向量组的线性相关与线性无关(二)

重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.可否由线性表示——竖排行变换，放末列.

例：判断向量是否各为向量组的线性组合,若是，则写出表示式。解施以初等行变换：1易见且容易看到其表示式为2例7判断向量β能否由向量组α1,α2,α3,α4线性表出,若能,求出一组组合系数将其表示出来.其中解设k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=β则容易看到课本给出一个33.定义3.2.5:对于向量组α1,α2,…,αm,若存在m个不全为零的数k1,k2,…,km,使得k1α1+k2α2+…+kmαm=ο则称向量组α1,α2,…,αm线性相关(lineardependence);否则称向量组线性无关(linearindependence)。即：线性无关44.根据定义3.2.5很容易得到下面常用的结论:(1)一个向量α线性相关的充分必要条件是α=ο;线性无关的充分必要条件是α≠ο.(2)任意一个包含零向量的向量组必线性相关.(3)两个非零向量线性相关(线性无关)的充分必要条件是它们的对应分量成比例(不成比例).(4)若向量组中有一部分组线性相关,则向量组必线性相关.(5)若向量组线性无关,则任何部分组必线性无关.(6)若α1,α2,…,αm线性无关,而α1,α2,…,αm,β线性相关，则β可由α1,α2,…,αm线性表出.5例8设向量组α1,α2,…,αm-1(m>2)线性相关,向量组α2,α3,…,αm线性无关,问α1能否由向量组α2,α3,…,αm-1线性表示？解方法一：因为α2,α3,…,αm线性无关,由上述结论(5)知α2,α3,…,αm-1线性无关.又已知α1,α2,…,αm-1线性相关,再由上述结论(6)知,α1能由向量组α2,α3,…,αm-1.6例8设向量组α1,α2,…,αm-1(m>2)线性相关,向量组α2,α3,…,αm线性无关,问α1能否由向量组α2,α3,…,αm-1线性表示？解方法二：由α1,α2,…,αm-1线性相关知,存在一组不全为零的数k1,k2,…,km-1,使得k1α1+k2α2+…+km-1αm-1=ο.其中必有k1≠0,因为若k1=0,则k2,…,km-1不全为零,使k2α2+k3α3+…+km-1αm-1=ο.成立,从而α2,α3,…,αm-1线性相关,这与已知条件矛盾,故k1≠0,因此有73.2.3向量组的线性相关性的判定1.向量组线性相关的条件:设向量组它线性相关还是线性无关,取决于齐次线性方程组是有非零解还是只有唯一零解.若线性方程组有非零解,则知向量组线性相关,若线性方程组只有唯一零解,则向量组线性无关.82.定理3.2.2:向量组线性相关(无关)的充分必要条件是矩阵的秩小于(等于)向量组α1,α2,…,αm中向量的个数.3.推论：n个n维向量线性相关(线性无关)的充分必要条件是它们排成的n阶行列式的值等于零(不为零).4.定理3.2.3:若n维向量组中向量的个数大于n,则该向量组必线性相关.9例

基本单位向量组线性无关

例.判断

是否线性相关.解:设则∵r=2<3＝向量个数，

线性相关

重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.可否由线性表示——竖排行变换，放末列.

是否线性相关——竖排行变换.

10例9判断下列向量组的线性相关性解:

(1)(2)(3),其中a,b,c,d各不相同.(4)(1)因为r(A)=3,所以α1,α2,α3线性无关.

11例9判断下列向量组的线性相关性解:

(1)(2)(3),其中a,b,c,d各不相同.(4)(2)因为r(A)=3<4,所以α1,α2,α3,α4线性相关.

12例9判断下列向量组的线性相关性解:

(1)(2)(3),其中a,b,c,d各不相同.(4)(3)将四个向量排成一个四阶行列式，恰是范德蒙行列式,当a,b,c,d各不相同时有由推论知向量组α1,α2,α3,α4线性无关.

解:

(4)由定理3.2.3知,5个四维向量必定线性相关.13例.证明：若线性无关,则也线性无关

证:设

(*)则(目标:ki=0)线性无关∴方程组只有零解ki=0即只有k1=k2=k3=0时(*)式才成立

.线性无关线性无关?

思考：线性无关×

(奇数个向量时结论成立)14例11设四维向量组线性无关,试证:在每个向量中添加一个分量也线性无关.证

因为线性无关,所以相对应的齐次线性方程组只有零解.考虑相对应的齐次线性方程组,得到加长向量组(3-14)(3-15)方程组(3-14)的每一个解都是方程组(3-15)的解.而方程组(3-14)只有零解,所以方程组(3-15)也只有零,故线性无关.155.定理3.2.4:若n维向量组α1,α2,…,αm线性无关,则在每个向量中添加m个分量,得到的n+m维“加长”向量组β1,β2,…,βm也线性无关。6.定理3.2.5:向量组α1,α2,…,αm

(m≥2)线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量向量可被其余向量线性表出.7.定理3.2.6:向量组α1,α2,…,αm

(m≥2)线性无关的充分必要条件是其中任何一个向量都不能被其余向量线性表出.16结论1

若向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关，则整个向量组线性相关.(记：部分相关整体相关；注：向量组中向量两两线性无关，整个向量组未必线性无关.例(1,0),(0,1),(1,1).结论2若向量组线性无关，则每个向量在相同位置添加一些分量后所得高维向量组线性无关；若向量组线性相关，则每个向量在相同位置去掉一些分量后所得低维向量组线性相关.

（记：短无关长无关；长相关短相关）逆否命题：整体无关部分无关)17例

设线性无关，线性相关证①线性相关

∴存在不全为0的数k,ki,使∴k≠0

(反证可得)线性无关可由唯一线性表示.②设线性无关则∴

ki=li(i=1,2,…,s)即：

β由α1,α2,…,αs线性表示法唯一.18设向量组线性相关，线性无关,问:(1)能否由线性表出?证明你的结论；(2)能否由线性表出?证明你的结论.解:(1)∵线性无关,∴而线性相关∴能由唯一线性表出(2)设由(1)代入上式整理得即可由表出,从而线性相关,∴不能由线性表出线性无关矛盾!19(1)a≠－4时，D≠0，方程组有唯一解解:设,则该方程组的系数行列式＝－(a＋4)即:a≠－4时,可由线性表示,且表示唯一.不能由线性表示；(3)可由(00考研)设向量组件时，(1)可由线性表示，且表示唯一；试问a、b、c满足什么条线性表示，但表示不唯一？并求出一般表达式.20(2)a＝－4时，对增广矩阵作初等行变换，有x3=2b＋1x2