湖南科技大学彭叶辉在数学中把考察的对象称为元素，例如上例中的1、2、3。那么对于n个不同的元素,如1，2,……,n排成一列，共有多少种不同的排法？

把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。由此引出定义1

由1，2,……,n组成的一个有序数组称为一个n

级全排列（简称排列）。

n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示，由引例的结果可知P3=3×2×1=6。由此我们可以得出计算Pn的公式：2/7/20239湖南科技大学彭叶辉从n个元素中任选一个放在第一个位置，有n种取法；

从剩下的n-1个元素中任选一个放在第二个位置上，有n-1种取法；…

最后一个元素放在第n个位置上，有1种取法。于是Pn=n·(n-1)·(n-2)…·3·2·1=n！n级排列总共有n!个。排列12…n称为自然排列.将自然排列规定为标准次序.其它排列不是自然顺序。于是2/7/202310湖南科技大学彭叶辉定义2

在一个排列中，如果两个数（称为数对）的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序（反序）。一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数。一个排列j1j2…jn的逆序数，一般记为(j1j2…jn)

也可记为t(j1j2…jn)

2/7/202311湖南科技大学彭叶辉排列12的逆序数为0，排列21的逆序数为1，排列231的数对21、31均构成逆序，而23不够成逆序，因此排列231的逆序数为2。定义3

逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。对于一个排列，通过定义可计算它的逆序数，下面给出另外的方法。2/7/202312湖南科技大学彭叶辉计算逆序数的方法：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，则每个元素的逆序数之总和为所求排列的逆序数.1)从左边的第一个元素，从左往右算出每个元素的逆序数，简称“从左向右往前看”。2)从右边的第一个元素，从右往左算出每个元素的逆序数，简称“从右向左往前看”。2/7/202313湖南科技大学彭叶辉例1

求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;

2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;5是最大数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;于是排列32514的逆序数为2/7/202314湖南科技大学彭叶辉例2

计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解此排列为偶排列.2/7/202315湖南科技大学彭叶辉解当时为偶排列；当时为奇排列.2/7/202316湖南科技大学彭叶辉定义5把一个排列中任意两个元素对调，而其余的元素不动，就得到另一个排列，这样一个变换叫做对换．将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．经过1，2对换，排列2431就变成了1432；例如，排列2134就变成了1234。线性代数定理1

一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．2/7/202317湖南科技大学彭叶辉证明先证相邻对换的情形，设排列为对换与

显然，在排列（1）中，a,b与其它元素构成逆序，线性代数

则在排列（2）中仍然构成逆序，

如不构成逆序则在（2）中也不构成逆序；不同的只是a,b的次序。2/7/202318湖南科技大学彭叶辉因此，对于相邻对换的情形，定理是对的。如果原来a,b组成逆序，那么经过对换，逆序数就减少一个；如果原来a,b

不组成逆序，那么经过换，逆序数就增加一个.

无论是增加1还是减少1，排列的逆序数的奇偶性总是变了.线性代数2/7/202319湖南科技大学彭叶辉经过对换，再证一般对换的情形设排列为排列（3）变为

不难看出，这样一个对换可以经过一系列相邻对换来实现。线性代数2/7/202320湖南科技大学彭叶辉

次相邻对换次相邻对换次相邻对换

2m+1

是奇数，相邻对换改变排列的奇偶性，故这两个排列的奇偶性相反.线性代数2/7/202321湖南科技大学彭叶辉2

排列具有奇偶性.3计算排列逆序数的两种方法.1个不同的元素的所有排列种数为小结2/7/202322湖南科技大学彭叶辉第二节

n

阶行列式二、三阶行列式三、n

阶行列式一、二阶行列式2/7/202323湖南科技大学彭叶辉为了给出n阶行列式的定义，我们先来研究二阶、三阶行列式，从而发现规律。定义即2/7/202324湖南科技大学彭叶辉由(2)式可见，2/7/202325湖南科技大学彭叶辉2）每一项的二个元素的行标成自然排列12时，列标都是1，2的某一排列，3)带正号的一项列标排列是12，是偶排列，这样的排列共有2种，故二阶行列式共有二项；带负号的列标排列是21，是奇排列.1）二阶行列式是一些项的代数和，每一项都是二个元素的乘积，这二个元素位于不同的行，不同的列.2/7/202326湖南科技大学彭叶辉二阶行列式的计算对角线法则主对角线副对角线例２解2/7/202327湖南科技大学彭叶辉定义叫三阶行列式，它定义为由(4)式可见，三阶行列式定义有如下特征：2/7/202328湖南科技大学彭叶辉1）三阶行列式的每一项都是三个不同行不同列的元素的乘积.2）每一项的三个元素的行标成自然排列1，2，3时，列标都是1，2，3的某一排列，3)带正号的三项列标排列是123，231，312，经计算可知，它们全是偶排列，这样的排列共有6种，故三阶行列式共有6项；带负号的三项的列标排列132，213，321，经计算可知，它们全是奇排列.2/7/202329湖南科技大学彭叶辉2/7/202330湖南科技大学彭叶辉定义2/7/202331湖南科技大学彭叶辉2/7/202332湖南科技大学彭叶辉例

计算4阶行列式解：根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一项的乘积中只要有一个元素为0，乘积就等于0，所以只需展开式中不明显为0的项。行列式展开式中不为0的项只可能是a11a22a33a44，而列标排列1234的逆序数为0，即此项符号为正，因此行列式D＝a11a22a33a44。2/7/202333湖南科技大学彭叶辉例2

证明对角行列式（其中未写出的元素都是零）342/7/202334湖南科技大学彭叶辉证明第一式依定义是显然的,下面只证第二式.若记非零项则依行列式定义证毕2/7/202335湖南科技大学彭叶辉例5证明下三角行列式证但由于许多元素为零，故不等于零的项数大大地减少了.项的一般形式是2/7/202336湖南科技大学彭叶辉2/7/202337湖南科技大学彭叶辉这就是说，下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.2/7/202338湖南科技大学彭叶辉1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.2、阶行列式共有项，每项都是位于不同行、不同列的个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.小结2/7/202339湖南科技大学彭叶辉作业习题一（P21）：

2，3，4，5(1)2/7/202340湖南科技大学彭叶辉思考题