初三数学几何综合练习题集

初三数学几何综合练习题1．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连结AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连结BE.（1）如图1，点D在BC边上.①依题意补全图1；②作DF⊥BC交AB于点F，若AC=8，DF=3，求BE的长；（2）如图2，点D在BC边的延伸线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数目关系（直接写出结论）.图1图22.已知：Rt△A′BC′和Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线′和线段′订交于点．CCAAD,连结BD（1）当α=60°时，A’B过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的地点关系，不用证明；（2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论能否仍旧建立，不用证明；（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论能否仍旧建立；若建立，请证明你的结论；若不可立，请说明原因.ABC图1图2图33．如图1，已知线段BC=2，点B对于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且BE.依题意补全图1，并证明：△BDE为等边三角形；(2)若∠ACB=45°，点C对于直线BD的对称点为点F，连结FD、FB.将△CDE绕点D＜α＜360°）获得△C'DE'，点E的对应点为E′，点C的对应点为点C′.①如图2，当α=30°时，连结BC'．证明：EF=BC'；②如图3，点M为DC中点，点P为线段C'E'上的随意一点，尝试究：在此旋转过程中，线段范围？E'E'APAEEFDFDMαC'ADBCC'BCBC图1图2图3

ED=BD，连结DE，顺时针旋转α度0°PM长度的取值4．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=80°，∠A+∠C=180°，点M是AD边上一点，把射线BM绕点B顺时针旋转40°，与CD边交于点N，请你补全图形，求MN，AM，CN的数目关系；AAMDDAMDBCCB图2图1

BC图3（2）如图2，在菱形ABCD中，点M是AD边上随意一点，把射线1ABC，与CD边BM绕点B顺时针旋2交于点N，连结MN，请你补全图形并画出协助线，直接写出AM，CN，MN的数目关系是；（3）如图3，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在AD，CD上，若△DMN的周长为2，则△MBN的面积最小值为．5.已知，点

P是△

ABC

边

AB

上一动点（不与

A，B

重合）分别过点

A，

B

向直线

CP

作垂线，垂足分别为

E，

F，Q

为边AB的中点

.（1）如图（2）如图（3）如图

1，当点2，当点3，当点

P与点Q重合时，AE与BF的地点关系是，QE与QF的数目关系是；P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数目关系，并赏赐证明；P在线段BA的延伸线上时，此时（2）中的结论能否建立？请画出图形并赏赐证明

.6．△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，将△AHC绕点H逆时针旋转90°后，点C的对应点为点D，直线BD与直线AC交于点E，连结EH．AAEDBHCBHC图1图21）如图1，当∠BAC为锐角时，①求证：BE⊥AC；②求∠BEH的度数；（2）当∠BAC为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC，ED，EH之间的数目关系．7．在△ABC中，CA=CB，CD为AB边的中线，点P是线段AC上随意一点（不与点C重合），过点P作PE交CD于点E，使∠CPE=1∠CAB，过点C作CF⊥PE交PE的延伸线于点F，交AB于点G.2（1）假如∠ACB=90°，①如图1，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；②如图2，当点P不与点A重合时，求CF的值；PE2）假如∠CAB=a，如图3，请直接写出CF的值.（用含a的式子表示）PE图1图2图38．在菱形ABCD中，ADC120，点E是对角线AC上一点，连结DE，DEC50，将线段BC绕点B逆时针旋转50并延伸获得射线BF，交ED的延伸线于点G．（1）依题意补全图形；DDACACEEBB备用图2）求证：EGBC；（3）用等式表示线段AE，EG，BG之间的数目关系：．9．在等边△ABC外侧作直线AP，点B对于直线AP的对称点为D，连结BD,CD，此中CD交直线AP于点E．1）依题意补全图1；2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；（3）如图2，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB,CE,ED能够组成一个含有多少度角的三角形，并证明.ACACPBPB图1图211．在△ABC中，BAC90．（1）如图1，直线l是BC的垂直均分线，请在图1中画出点A对于直线l的对称点A'，连结A'C，A'B，A'C与AB交于点E；2）将图1中的直线A'B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数目关系，并证明；②若点D在线段EC的延伸线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数目关系．lB

AAAEEHDCCBFCB图1图2备用图12．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上随意一点，F是线段BC延伸线上一点，且CF=AE，连结BE、EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，易证BE=EF.（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其余条件不变时，请你判断（1）中的结论：_____.（填“建立”或“不建立”）（3）如图3，当点E是线段AC延伸线上的随意一点，其余条件不变时，（1）中的结论能否建立？若建立，请给予证明；若不建立，请说明原因．图1图2图3北京各区2015数学一模答案1..解：（1）①补全图形，如图1所示.?????????1分②由题意可知AD=DE，∠=90°.ADEDF⊥BC，∴∠FDB=90°.∴∠ADF=∠EDB.??????????????2分图1∵∠C=90°，AC=BC，∴∠ABC=∠DFB=90°.DB=DF.∴△ADF≌△EDB.??????????????3分AF=EB.在△ABC和△DFB中，∵AC=8，DF=3，∴AC=82，DF=32.????????????????????????4分AF=AB－BF=52即BE=52.????????????????????????????5分（2）2BD=BE+AB.??????????????????????????7分2.解:(1)当60时,BDAA.------------1分（2）补全图形如图1，BDAA仍旧建立；------------3分（3）猜想BDAA仍旧建立.E,F，如图2，则AECAFC90.证明：作AECC，AFCC，垂足分别为点图1∵BCBC，∴∵

BCCBCC.ACBACB90，∴ACEBCC90，AC'FBCC90.ACEACF.在△AEC和△AFC中，图2AECAFC90,ACEACF,ACAC,∴△AEC≌△AFC.AEAF.在△AED和△AFD中，AECAFD90,ADEADF,AEAF,∴△AED≌△AFD.ADAD.ABAB，∴△ABA'为等腰三角形.∴BDAA------------7分3．解：（1）补全图形，如图1所示；??1分AED证明：由题意可知：射线CA垂直均分BD∴EB=ED又∵ED=BDBC∴EB=ED=BD

图1∴△EBD是等边三角形??????2分（2）①证明：如图2：由题意可知∠BCD=90°，BC=DCE'又∵点C与点F对于BD对称E∴四边形BCDF为正方形，D∴∠FDC°∵∠CDC'α30C'BC图2∴∠FDC'60由（1）△BDE为等边三角形∴∠EDB∠FDC'60,ED=BD∴∠EDF∠BDC'???????3分又∵△E'DC'是由△EDC旋转获得的∴C'DCDFDE∴'SASFD△EDF≌△DBCEFBC'??????????4分M∴OE'PC'BC图3（1）图3（1）②线段PM的取值范围是：2－1≤PM≤22＋1；设射线交于点，CABDOI：如图3（1）当E'C'⊥DC,MP⊥E'C'，D、M、P、C共线时，PM有最小值.此时==2，=1DPDODM∴PM=DP-DM=2-1?????????5分E

（P）E'II：如图3（2）'

F

D当点P与点E重合，且P、D、M、C共线时，PM有最大值.此时=′===22，=1DPDEDEDBDM∴+=22+1?????????6分PM=DPDM∴线段PM的取值范围是：2－1≤PM≤22＋1??????7分4．解：（1）AEMDN

C'OMBC图3（2）B

C?????????????????????

1延伸DA到点E，使AE=CN，连结BE∵∠BAD+∠C=180°．∴∠EAB=∠C．又∵AB=BC，AE=CN，∴△ABE≌△CBN．∴∠EBA=∠CBN，BE=BN．??????????????????????EBN=∠ABC．

2∴∠∵∠ABC=80°，∠MBN=40°，∴∠EBM=∠NBM=40°．∵BM=BM，∴△EBM≌△NBM．∴EM=NM．????????????????????????????3∴MN=AM+CN．??????????????????????????4（2）EMA

DNB

C????????????????????5MN<AM+CN???????????????????????????6（3）21?????????????????5.解：（1）AE∥BF，QE=QF，-----------2分2）QE=QF，证明：如图2，延伸EQ交BF于D，∵AE∥BF，∴∠，AEQ=∠BDQ3分在△BDQ和△AEQ中

BDQEPAEQBDQ

FAQEBQDAQBQ∴△BDQ≌△AEQ（ASA），QE=QD，∵BF⊥CP，FQ是Rt△DEF斜边上的中线，QE=QF=QD，即QE=QF．

A-----------4分-----------5分

C（3）（2）中的结论仍旧建立，证明：如图3，延伸EQ、FB交于D，∵AE∥BF，∴∠AEQ=∠D，在△AQE和△BQD中AEQBDQAQEBQD，图3

DBQAPFCEAQBQ∴△AQE≌△BQD（AAS），QE=QD，∵BF⊥CP，-----------6分∴FQ是Rt△DEF斜边DE上的中线，∴QE=QF．-----------7分说明：第三问画出图形给1分6．（1）①证明：∵AH⊥BC于点H，∠ABC＝45°，∴△ABH为等腰直角三角形，AH＝BH，∠BAH＝45°，△AHC绕点H逆时针旋转90°得△BHD，由旋转性质得，△BHD≌△AHC，图1－1∴∠1＝∠2．?????????1分∵∠1＋∠C＝90°，∴∠2＋∠C＝90°，∴∠BEC＝90°，即BE⊥AC．?????????2分②解法一：如图1－1，∵∠AHB＝∠AEB＝90°，∴A，B，H，E四点均在以AB为直径的圆上，?????????∴∠BEH＝∠BAH＝45°．?????????4分解法二：如图1－2，过点H作HF⊥HE交BE于F点，∴∠FHE＝90°，即∠4＋∠5＝90°．

分A1又∵∠3＋∠5＝∠AHB＝90°，DE∴∠3＝∠4．F54在△AHE和△BHF中，231，2AHBH，4，3∴△AHE≌△BHF，?????????3分∴EH＝FH．∵∠FHE＝90°，∴△FHE是等腰直角三角形，∴∠BEH＝45°．?????????4分

BHC图1－2D（2）补全图2如图；?????????5分EAEC－ED＝2EH．?????????7分BHCC7.（1）①作图.??.1分EFADE（或PDE）.??.2分A（P）DGB②过点P作PNAG交CG于点N，交CD于点M，.??.3分∥∴CPMCAB．∵∠CPE=1∠CAB，C1∠CPN．∴CPE∠=∠FPN．2∴∠CPE=EF2PNM∵PFCG，∴∠PFC=∠PFN=90°．ADGBPF=PF，∴PFC≌PFN．∴CFFN．.??.4分∵由①得：2）

PME≌CMN．∴PECN．∴CFCF1．.??.5分1PECN2tan．.??.7分2(本小题满分7分)（1）补全图形，如图1所示．??????????????????????1分FFGGDDACACEEBB图1图2（2）方法一：证明：连结BE，如图2．∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC．ADC120，DCB60．AC是菱形ABCD的对角线，∴1DCB30．???????????????????????2分DCA2EDC180DECDCA100．由菱形的对称性可知，BECDEC50，EBCEDC100．??????????????????????????3分GEBDECBEC100．GEBCBE．FBC50，EBGEBCFBC50．??????????????????????4分EBGBEC．在△GEB与△CBE中，GEBCBE,BEEB,EBGBEC,∴△GEB≌CBE△．EGBC．??????????????????????????????5分方法二：证明：连结BE，设BG与EC交于点H，如图3．∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC．ADC120，DCB60．

FGDAC是菱形ABCD的对角线，

ACEH∴DCA1DCB30．?????????2分2EDC180DECDCA100．

B由菱形的对称性可知，BECDEC50，EBCEDC100．?????????????????3分FBC50，图3EBGEBCFBC50BEC．??????????????????4分BHEH．在△GEH与△CBH中，GEHCBH,EHBH,EHGBHC,∴GEH△≌CBH△．EGBC．??????????????????????????????5分（3）AEBG3EG．?????????????????????????7分9．解：（1）补全图形，如图1所示.???????????1分（2）连结AD，如图2.∵点D与点B对于直线AP对称，∴AD=AB，∠DAP=∠BAP=30°.∵AB=AC,∠BAC=60°.∴AD=AC,∠DAC=120°.∴2∠ACE+60°+60°=180°∴ACE∠=30°???????????3分ACACE

EDDBBPP图1图2（3）线段AB,CE,ED能够组成一个含有60°角的三角形.???????????4分证明：连结AD，EB，如图3.∵点D与点B对于直线AP对称，∴AD=AB，DE=BE，DE可证得∠EDA=∠EBA.∵AB=AC,AB=AD.AC∴AD=AC,∴∠ADE=∠ACE.F∴∠ABE=∠