上海交通大学大学概率论及数理统计教学PPT5

第二章随机变量及其分布为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的不同结果例

电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个变量X

来描述例

抛掷一枚硬币可能出现的两个结果

(检验产品时出现的是正品或次品)，也可以用一个变量来描述§1随机变量的概念1随机变量的概念定义

E是一随机实验，是它的样本空间则称上的单值实值函数X()为随机变量随机变量一般用X,Y,Z,或小写希腊字母,,表示若按一定的法则一个实数X()随机变量是上的映射，这个映射具有如下的特点：定义域;随机性

;概率特性;随机事件

定义域:

随机性:随机变量X

的可能取值不止一个，试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪个值

概率特性:X

以一定的概率取某个值或某些值

引入随机变量后，随机事件--可用随机变量的等式或不等式表达如，若用X

表示电话总机在9:00~10:00接到的电话次数，或—某天9:00~10:00接到的电话次数超过100次则随机变量的分类离散型随机变量非离散型随机变量—其中一种重要的类型为

连续型随机变量我们讨论：

离散型随机变量与

连续型随机变量2随机变量的分布函数定义了一个x的实值函数，称为随机变量X

的分布函数，记为F(x),即定义

设X为随机变量,对每个实数x,随机事件的概率为何引入分布函数?例设一汽车在开往目的地的途中需经过4盏信号灯，每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过。令

X

表示首次停下时已通过的信号灯的盏数，求X

的分布函数。(p=0.4

)利用分布函数可以计算由上面的几个式子可知：可以用分布函数计算

随机变量取在任意一个区间,或任意一个点集内的概率.]（]ba]分布函数的性质：

F(x)单调不减，即

且

F(x)右连续，即§2离散型随机变量及其概率分布1离散型随机变量的概念定义若随机变量X

的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称X

为离散型随机变量描述离散型随机变量的概率特性常用它的

概率分布或分布律，即概率分布的性质：

例设一汽车在开往目的地的途中需经过4盏信号灯，每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过。令

X

表示首次停下时已通过的信号灯的盏数，求X

的概率分布与p=0.4时的分布函数。出发地目的地解当0.60.40.60.420.60.430.60.44kpk

01234•0•1•2•3•4xx]]]•]••

•0•1•2•3•4xF(x)o•o1•o•o•o•分布函数与分布律之间的关系：

离散型随机变量的分布函数F(x)是分段阶梯函数，在X

的可能取值xk处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度

pk

0.60.40.60.420.60.430.60.44kpk

01234可以用概率分布或分布函数计算有关事件的概率例在上例中，分别用概率分布与分布函数计算下述事件的概率：对离散型随机变量用概率分布比用分布函数计算这些概率更方便注：对离散型随机变量用概率分布(或分布律)比用分布函数计算这些概率更方便，所以描述离散性随机变量通常用概率分布(或分布律)例

对一目标进行射击，且各次射击相互独立，若每次击中目标的概率为p(0<p<1),一次一次地射击直到击中目标为止。求所需射击次数X的概率分布。P(X=k)注：此分布称为几何分布例一门大炮对目标进行轰击，假定此目标必须被击中r

次才能被摧毁。若每次击中目标的概率为p(0<p<1),且各次轰击相互独立，一次一次地轰击直到摧毁目标为止。求所需轰击次数X的概率分布。解P(X=k)注：此分布称为巴斯卡分布=P(前k–1次击中r–1次，第k

次击中目标)注利用幂级数在收敛域内可诸项求导的性质当归纳地令作业习题二3,4,5,9、2常见的离散型随机变量(1)0–1分布（两点分布）X=xk

10Pkp1-p0<p<

1凡是随机试验只有两个可能的结果，常用0–1分布描述如抛硬币、新生儿的性别、电力消耗是否超负荷注其分布律可写成(2)二项分布背景：n

重Bernoulli试验中，每次试验感兴趣的事件A

在n次试验中发生的次数—X

是一离散型随机变量若P(A)=p,则称X服从参数为n,p

的二项分布，记作注：0–1分布是n=1的二项分布，即(Binomaildistribution)二项分布的取值情况设.039.156.273.273.179.068.017.0024.0000012345678

xP•0•1•2•3•4•5•6•7•8(n+1)p=3设.01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20xP•0•1•2•3•4•5•6•7•8•9•10••••••••••20(n+1)p=4.2

当(n+1)p=整数时，在k=[(n+1)p]与

[(n+1)p]–1处的概率取得最大值当(n+1)p

整数时，在k=[(n+1)p]处的概率取得最大值称

k

为二项分布的最可能取值

对固定的n、p,P(X=k)的取值呈不对称分布；固定p,随着

n

的增大，其取值的分布趋于对称证明

得由此知，当k<(n+1)p时，数列p(X=k)单增，当k>(n+1)p时，数列p(X=k)单减。结论得证例独立射击5000次，每次的命中率为0.001,求命中次数不少于2次的概率解令X表示命中次数，则X~B(5000,0.001)Possion定理则对固定的

k设Poisson定理说明：若X~B(n,p),则当n

较大，p

较小，而适中，则可以用近似公式证

记在实际计算中，当n

20,p0.05时，可用上述公式近似计算；而当n

100,np10时,精度更好

00.3490.3580.3690.3660.368

10.3050.3770.3720.3700.368

20.1940.1890.1860.1850.184

30.0570.0600.0600.0610.061

40.0110.0130.0140.0150.015

按二项分布按Possion公式

k

n=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=1例独立射击5000次，每次的命中率为0.001,求命中次数不少于2次的概率解令X表示命中次数，则X~B(5000,0.001)令与查P378附表2Poisson分布表得的结果非常接近在Poisson定理中，由此产生了一种离散型随机变量的概率分布—Poisson分布(3)Poisson分布或若其中是常数，则称

X服从参数为或的Poisson分布，记作在一定时间间隔内：电话总机接到的电话次数；纱锭的断头数；商店的顾客数；容器中的细菌数；放射性物质发出的粒子数；一本书中的印刷错误数；某路段交通事故的次数.可以看作是源源不断出现的随机质点流,若它们满足一定的条件则称为Poisson流,在长为

t

的时间内出现的质点数Xt~P(t)已知运载火箭在飞行中进入其仪器舱的宇宙粒子数服从参数为2的泊松分布。而进入仪器舱的粒子随机的落到仪器重要部位的概率为0.1，求落到仪器重要部位的粒子数的概率分布例设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设备发生故障的概率都是0.01.在通常情况下，一台设备发生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台设备.(1)问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?(2)问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？解(1)设需要配备N

个维修工人X~B(90,0.01)设X

为90台设备中发生故障的台数令则查附表2得N=4三个人共同负责90台设备发生故障不能及时维修的概率为设30台设备中发生故障的台数为

Y~B(30,0.01)设每个人独立负责30台设备，第i个人负责的30台设备发生故障不能及时维修为事件Ai

则三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时维修为事件故

三个人共同负责90台设备好！例设一只昆虫所生虫卵数为随机变量

X~P(),