第六章二次型

第六章二次型第一节二次型一ｎ元二次型的概念二二次型的表示方法三二次型的矩阵及秩四化二次型为标准形五小结一、n元二次型1、定义的二次齐次多项式含有n个变量①称为二次型．或记为注①当常数项为实数时，称为实二次型；②当常数项为复数时，称为复二次型．二、二次型的矩阵表示定义只含有平方项的二次型称为二次型的标准形．定义特别地，称为二次型的规范形．１、二次型的和式表示②２、二次型的矩阵表示③

则二次型．其中矩阵A为对称矩阵.令任一二次型f三、二次型的矩阵及秩对称矩阵A任一对称矩阵A二次型f一一对应f称为对称矩阵A的二次型；A称为二次型f的矩阵；对称矩阵A的秩称为二次型f的秩．练习写出下列二次型的对称矩阵．3）复数域C上的４元二次型例１

1）实数域R上的２元二次型

2）实数域上R的３元二次型解定义设A,B为n阶方阵，若存在n阶可逆阵P，使得则称A合同于B或A与B合同.性质①反身性②对称性③传递性等价④合同矩阵具有相同的秩.⑤与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵.设四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．记记作将其代入有若|C|≠0，则④称为非退化线性变换．④注二次型经过非退化线性变换仍为二次型．证明即为对称矩阵.说明用正交变换化二次型为标准形的具体步骤例2例3解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例2从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组4．将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为解例3五、小结

1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法．

2.实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种方法——拉格朗日配方法．化为标准型，并指出表示何种二次曲面.求一正交变换，将二次型思考题思考题解答第二节用配方法化二次型为标准型一拉格朗日配方法的具体步骤二小结一、拉格朗日配方法的具体步骤

用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．

问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？

问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．

1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;拉格朗日配方法的步骤

2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.解例1含有平方项去掉配方后多出来的项所用变换矩阵为解例2由于所给二次型中无平方项，所以再配方，得所用变换矩阵为二、小结

将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩．思考题思考题解答第三节惯性定理与正定二次型一惯性定理二正(负)定二次型的概念三正(负)定二次型的判别四小结一、惯性定理

一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．

下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质．为正定二次型为负定二次型二、正(负)定二次型的概念例如证明充分性故三、正(负)定二次型的判别必要性故推论对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正．这个定理称为霍尔维茨定理．定理3对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即正定矩阵具有以下一些简单性质例1

判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.例2

判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，例3

判别二次型的正定性.解2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子