直线与平面垂直的判定线面夹角

2.3.1线面垂直的判定②—线面所成的夹角一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。线面垂直的判定线线垂直垂直面内相交线面垂直a一条直线PA

和一个平面a

相交,但不垂直,lA其交点A

叫做斜足。

这条直线叫做这个平面的斜线

PTSRQ平面外一点到这个平面的斜线段有无数条但是该点到这个平面的垂线段有且只有一条斜线与斜足如图,

直线l

与平面a

斜交于一点A,过点A

在平面a

内作直线l1,l2,l3,…,这些直线与直线l

的夹角中,你认为哪个角最小?怎样确定这个最小的角?lal4Al3l1l2P过l

上任一点P

作平面a

的O垂线PO,垂足为O,连结AO,则∠PAO

就是那个最小的角.直线和平面所成的角aPO过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO直线和平面所成的角lA平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角

叫做这条直线和这个平面所成的角.过垂足O

和斜足A

的直线AO

叫斜线在平面上的射影

OPaQPO∩a=O,O为斜足PQ⊥a,Q

为垂足OQ

是PO

在平面a上的射影∠POQ是斜线PQ

与平面

a

所成的角.特例1:

如果直线垂直平面,

直线和平面所成的角为直角;特例2:

如果直线和平面平行或在平面内,

就说直线和平面所成的角是0º的角.直线和平面所成的角已知直线l1、l2和平面a

所成的角相等,能否判断l1∥l2?反之,如果l1∥l2,l1,l2

与平面a

所成的角是否相等?如图aABCDOAB⊥a,CD⊥a∠AOB=∠COD而AO

与CO

不平行.和同一平面所成的角相等的两条斜线不一定平行.aABCDO1O2如图AB∥CD,AO1⊥a,CO2⊥a,则AO1∥CO2,于是得∠BAO1=∠DCO2在直角三角形中得∠ABO1=∠CDO2已知直线l1、l2和平面a

所成的角相等,能否判断l1∥l2?反之,如果l1∥l2,l1,l2

与平面a

所成的角是否相等?两条平行线和同一个平面所成的角一定相等.1、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B

和平面ABCD

所成的角。ABCA1B1C1D1D2、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B

和平面B1D1D

B所成的角。ABCA1B1C1D1D3、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B

和平面A1B1CD

所成的角。ABCA1B1C1D1D1、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B

和平面ABCD

所成的角。ABCA1B1C1D1D分析:需在平面ABCD上找到直线A1B的射影.∠BA1O就是所要求的线面角,A是垂足，B是斜足AB是A1B在平面ABCD上的射影∠BA1O=45°2、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B

和平面B1D1D

B所成的角。ABCA1B1C1D1D分析:需在平面B1D1D

B上找到直线A1B的射影.∠A1BO就是所要求的线面角,B是斜足，找

A1在面B1D1D

B的垂足O是垂足，OB是A1B在面B1D1D

B上的射影OA1O⊥B1D1A1O⊥B1B

A1O⊥面B1D1D

BABCA1B1C1D1DO2、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B

和平面B1D1D

B所成的角。∠A1BO就是所要求的线面角,OA1B3、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B

和平面A1B1CD

所成的角。ABCA1B1C1D1DO分析:需在平面A1B1CD

上找到直线A1B的射影.∠OA1B就是所要求的线面角,A1是斜足，找

B在面A1B1CD的垂足O是垂足，A1O是A1B在面A1B1CD上的射影BO⊥B1CBO⊥A1B1

BO⊥面A1B1CD∠OA1B就是所要求的线面角,ABCA1B1C1D1DOOA1B3、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B

和平面A1B1CD

所成的角。ABCA1B1C1D1DO3、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B

和平面A1B1CD

所成的角。求线面角的要点:(1)找斜线在平面上的射影,确定线面角.(2)构造含线面角的三角形,通常构造直角三角形.(3)在三角形中求角的大小.练习(补充).

已知PQ是平面a的垂线段,PA

是平面a

的斜线段,直线la.求证：(1)若l⊥PA,则l⊥QA;(2)若l⊥QA,则l⊥PA.alPQA证明:(1)PQ⊥a,laPQ⊥ll⊥PAl⊥平面PQAQA平面PQAl⊥QAPQ⊥a,laPQ⊥ll⊥QAl⊥平面PQAPA平面PQAl⊥PA练习(补充).

已知PQ是平面a的垂线段,PA

是平面a

的斜线段,直线la.求证：(1)若l⊥PA,则l⊥QA;(2)若l⊥QA,则l⊥PA.alPQA证明:(2)Q

为垂线段PQ

的垂足.A

为斜线段PA

的斜足.QA

为斜线PA

在平面a

上的射影.有三条线:①平面的斜线,②斜线在平面上的射影,③平面内的一条直线l.结论:如果l⊥斜线,则l⊥射影;如果l⊥射影,则l⊥斜线.(三垂线定理)练习(补充).

已知PQ是平面a的垂线段,PA

是平面a

的斜线段,直线la.求证：(1)若l⊥PA,则l⊥QA;(2)若l⊥QA,则l⊥PA.alPQA【课时小结】1.

直线和平面所成的角(1)平面的斜线与平面所成的角斜线与射影的夹角(锐角).(2)平面的垂线与平面所成的角为90.(3)平面的平行线或在平面内的直线与平面所成的角为0.

斜线和平面所成的角是斜线和平面内所有直线所成角中最小的.两条平行线和同一个平面所成的角相等.【课时小结】2.求线面角的要点(1)找斜线在平面上的射影,确定线面角.(2)构造含角的三角形,用三角函数求解.练习(补充)ABCA1B1C1D1D如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)

求对角线A1C与平面B1BCC1所成角的正切值;(2)

求AA1与平面A1BD所成角的正切值.解:(1)∵A1C是平面B1BCC1的斜线,A1B1是平面B1BCC1的垂线,∴B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影,则∠A1CB1为所求的线面角.在Rt△A1B1C中,即

A1C与平面B1BCC1所成角的正切值为练习(补充)ABCA1B1C1D1DO如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)

求对角线A1C与平面B1BCC1所成角的正切值;(2)

求A1A

与平面A1BD所成角的正切值.解:(2)取

BD的中点O,连结AO,A1O,过点A

作AE⊥A1O,垂足为E.∵AB=AD,A1B=A1D,E∴BD⊥AO,BD⊥A1O,则BD⊥平面A1AO,得BD⊥AE.①②由①②得AE⊥平面A1BD.∴A1E是A1A在平面A1BD上的射影,ABCA1B1C1D1DOE练习(补充)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)

求对角线A1C与平面B1BCC1所成角的正切值;(2)

求A1A

与平面A1BD所成角的正切值.解:(2)取

BD的中点O,连结AO,A1O,过点A

作AE⊥A1O,垂足为E.∵AB=AD,A1B=A1D,∴BD⊥AO,BD⊥A1O,则BD⊥平面A1AO,得BD⊥AE.①②由①②得AE⊥平面A1BD.∴A1E是A1A在平面A1BD上的射影,则∠AA1E

为所求的线面角.在Rt△A1AO

中,即

A1A与平面A1BD所成角的正切值为练习(补充)2.

已知三棱锥的三条侧棱长都等于2,底面是等边三角形,侧棱与底面所的角为60º,求三棱锥的体积.1.

若一直线与平面所成的角为则此直线与该平面内任一直线所成的角的取值范围是

.3.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1B与平面BC1D1所成的角为

.CDABC1D1A1B11.

若一直线与平面所成的角为则此直线与该平面内任一直线所成的角的取值范围是

.aABCDP解:如图,直线AB是直线PC在平面a内的射影,直线PC与平面a

内的直线所成的角中,∠PCA最小,直角最大.则PC与平面内任一直线所成的角的范围是2.

已知三棱锥的三条侧棱长都等于2,底面是等边三角形,侧棱与底面所成的角为60º,求三棱锥的体积.OABCP解:作PO⊥底面ABC,垂足为O,如图,∴

O为底面正三角形的中心,则∠PAO=∠PBO=∠PCO=60º,PA=PB=PC=2.得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,于是得OA=OB=OC.得AO=1,