行列式概要复习过程

行列式概要二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)二阶行列式我们用记号表示代数和

称为二阶行列式,即

二元一次方程组

的唯一解为其中定义+－三阶行列式我们用记号表示代数和称为三阶行列式,即主对角线法‘—’三元素乘积取“+”号；‘—’三元素乘积取“-”号.主对角线法主对角线法三元一次方程组

的唯一解为其中+－主对角线法n阶行列式我们用记号排列_1定义1由1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n级排列。例如，2431是一个4级排列。n级排列的总数是n!=n(n-1)…112…n也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的。其它的排列都或多或少地破坏自然顺序。排列_2定义2在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。例如，2431中，21，43，41，31是逆序，2431的逆序数为4。

排列_3定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。例如，2431是偶排列，2413是奇排列。P96练习:决定以下排列的逆序数以及奇偶性(1)134782695(2)217986354那么这个排列的逆序数等于

计算逆序数的方法：看有多少个数码排在1的前面，设为个，那么就有个数码与1构成反序；然后把1划去，再看有多少个数码排在2的前面，设为个，那么就有个数码与2构成反序；然后把2划去，计算有多少个数码在3前面，设为个，……，如此继续下去，最后设在n前面有个排列_4定义把一个排列中某两个数的位置互换，而其它的数不动，就得到另一个排列，这样的一个变换称为对换。例如，经过1，2对换，排列2134变成1234。

定理1对换改变排列的奇偶性。推论在全部n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有n!/2个。(参考习题11)定理2任何一个n级排列与排列12…n都可以经过一系列对换互变，并且所做对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。n阶行列式的定义定义组成的记号

称为n阶行列式,其中：横排列称为行，纵排列称为列.n级行列式_1

例1计算四阶行列式例2计算上三角行列式等于主对角线上元素的乘积特殊情况对角形行列式练习：P9782）

练习：P966行指标和列指标的地位是对称的n级行列式_2行列式性质_1

注：行列式中行与例的地位是对称的，从而凡是有关行的性质，对列也同样成立。例计算下三角行列式等于主对角线上元素的乘积行列式性质_2Aij表示所有含有aij的项在提出公因子aij之后的代数和行列式按某行展开行列式的等价定义行列式性质_2

行列式性质_7

例：计算n级行列式例2：一个n级行列式，假设它的元素满足证明：当n为奇数时，此行列式为零。练习：P98131）3）矩阵定义1数域P上sn个数

排成一个s行n列的表

叫做一个s行n列（或s×n）的矩阵，注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表.

定义2矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：3)用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列）2)交换矩阵的两行（列）1)用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）矩阵的三种初等行变换表示矩阵A经过初等行变换变成矩阵B矩阵的三种初等行变换第1种:以非零的数k乘矩阵中的某一行

矩阵的三种初等行变换第2种:交换矩阵的第i行和第j行的位置矩阵的三种初等行变换第3种:把矩阵中某一行的k倍加到另一行阶梯形矩阵定义满足以下条件的矩阵称为行阶梯形矩阵：每一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素下方全零。例子任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵例：把下列矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵3)用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列）2)交换矩阵的两行（列）1)用一个不等于零k的数乘矩阵的某一行（列）行列式的计算性质2性质7性质6行列式的计算阶梯形方阵的行列式为上三角形行列式方阵A通过一系列初等行变换后变成阶梯形方阵J，有例：计算行列式按某行展开特别地，定义n(n>1)阶行列式的某一元素的余子式指的是在D中划去所在行和列后所余下的n－1阶子式.实际上，一般地，定理：例：计算例：证明：范德蒙德行列式例：证明行列式的计算三角化法：对行列式通过初等变换化为上（下）三角行列式降阶法：直接降阶：按行列式中非零元素较少的行（列）展开间接降阶：利用行列式性质，使行列式的某行（列）具有较少的非零元，再按其展开普遍法则行列式的计算提取因子法：行和相等时，各列加到第一列，提取公因子(P98131)2)P100173))文字行列式，当文字取某些值时可使行列式为零，则行列式含此因子；结合行列式定义，可得行列式值常用技巧拆分法：A=B+CP9814行列式的计算归纳法：III常用技巧化为I的情形Exe:P1013)行列式的计算行列式的计算特殊行列式计算削去行列式第二列后所有对角元或次对角元，再展开直接按第一列展开(Exe: 171))1.2.消去第一列（行）后成三角行列式直接按第一行（列）展开(Exe:181))3.加边法，化原行列式如2.形式第一行（列）消去其他各行（列），化为型如2.形式(Exe:185))行列式的计算行列式的计算

作业：P98135)14171)5)184)5)齐次与非齐次线性方程组的概念含有n个方程的n元线性方程组的一般形式为（1）

它的系数构成的行列式称为方程组（1）的系数行列式。如果线性方程组（1.1）的常数项为零，即称为齐次线性方程组。（10）3.5.2．克莱姆法则定理3.5.1(克莱姆法则)线性方程组(1.1)当其系数行列式时,有且仅有唯一解此处是将系数行列式中第j列的元素对应地换为方程组的常数项后得到的n阶行列式.证时是显然的.设.令是整数1，2，…，中的任意一个.分别以乘方程组（1）的第一，第二，…，第个n方程，然后相加，得由定理3.4.2和3.4.3，的系数等于D而的系数都是零；因此等式左端等于，而等式右端刚好是阶行列式这样，我们得到令我们得到方程组（3）

方程组（1）的每一解都是方程组（3）的解.事实上，设是方程组（1）的一个解。那么在（1）中把代以，就得到一组等式。对于这一组等式施以由方程组（1）到方程组（3）的变换，显然得到下面的一组等式：这就是说，也是方程组（3）的一解。当时，方程组（3）有唯一解，就是（2）。因此方程组（1）也最多有这一个解。我们证明（2）是（1）的解。为此，把（2）代入方程组（1），那么（1）的第个方程的左端变为而计算出来，我们得到这里我们应用了定理3.4.2和3.4.3。这就是说，（2）是方程组（1）得解。因此，当时，方程组（1）有且仅有一个解，这个解由公式（2）给出。齐次线性方程组解的定理定理5如果齐次线性方程组(10)的系数行列式,则它仅有零解.例：求在什么条件下，下列方程组有非零解注：齐次线性方程组有非零解，则D=0克拉默法则k阶子式、余子式、代数余子式例1：在四级行列式中例2:在五级行列式中Laplace定理设D是n阶行列式，在D中任取k行（列），那么含于这k行（列）的全部k阶子式与它们对应的代数余子式的乘积之和等于D.即若取定k个行：例3:利用Laplace定理计算行列式定理7（行列式乘法定理）两个行列式的乘积