初中数学苏科版八年级下册第9章中心对称图形――平行四边形 优质课比赛一等奖

中心对称图形------平行四边形第一课时：平行四边形定义、性质、判定知识考点：（一）四边形由一般到特殊的演变示意图（二）1、掌握平行四边形的概念和性质；2、四边形的不稳定性；3、掌握平行四边形有关性质和四边形是平行四边形的条件；4、能用平行四边形的相关性质和判定进行简单的逻辑推理证明及计算。精典例题：知识点一：平行四边形的性质的应用例1：已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．思路分析：1）题意分析：本题考查平行四边形的性质应用；2）解题思路：求证线段相等可利用三角形全等，即证出OE、OF所在三角形全等，即△AOE≌△COF。解答过程：∵四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD，∴∠1＝∠2．∠3＝∠4．又OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分），∴△AOE≌△COF（AAS）．∴OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD（平行四边形对边相等）．∴AB－AE=CD－CF．即BE=DF．解题后的思考：利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等。其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件。例2.已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及平行四边形ABCD的面积．思路分析：1）题意分析：本题考查平行四边形的性质与勾股定理的应用；2）解题思路：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得平行四边形ABCD的面积。解答过程：在平行四边形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，BC=AD=8cm、CD=AB=10cm。∵AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理得：。平行四边形ABCD的面积=8×6=48cm2．解题后的思考：这道题考查平行四边形面积的计算．解题时需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用该公式计算．在以后的解题过程中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题。（例2）（例3）知识点二：平行四边形判定定理的应用例3.已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．思路分析：1）题意分析：本题考查平行四边形的判定；2）解题思路：这道题是平行四边形的性质与判定的综合运用。此题有多种解法，其中利用对角线互相平分的性质来证明较为简单。解答过程：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∴AO=CO，BO=DO．∵AE=CF，∴AO－AE=CO－CF，OE=OF。∴四边形BFDE是平行四边形解题后的思考：你还有其他的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单。例4.已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求证：（1）∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；（2）△ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′各边的中点．思路分析：1）题意分析：本题考查平行四边形的性质与判定的综合运用；2）解题思路：根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可知四边形ABCB′是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得所求结论。解答过程：（1）∵A′B′∥BA，CB∥B′C′，∴四边形ABCB′是平行四边形．∴∠ABC＝∠B′（平行四边形的对角相等）．同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．（2）由（1）证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边形．∴AB＝B′C，AB＝A′C（平行四边形的对边相等）．∴B′C＝A′C．同理B′A＝C′A，A′B＝C′B．∴△ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点．解题后的思考：本题要求学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题。（例4）（例5）例5.已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．思路分析：1）题意分析：本题考查平行四边形的判定定理及性质的运用；2）解题思路：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF是平行四边形，通过比较，可以看出第二种方法简单．解答过程：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB．∵E、F分别是AD、BC的中点，∴DE∥BF，且DE=1/2AD，BF=1/2BC．∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．∴BE=DF．解题后的思考：此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次分明，且利用知识较多，因此要求学生应具有清晰的证明思路。例6.已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．（例6）思路分析：1）题意分析：本题考查平行四边形的判定定理及性质的运用；2）解题思路：因为BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，所以BE∥DF．此时需再证明BE=DF，这需要证明△ABE与△CDF全等，由角角边证明即可．解答过程：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，且AB∥CD．∴∠BAE=∠DCF．∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=90°．∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴BE=DF．∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．解题后的思考：解题的关键是掌握平行四边形的判定方法，会综合运用平行四边形的判定方法和性质．会应用这些方法进行几何的推理证明，并通过学习，增强分析问题、寻找最佳解题途径的能力．探索与创新：例7：如图，E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF.（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠A=∠C.∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF.（2）解析：四边形MFNE是平行四边形.∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB=∠CFD，BE=DF.又∵M、N分别是BE、DF的中点，∴ME=FN.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠FBE.∴∠CFD=∠FBE.∴EB∥DF，即ME∥FN.∴四边形MFNE是平行四边形.评注：本题是一道猜想型问题.先猜想结论，再证明其结论.当堂训练：1．如图，▱ABCD中，下列说法一定正确的是（）A．AC=BDB．AC⊥BDC．AB=CDD．AB=BC（第1题）（第4题）（第5题）2．四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．OA=OC，OB=ODB．AD∥BC，AB∥DCC．AB=DC，AD=BCD．AB∥DC，AD=BC3．下列选项中的四边形只有一个为平行四边形，根据图中所给的边长长度及角度，判断哪一个为平行四边形？()A．；B．；C．；D．4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A.AB∥CD，AD∥BC；B.OA=OC，OB=OD；C.AD=BC，AB∥CD；D.AB=CD，AD=BC5．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，若AC=a，BD=b，则▱ABCD的面积是（）A．absinαB．absinαC．abcosαD．abcosα6．将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为度．6．如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.求证：∠BAE=∠DCF.（第6题）（第7题）7．已知：如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F分别在AB、CD上，且BE=2EA，CF=2FD.求证：∠BEC=∠CFB.第二课时：矩形菱形与正方形定义、性质、判定知识考点：特殊四边形平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形定义有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一组邻边相等的平行四边形是菱形。有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。两腰相等的梯形是等腰梯形。性质1对边平行且相等。2对角相等，邻角互补。3对角线互相平分1四个角都是直角。2对角线相等。1四条边都相等。2两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。具有平行四边形、矩形、菱形的所有特征。1两腰相等两底平行2同一底上的两角相等3两条对角线相等判定1定义：2判定定理：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。1定义：2判定定理：（1）对角线相等的平行四边形是矩形。（2）有三个角是直角的四边形是矩形。1定义：2判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的四边形是菱形。(1)先证明是矩形再证明一组邻边相等。（2）先证明是菱形再证一个角是直角。1定义：先判断是梯形在证明两腰相等。2同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。3对角线相等的梯形是等腰梯形。对称性轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。2．由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半。（补充）精典例题：例1．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.OAOABCDEF（例1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC.又∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO=∠CFO=90º.∵∠BOE=∠COF.∴△BOE≌△COF.∴BE=CF.评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定.例2．如图，ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EAC=∠FCA.∵EF是AC的垂直平分线，∴OA=OC，∠EOA=∠FOC，EA=EC.∴△EOA≌△FOC.∴AE=CE.∴四边形AFCE是平行四边形.又∵EA=EC，∴四边形AFCE是菱形.例3．如图，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.（1）如果，则△DEC≌△BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论.解析：本题是一道条件开放型问题，答案不唯一.（1）①AE=CF；②OE=OF；③DE⊥AC，BF⊥AC；④DE∥BF等.（2）①证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD.∴∠DCE=∠BAF.∵AE=CF，∴AC－AE=AC－CF，即AF=CE.∴△DEC≌△BFA.例4．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C.（1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB；（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.解析：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，例4（2）例4（2）BADCOFEG又∵BC=CB，AB=DC，∴△ABC≌△DCB.∴∠ACB=∠DBC.又∵EG∥AC，∠ACB=∠GEB.∴∠DBC=∠GEB.∴EG=BG.∵EG∥OC，EF∥OG，∴四边形EGOF是平行四边形.∴OE=OF，EF=OG.∴四边形EGOF的周长=2（OG＋GE）=2（OG＋GB）=2OB.（2）如图（2），已知在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C.求证：四边形EFOG的周长等于2OB。注意：若将矩形改为正方形，原结论成立吗？探索与创新：例5．有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13(1)、(2)上），并给予合理的解释.解析：本题是一道方案设计题，现提供三种方案供参考：方案一：如例5解答图（1），连结梯形上、下底的中点E、F，则S四边形ABFE=S四边形EFCD=.方案二：如例5解答图（2），分别量出梯形的上、下底a、b的长，在下底BC上截取BE=（a＋b），连结AE.则S△ABE=S四边形AECD=.方案三：如例5解答图（3），连结AC，取AC的中点E，连结BE、ED，则图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的一半.分析此方案可知，∵AE=EC，∴S△AEB=S△EBC，S△AED=S△ECD.∴S△AEB＋S△AED=S△EBC＋S△ECD=S四边形ABCD.（3）ABC（3）ABCDE（1）ABCDEF（2）ABCDE例5解答例5解答图例6．请将四个全等直角梯形（如图15），拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）．解析：拼法有多种，现列举四例：当堂训练：1.如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满足：①点D到直线l的距离为；②A、C两点到直线l的距离相等．则符合题意的直线l的条数为（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4（第1题）（第2题）2.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）A．B．4C．7D．143．正方形的对称轴的条数为（）A．1B．2C．3D．44．下列命题是假命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形5．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（） A． ①②； B． ②③； C． ①③； D． ①④（第5题）（第6题）（第7题）6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10cm，则CD的长为cm7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为．（第8题）（第9题）（第10题）8．如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、BE，若△ABE是等边三角形，则=．9．如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是．10．如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，求AP的长。单元检测（45分钟）一、选择题1.如图1，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）2.如图2，在ABCD中，EF7个B.8个C.9个D.11个3.下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB∥CD，AD=BCB.AB=ADC.AB=CD，AD=BCD.∠B=∠C，∠A=∠D4.如图3，在ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F的值为（）A.110°B.30°C.50°D.70°5.如图4，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有（）A.1条B.2条C.3条D.4条6.如图5，点D、E、F分别是AB、BC、CA边的中点，则图中的平行四边形一共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题1.在平行四边形ABCD中，若∠A－∠B=70°，则∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______，∠D=_________．2.在ABCD中，AC⊥BD，相交于O，AC=6，BD=8，则AB=________，BC=_________．3.如图6，已知ABCD中，AB=4，BC=6，BC边上的高AE=2，则DC边上的高AF的长是________．4.如图7，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，且DE=6cm，则BC=__________．5.用40cm长的长绳围成一个平行四边形，使长边与短边的比是3：2，则长边是____cm，短边是_____cm.6.如图9，ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE=_____度。7.如图10，E、F是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形．三、解答题1.如图11，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为25，AB=12，求对角线AC与BD的和。2.已知如图12，在ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段AC与EF是否互相平分？说明理由。3.如图13，ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD的长．4.如图14，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB．（2）四边形ABCD是平行四边形．第一课时：1．D；2．D；3．B；4．C；5．A；6．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE=∠CDF，AB=CD.又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF.∴∠BAE=∠DCF.7．证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴梯形ABCD是等腰梯形.∴∠ABC=∠DCB.又∵AB=DC，BE=2EA，CF=2FD，∴BE=CF.∵BC=CB，∴△BEC≌△CBF.∴∠BEC=∠CFB.第二课时：1—5、BADCD；6．解：∵∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，∴CD=AB=×10=5cm7．解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为B