经济应用模型

第一章经济应用模型2.1边际及弹性分析一、边际的概念

在经济学中，如果一个经济指标

y是另一个经济指标

x的函数y=f(x),当自变量x在x0处有一个单位的改变量时，所对应的函数y的改变量称为该函数所表示的经济指标在x0处的边际量。

例如：生产要素(自变量)增加一单位，产量(因变量)的增量为2个单位，因变量改变的2个单位就是边际产量.

边际分析法就是分析自变量变动1单位时，因变量会变动多少的方法.用数学方法描述边际概念

设函数f(x)可导.根据导数的定义，有当

很小时，有

于是特别地，当

时，有

当自变量增加1单位时，函数的增量近似地等于其导数值.定义把函数的导数称为边际函数1．边际成本总成本函数

（x为产量）的导数

称为产量为x单位时的边际成本．

边际成本

表示当产量为x时，再生产1个单

位产品时总成本将改变

个单位．

2．边际收益总收益函数

（x为产量）的导数

称为产量为x单位时的边际收益．边际收益

表示当产量为x时，再生产1个单

位产品，总收益将改变

个单位．

3．边际利润总利润函数

（x为产量）的导数

称

为产量为x单位时的边际利润．边际利润

表示当产量为x时，再生产1个单位

产品，总利润将改变

单位．

最大利润原理

当边际收入等于边际成本且边际收入的变化率小于边际成本的变化率时，利润最大。条件：唯一驻点4．边际需求需求函数

（p为价格）的导数

称

为价格为p单位时的边际需求．边际需求

表示当价格为p时，价格再上涨1

个单位,需求量将改变

个单位．

5．边际供给供给函数

（p为价格）的导数

称

为价格为p单位时的边际需求．边际需求

表示当价格为p时，价格再上涨1

个单位,需求量将改变

个单位．

例

设生产某种产品的总成本为总收益为

试求：

（1）边际成本、边际收入和边际利润函数.（2）当产量为600及700个单位时的边际利润,并

说明其经济意义.

（3）求利润最大的产量。

解

（1）（2）

（3）令

这时，有经济意义：当产量为600时，再增加单位产量会使利润增加0.3,当产量为700时，再增加单位产量会使利润减少0.3二、弹性分析1、弹性的概念

设函数可导，函数

在点x处的

增量为

自变量的增量为

则比

值称为在点x处自变量x的相对改变量.称比值为函数y的相对改变量。

两个相对改变量之

比的极限称为函数

在点x处的弹性，记作

即

弹性经济意义为：当自变量变化1%时，函数变化的百

分数为注意

弹性研究的是相对变化率．因此，弹性没有量纲．为函数在区间上的弧弹性。

称2．需求价格弹性设需求函数为（p为价格），则需求价格弹性为它表示在价格为p的水平上，当价格改变1%时，需求量Ｑ变化的百分数．根据需求弹性值的大小，需求价格弹性可以划分为（1）缺乏弹性：

（2）富有弹性：

（3）单位弹性：价格变动的比率=需求量变动的比率。

例如运输业、煤气等。需求量变动的比率小于价格变动的比率。需求量对于价格变动反应不敏感。例如生活必需品（粮食、蔬菜）,需求曲线陡峭。

需求量变动的比率大于价格变动的比率。需求量对于价格变动反应敏感。例如奢侈品，需求曲线较平坦。QPQPPQ（5）完全无弹性：价格无论如何变动，需求量都不会变动。（急救药、火葬场、糖尿病人对胰岛素的需求）PQ（4）完全有弹性：PQ在既定价格之下，需求量可以任意变动（如银行以固定价格收购黄金）实例弹性在航空公司中的应用

美国航空公司认为，弄清乘客的需求弹性相当于每年可带来数十亿美元的收益。理想的情况下，航空公司希望向商务人员要求尽可能高的票价，而向闲适的游客提供足够低的票价以填补飞机上的空座。这是航空公司为增加总收益，追求利润最大化所希望采取的措施。为此他们要解决如何识别两种不同类型的乘客问题。航空公司通过对不同乘客实行“价格歧视”的措施解决了这个难题。航空公司通常会对事先计划并希望选择低价时机的游客提供折扣。同时，航空公司也许会要求乘客等到周六晚上以后才能拿到打折的机票，这一条规定使得急于回家度周末的商务人员望而却步。另外最后的时刻通常不提供折扣，因为商务往来事先并无计划，而是为了处理意外的危机——这是另外一种缺乏弹性的情况。航空公司已经设计出极其复杂的计算机程序来管理机票的销售，从而确保缺乏弹性的乘客无法从折扣中获益。因此，尽管用有预算约束的旅客填补空位，他们仍然有利可图。3、需求弹性、总收入与价格之间的关系总收入的变动量近似为总收入函数为若价格有微小的变化，则收入函数的改变量为4、需求的收入弹性设需求关于收入函数为，其中

M表示消费者的收入

需求收入弹性的计算公式为若需求收入弹性，则称这样的商品为正常商品，其中若，认为是缺乏弹性的，例如生活必需品；若，则为是富有弹性的，例如奢侈品或高档商品。若需求收入弹性，则认为该商品是低档或劣质产品，即吉芬（Giffen）商品。均衡价格是市场上供需量相等时的价格，这时的供需量叫做均衡商品量。解这个模型就得到价格和时间的关系。

一般来说价格P随时间t波动，，的涨速与过剩需求成正比，故有数学模型2.3均衡价格若的表达式是线性的：其通解为从而这说明价格虽是波动的，但随着时间的推移，最后趋于均衡价格。则问题简化为可得供求平衡时的价格为

若需求是一个常数，供给也是一个常数，且供不应求：，则其通解为从而此时即为通货膨胀。控制通货膨胀的关键是降低消费资金的投放和增加商品的供应量。总利润为

如果企业生产的产品不脱销，并认为商品需求量即为销售量，供给量即为生产量。此时发生的商品库存量为

设企业生产和库存单位商品的成本分别为q和r.若需求和供给函数都为线性函数：，收入函数和成本函数分别为由于商品不脱销，所以

，由此

最优价格问题转化为求函数L(p）在区间上的最大值问题。L(p)的唯一驻点为不难证明p0是L(p)的最大值，所以当，最优价格为，当，最优价格为，综上，最优价格为1、以二元函数为例说明拉格朗日乘子的经济意义设是目标函数，是影响目标函数中两个因素的约束条件，在此约束条件下，求目标函数的最值问题。2.4、拉格朗日乘子的经济意义拉格朗日函数为若将C看作变量，解出最优解的最值也可视为的函数

令对求导

将方程组(1)中前两式代入(2)式中

随目标函数、约束条件的经济意义和度量单位不同而有不同的经济解释。拉格朗日乘子是目标函数最值对约束条件之常数的变化率或边际值。

若总成本限定为，两种原料投入为x、y，为目标是使总产量最大，则是在最优投入水平时的边际产量。多变量多约束下拉格朗日乘子的经济意义研究有m个等式约束：函数的极值问题构造拉格朗日函数同样称为拉格朗日乘数拉格朗日乘数是函数的条件极值对约束常数的一阶偏导数，即其经济意义随目标函数、约束条件的经济意义和度量单位不同而有不同的解释。类似于二元函数，有如下结论2.7古诺产量竞争模型

古诺模型是最早的寡头模型，研究的是在一个只有两家成本结构相同的企业生产完全相同产品的市场中，企业如何确定自己的产量使利润达到最大，使市场达到一个稳定的状态或者均衡。古诺模型也扩展到对多个寡头厂商行为的研究。1、古诺模型1）、两个寡头厂商生产的产品是同质或无差别的；2）、每个厂商都根据对手的策略采取行动，并假定对手也这样做，据此来做出自己的决策；3）、为方便，假定每个厂商的边际成本为常数，

市场的需求函数是线性的；4）、两个厂商都通过调整产量来实现各自利润的最大；5）、两个厂商不存在任何正式的或非正式的串谋行为。

2、古诺模型中两个寡头行为的假定

参与者集合：i=1,2，

1为厂商A，2为厂商B市场需求函数：

决策变量：成本函数：利润函数：3、建立模型古诺均衡:古诺均衡是指这样一对产量的组合，在这个产量水平上没有企业认为可通过增加或减少产量而提高自己的利润，产出的组合除了古诺均衡外，不可能再达到均衡。厂商A的均衡产量厂商B的均衡产量厂商A的反应函数厂商B的反应函数

厂商选择的应是均衡产量

均衡点

应满足条件为即古诺均衡产量使两个企业都达到利润最大化，故古诺均衡点既在企业A的反应函数曲线上又在企业B的反应函数曲线上，两条企业反应函数曲线的交点就是古诺均衡点。两企业的反应函数为

两企业的最优产量为q2q1均衡点0q2*q1*R1(q2)R2(q1)企业边际成本越高，其均衡产量就越小，对手的边际成本越高，其均衡产量就越高。市场总产量为：均衡价格为：企业2的市场分额：企业1的市场分额：例1

欧佩克（OPEC,石油输出国组织）试图通过限制生产水平保持世界石油的高价格。假设欧佩克的生产成本为每桶5美元，非欧佩克生产国的生产成本为每桶10美元，又知道石油市场需求函数为

用古诺寡头垄断方法做均衡分析。分析：设欧佩克和非欧佩克国的产量分别为

，双方的利润函数分别为

解得反应函数分别为所以石油市场的古诺均衡点为，

令

假定市场上的两个寡头垄断企业通过串谋如同一个垄断者一样行事。串谋属于合作博弈，其特点是参加博弈的各方在决策过程中联合起来，先追求共同利益的极大化，然后再分配这个已经极大化了的共同利益。市场需求函数为：两个企业的成本函数分别为：在串谋条件下，总利润函数为：则4、两个企业有串谋的均衡模型令由此求得各自的最优产量例2

两企业市场需求函数和成本函数分别为：若两企业串谋，求均衡解，并求两企业的最优利润。总利润函数为解得令设市场中有n家厂商,qi为厂商i的产量，

为市场总产量。已知市场的需求函数为p=a-bQ

,为简单，假设各厂商生产没有固定成本，且各厂商的边际成本c都相同。若各厂商同时选择产量，则各厂商的利润函数为5、多家企业的古诺产量竞争模型

令各厂商的反应函数为n个厂商均衡点满足行业总产量为市场价格为每个企业的利润为

从上述数学结果来看，当n=1时，得到的是垄断结果；在n=2时，得到的是双头模型的结果。企业的均衡产量、市场均衡价格和每个企业的均衡利润都与行业内企业数量n有关系。在古诺均衡中，随着企业数量的无限增加，每个企业的产出水平接近零，而行业总产量接近竞争产出水平。时企业均衡产量和市场总产量的变化：

古诺均衡价格随着企业数量增加的结果为：

古诺均衡价格在n=1时为垄断价格水平，随着行业中企业数量的无限增加，呈不断下降的趋势，直到逼近企业单位生产成本即完全竞争价格水平。

这说明，当企业个数很多时，市场价格将趋于企业的边际成本，市场产量将会不断增加，而价格将会下降，从而有助于增加消费者的福利。2.10价格指数问题价格指数是消费品价格变化的度量.几百年来，经济学家们提出了许多种价格指数.如何评价这些价格指数的合理性？以１种和２种商品的价格指数为例对一种给定商品，原价p0,现价p,价格变化I=p/p0对两种给定商品，原价p01,p02,现价p1,p2,价格变化指标没有体现“权”的概念，应有价格综合指数

商品名称计量单位报告期基

期销售量

单价(元)销售量

单价(元)

q1p1q0p0甲米6000.204000.25乙kg6000.365000.40丙件1800.602000.50某企业三种产品平均日产与价格价格综合指数

定义为说明三种产品价格综合下降7.5%，企业日产值减少36元。问题的一般提法设有n种代表性消费品，建立衡量基年和现年价格变化指标。基年(基准年)

价格指数记为I(p,q|p0,q0)权重现年(报告年)价格价格权重历年来诸多学者都对指数计算做了研究，下面列举经济学家们提出的常用价格指数。

基年权重法现年权重法

基年现年权重并用法固定权重法几何平均法

幂平均法规范基年权向量幂平均法

规范现年权向量幂平均法问题：哪种定义更合理？理想的价格指数是什么？1.价格单调性：一种商品涨价，其他不降，则I应上升价格指数的公理化p,q,p0,q0>0,I(p,q|p0,q0)>02.权重不变性：所有商品价格不变，则I应不变3.价格齐次性：所有商品涨价k倍，则I应上升k倍4.I应位于单种商品价格比值的最小、最大值之间5.货币单位独立性：I应与货币单位的选取无关6.计量单位独立性：I应与商品计量单位的选取无关7.两年的价格指数之比与基年选取无关8.价格指数不因某种商品被淘汰失去意义则价指数I2为若猪肉计量单位换算为公斤基期p0=2×8=16元,销量q0=10÷2=5公斤

现价p1=2×10=20元,销量q1=9÷2=4.5公斤价格指数应不变对性质6解释举例猪肉基期p0=8元,销量q0=10斤

现价p1=10元,销量q1=9斤即I1,I2,I5不满足公理7艾希霍恩（Eichhorn）给出了如下定理（1973）定理:不存在同时满足公理2,3,6,7,8的价格指数.I6,I7,I8不满足公理8I3不满足公理2I4不满足公理6常见的价格指数I1—I8中：

不存在满足所有公理的价格指数，但经济学不能没有价格指数，要选择综合性能好的指数。分析现有I1-I8，应剔除哪一个？

I4与I6需构造另外参数，不方便使用，I5

可由I1和I2

直接得到，I3不满足公理2，I7、I8

计算量大且不满足公理6、7、8.I1,I2满足除公理7外的所有公理，且计算简单，所以是目前最常用的价格指数。目前常用的价格指数:I1,I2中国几种主要价格指数简介1、商品零售价格指数RPI

零售价格指数(RetailPriceindex)是反映城乡商品零售价格变动趋势的一种经济指数。它的变动直接影响到城乡居民的生活支出和国家财政收入，影响居民的购买力和市场供需平衡以及消费和积累的比例。商品主要包括食品、饮料烟酒、服装鞋帽、纺织品、中西药品、化妆品、书报杂志、文化体育用品、日用品、家用电器、首饰、燃料、建筑装潢材料、机电产品等十四个大类304种必报产品，各省（区、市）可根据当地实际