第9章矩阵位移法

结构力学（下）主讲：肖梅玲Tel容四章**矩阵位移法**结构动力计算结构稳定计算结构极限荷载考核平时作业、出勤10%中考20%期末考70%1、该课程实践性较强，需要同学多作练习。2、充分利用多种媒体，重点复习。教学方法和教学形式建议学习方法课堂只能讲解重点内容，并布置一些重点习题。同学们应在系统学习教材的基础上尽可能作较多习题，才能熟练掌握本课程的知识。

希望同学们应以学习教材为主，作简单笔记，在学习理论、概念的同时，一定要作相当数量的习题，通过手算的方法和技巧来掌握力学的概念以及分析和计算的方法。

第9章

矩阵位移法§9－1概述§9－2单元刚度矩阵§9－3坐标变换§9－4单元集成法和连续梁的整体刚度矩阵§9－6等效结点荷载§9－5平面刚架的整体刚度矩阵§9－7计算步骤与算例结构矩阵分析方法是电子计算机进入结构力学领域而产生的一种方法。§9－1概述结构力学传统方法与结构矩阵分析方法，二者同源而有别：在原理上同源，在作法上有别。简单地说，前者在“手算”的年代形成；后者则着眼于“电算”，计算手段的不同，引起计算方法的差异。

与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或称柔度法与刚度法。矩阵位移法由于具有易于实现计算过程程序化的优点而广为流传，本章只对矩阵位移法进行讨论。矩阵位移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也称为杆件结构的有限元法。在本章中将使用有限元法中的一些术语和提法。先把整体拆开，分解成若干个单元（在杆件结构中，一般把每个杆件取作一个单元），这个过程称作离散化。然后再将这些单元按一定条件集合成整体。在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构的计算问题转化为简单单元的分析和集合问题。

有限元法的要点：有限元法包含两个基本环节：1.单元分析2.整体分析单元分析的任务:

建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵整体分析的主要任务:将单元集合成整体，由单元刚度矩阵按照刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立整体结构的位移法基本方程，从而求出解答。本节对平面结构的杆件单元进行单元分析，得出单元刚度方程和单元刚度矩阵。§9－2单元刚度矩阵位移法中给出的转角位移方程实际上就是梁单元的刚度方程。梁单元是杆件单元的特例。本节推导单元刚度方程时有几点新的考虑：重新规定正负号规则，讨论杆件单元的一般情况，采用矩阵表示形式。9.2.1一般单元图1所示为平面刚架中的一个等截面直杆单元图—1

设杆件除弯曲变形外，还有轴向变形。左右两端各有三个位移分量（两个移动、一个转动），杆件共有六个杆端位移分量，这是平面结构杆件单元的一般情况。由端点1到端点2的方向规定为杆轴的正方向，在图中用箭头表明。

图中采用坐标系

，轴与杆轴重合。这个坐标系称为单元坐标系或局部坐标系。上面都划上一横，作为局部坐标系的标志。在局部坐标系中，一般单元的每端各有三个位移分量和对应的三个力分量图-2中所示的位移、力分量方向为正方向。

图—2

单元的六个杆端位移分量和六个杆端力分量按一定顺序排列，形成单元杆端位移向量和单元杆端力向量

如下：（9－1）

向量中的六个元素的序码记为（1），（2），…，（6）。由于它们是在每个单元中各子编码的（不是在刚架所有单元中统一编码的），因此称为局部码——杆端位移分量（或杆端力分量）的局部码。数码（1），（2），…都加上括号，作为局部码的标志。单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时所建立的方程——记为

§9.2.2单元刚度方程和刚度矩阵为了建立单元刚度方程，我们按照位移法基本体系的作法，在杆件两端加上人为控制的附加约束，使基本体系在两端发生任意指定的位移如下图-3所示。然后根据

推算相应的杆端力图-3忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。首先，由杆端轴向位移可推算出相应的杆端轴向力（9－2）

其次，由杆端横向位移

和转角可推算出相应的杆端横向力和杆端力矩根据转角位移方程（8－5）和（8－6），并改用本章的记号和正负号，即得（8－5）

（8－6）

（9－3）

上面六个刚度方程（9－2）和（9－3）实际上在位移法中已经推导过。现在将它们合在一起，写成矩阵形式如下：

（9－4）

上式可记为：（9－5）

（9－6）

其中

式（9－5）即为所求的称为在局部坐标系中的单元刚度方程。矩阵

称为局部坐标系中的单元刚度矩阵。它是方阵。

9.2.3单元刚度矩阵的性质

1）单元刚度系数的意义

中的每个元素称为单元刚度系数，代表由于单位杆端位移所引起的杆端力。例如，第（6）行第（3）列元素（即元素）

代表当第（3）个杆端位移时引起的第（6）个杆端力分量

一般来说，第（i）行第（j）列元素代表当第（j）个杆端位移分量等于1（其他位移分量为零）时所引起的第（i）个杆端力分量的值。

中某一列的六个元素分别表示当某个杆端位移分量等于1时所引起的六个杆端力分量。例如，第1列对应于单位位移所引起的杆端力。为了帮助理解，在式（9－6）中，在每一列的上方都标明了对应的单位位移分量。2）是对称矩阵

的对称性是指其元素有如下关系：（9－7）

这实际上是根据反力互等定理得出的结论。3）一般单元的是奇异矩阵的奇异性是指其行列式等于零，即（9－8）

直接计算式（9－6）的矩阵行列式，便可验证上述结论。由此可知，不存在逆矩阵。也就是说，根据单元刚度方程（9－5），可以由杆端位移推算出杆端力且的解是唯一解；但不能由杆端力反推出杆端位移，可能无解，如有解，则为非唯一解。为了避免混淆，我们把正反两个问题再从数学提法、力法模型、解的性质等方面作一对比。见下表：

正问题

反问题

数学提法为任意指定值，为待求量。为任意指定值，为待求量。力学模型把单元按“两端有六个人工控制的附加约束的杆件”（位移法基本体系）来分析——由控制附加约束而加以指定。把单元按“两端自由的杆件”来分析——直接加在自由端作为指定的杆端力。解的性质

为任意值时，都有解，且为唯一解。总是一个平衡力系，不可能是不平衡力系。

为不平衡力系时，没有解。为平衡力系时，有解，但为非唯一解（因为自由杆件除本身变形外还可有任意刚体位移）。不存在。总之，正反两个问题的力学模型是截然不同的，不能把单元笼统地统称为“自由单元”。逆矩阵的性质是根据反问题确定的，这里的反问题是按“自由单元”分析，故得出不存在的结论。9.2.4特殊单元刚度矩阵式（9－4）是一般单元的刚度方程，其中六个杆端位移可指定为任意值。在结构中还有一些特殊单元，单元的某个或某些杆端位移的值已知为零，而不能任意指定。各种特殊单元的刚度方程无需另行推导，只需对一般的单元刚度方程（9－4）作一些特殊处理便可自动得到。举例来说，计算连续梁时，我们通常忽略轴向变形。如取每跨梁作为单元（图－4），则只有两个杆端位移分量可指定为任意值，而其余四个分量均已知为零：

图—4

返回

（a）

将式（a）代入式（9－4），即自动得出此特殊单元连续梁的刚度方程如下：（9－9）

此时单元刚度矩阵为

（9－10）

返回某些特殊单元的刚度矩阵是可逆的。例如式（9－10）中的，其逆矩阵存在。

对于图4所示特殊单元来说，正问题的力学模型如图－5a所示，每端有两个支杆和一个控制转角的附加约束，

可指定为任意值。

和

图—5

返回返回反问题的力学模型如图－5b所示，每端有两个支杆，杆端力矩为任意值。

由于反问题的力学模型是一个几何不变体系，因此，当为任意值时，杆端转角有解，且为唯一解。由此得出存在的结论。选用局部坐标系的目的是希望导出的单元刚度矩阵具有最简单的形式。为了便于进行整体分析，必须选用一个统一的公共坐标系，称为整体坐标系。为了区别，用表示局部坐标，用表示整体坐标。

9.3单元坐标转换矩阵图－6a所示为一单元e，局部坐标系中的杆端力分量用表示。整体坐标系中则用表示，如图－6b所示。

图—6

返回显然，二者有下列关系：

（9－11）

将式（9－11）写成矩阵形式：（9－12）

或简写成（9－13）返回式中T称为单元坐标转换矩阵（9－14）

式（9—13）是两种坐标系中单元杆端力的转换式。

T－1＝TT

（9—15）

或

TTT＝TTT＝I

（9—16）

式（9—13）的逆转换式为（9—17）

设局部坐标系中单元杆端位移列阵为

，整体坐标系中单元杆端位移列阵为

，则返回（9—18）

（9—19）

9.3.2整体坐标系中的单元刚度矩阵单元杆端力与杆端位移在整体坐标系中的关系式可写为

（9—20）

返回

单元e在局部坐标系中的刚度方程为（a）

将式（9—13）和（9—18）代入式（a），得到等式两边各前乘，并引入式（9—16），得（b）

表较式（b）与（9—20），可知（9—21）

整体坐标系中的单元刚度矩阵与同阶，具有类似的性质：元素表示在整体坐标系中第（j）个杆端位移分量等于1时引起的第(i)个杆端力分量。

（1）是对称矩阵。

（2）一般单元的是奇异矩阵。

（3）例9—1P7

试求图—7所示刚架中各单元在整体坐标系中的刚度矩阵。设各杆的杆长和截面尺寸相同。

图—7

解:局部坐标系中的单元刚度矩阵由式（9—6）得==（1）①

②

整体坐标系中的单元刚度矩阵（2）

单元①：

①

=

单元②：

单元坐标转换矩阵为①

②

=②

T

=§9-4连续梁的整体刚度矩阵前两节进行了单元分析，建立了单元刚度方程，推导了单元刚度矩阵。从本节起转到整体分析，建立整体刚度方程，导出整体刚度矩阵。本节以连续梁为例，下节讨论刚架的一般情况，并考虑杆件轴向变形的影响。整体刚度方程是按位移法建立的,具体做法有两种：1.传统位移法2.单元集成法（也称为刚度集成法或直接刚度法）单元集成法的优点是便于实现计算过程的程序化。对于图-8a所示的连续梁，位移法基本体系如图－8b所示。

图－8位移法的基本未知量为节点转角他们可指定为任意值，在基本体系中用控制附加约束加以指定。他们组成整体结构的节点位移向量：（）T

与对应的力是附加约束的力偶它们组成整体结构的结点力向量F

在传统作法中，分别考虑每个结点转角独自引起的节点力偶，如下图-9a﹑b﹑c所示。图－9

叠加得结点力偶；如下（9－22）记为：（9－24）（9－23）式（9-22）或(9-23)称为整体刚度方程，K称为整体刚度矩阵。9.4.1.单元集成法的力学模型和基本概念传统位移法求结构的结点F时，分别考虑每个结点位移对F的单独贡献（采用图-9中的力学模型），然后进行叠加。

单元集成法求F时，分别考虑每个单元对F的单独贡献，然后进行叠加—其特点就是“由单元直接集成”。

首先，考虑单元①的贡献，力学模型见图-10。整个结构的结点力是由单元①单独产生的，记为

F①=(F1①

F2②

F3③)T图－10F1①表示单元①对结构结点力F的贡献。F1①和F2①可由单元①的单元刚度矩阵k①算出。已知F3①＝0（a）k①＝

（9－25）得：

（b）由（a）和（b）得：（9－26）记为F3①＝K①

（9－27）其中

K①＝（9－28）K①表示单元①对刚度矩阵提供的贡献，称为单元①的贡献矩阵。其次，考虑单元②的贡献。力学模型见图-11所示。图－11已知k②＝故得记为F②=K②

（9－29）（9－30）（9－31）其中K②

（9－32）K②称为单元②的贡献矩阵。将式（9-27）和式（9-31）叠加，得：F=F①+F②=(k①+k②)（9－33）由此得出整体刚度矩阵K为K=K①+K②=

（9－34）单元集成法求整体刚度矩阵的步骤可表示为其中：为单元刚度矩阵，单元贡献矩阵，K为整体刚度矩阵2.按照单元定位向量由求

注意以下3点：1)结点位移（或结点力）有两种编码：在整体分析中，结点位移在结构中统一进行编码，称为总码。在单元分析中，每个单元的两个结点位移各自编码为（1）和（2），称为局部编码。（见下图-12）（b）（a）图－122)注意每个单元的结点位移分量两种编码之间的对应关系，具体见下表：

单元对应关系单元定位向量局部码→总码①（1）→1（2）→2

②（1）→2（2）→3

3)注意单元刚度矩阵和单元贡献矩阵中元素的排列方式,见下表

在单元刚度

矩阵中在单元贡献矩阵中

换码元素的原行码(i)原列码（j）换成新行码新列码（i）→（j）→

重排座原排在(i)行（j）的元素改在行列总之，由求的问题实质上就是中的元素在中如何定位的问题。定位规则是：（9－36）参见下表:单元单元刚度矩阵单元定位向量单元贡献矩阵①

（1）（2）（1）4i12i1（2）2i14i1

(1)(2)↓

↓123（1）→14i12i10（2）→22i14i103000②（1）（2）（1）4i22i2（2）2i24i2

(1)(2)↓

↓123（1）→1000（2）→204i22i2302i24i23.单元集成法的实施方案单元集成法形成K的过程：1)先将K置零，这时K=02)将k①的元素在K中按定位①并进行累加，这时，K=K①

3)将k②的元素在K中按定位②并进行累加，这时，K=K①+K②按此作法对所有单元循环一遍，最后得到现以图-8a所示连续梁为例，说明上过程：将k①集成后，得到：在此基础上将k②集成得最终结果：

例-2试求图-13a所示连续梁得整体刚度矩阵K

P14解（1）结点位移分量总码（见图-13a）图－13（2）各单元得定位向量①

③

②

（3）单元集成过程单元单元刚度矩阵按单元定位向量换码

集成过程中得阶段结果①

（1）（2）（1）4i12i1（2）2i14i1（1）→1（2）→2

123（1）→14i12i10（2）→22i14i103000②

（1）（2）（1）4i22i2（2）2i24i2(1)→2(2)→312314i12i10（1）→22i14i1+(4i2)2i2

（2）→3302i24i2③

（1）（2）（1）4i32i3

（2）2i34i3(1)→3(2)→0(2)→0123（1）→14i12i10（2）→22i14i1+(4i2)2i2302i24i2+4i3

4.整体刚度矩阵的性质（1）整体刚度系数的意义

K中的元素称为整体刚度系数。它表示当第j个结点位移分量（其他结点位移分量为零）时所产生的第i个结点力(2)K是对称矩阵(3)按本节方法计算连续梁时，K时可逆矩阵。图-8a所示为下图-14为例的反问题力学模型。当F为指定值时，均可得的唯一解，故是存在的。

图－14（4）K是稀疏矩阵和带状矩阵。对下图-15，可导出其整体刚度矩阵：图－15（9－37）§9-5平面刚架的整体刚度矩阵本节讨论用单元集成法求平面刚架的整体刚度矩阵K。思路的要点：K由直接集成；集成包括将的元素在K中定位和累加两个环节；定位是依据单元定位向量进行的。情况的复杂性表现在下列几个方面：1）在一般情况下要考虑刚架中各杆的轴向变形，而忽略杆件轴向变形的情况则作为特例来处理；2）刚架中每个结点的位移分量要增加到三个：角位移和两个方向的线位移；3）刚架中各杆方向不尽相同，在整体分析中需采用整体坐标；4）刚架中除刚结点外，还要考虑铰结点等其他情况。1.结点位移分量的统一编码――总码图-16所示刚架整体结构的结点位移向量：＝（）T＝（）T相应结点力向量为F=(F1F2F3F4)T

图－16P7例9.12.单元定位向量单元①单元②局部编码→总码单元定位向量局部编码→总码单元定位向量（1）→1（2）→2（3）→3（4）→0（5）→0（6）→4①（1）→1（2）→2（3）→3（4）→0（5）→0（6）→0②3.单元集成过程首先，考虑单元①；①＝

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）300kN/m00-300kN/m00（2）012kN/m30kN0-12kN/m30kN（3）030kN100.kN.m0-30kN50.kN.m×104（4）-300kN/m00300kN/m00（5）0-12kN/m-30kN012kN/m-30kN（6）030kN50.kN.m0-30kN100.kN.m

（9－38）K的阶段结果＝(1)(2)(3)(6)↓↓↓↓(1)→1300kN/m000(2)→2012kN/m30kN30kN×104(3)→3030kN100.kN.m50.kN.m(6)→4030kN50.kN.m100.kN.m（9－39）其次，考虑单元②k①=

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）12kN/m0-30kN-12kN/m0-30kN（2）0300kN/m00-300kN/m0（3）-30kN0100.kN.m30kN050.kN.m×104（4）-12kN/m030kN12kN/m030kN（5）0-300kN/m00300kN/m0（6）-30kN050.kN.m30kN0100.kN.m（9－40）K=

(1)(2)(3)↓↓↓1234(1)→1[300+(12)]kN/m0+(0)[0+(-30)]kN0

(2)→20+(0)[12+(300)]kN/m[30+(0)]kN30kN×104

(3)→3[0+(-30)]kN[30+(0)]kN[100+(100)]kN.m50.kN.m

4030kN50.kN.m100kN.m（9－41）4．铰结点的处理图-17所示为具有铰结点的刚架。

图－171.考虑结点位移分量的统一编码（图中已标出）2.考虑单元定位向量各单元定位向量如下；分析过程：①＝（123456）T

②＝（123000）T③＝（457000）T

第一阶段结果①，见式（9－43）。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（1）

1

（2）

2

（3）

3

（4）

4

（5）

5(6)

6730000-300000012300-123000301000-30500-300003000000-12-30012-300030500-30100000000001234567（9－43）

（1）

（2）

（3）1234567（1）

1（2）

24（3）

3300+（12）0+（0）0+（－30）-3000000+（0）12+（300）30+（0）0-123000+（－30）30+（0）100+（100）0-30500-300003000000-12-30012-300030500-3010000000000567（9－44）

在式（9－40）中已给出。将其中的元素按在K中定位并与前阶段结果累加，即得K的第二阶段结果，见式（9－44）。其次，考虑单元②

：

最后，考虑单元③：

与相同。由即得K最后结果，见式（9－45）。

（1）

（2）

（3）（1）（2）（3）123456712345673120-30-3000000312300-12300-30302000-30500-30000300+（12）0+（0）00+（-30）

0-12-300+（0）12+（300）-300+（0）030500-3010000000+（－30）0+（0）00+（100）（9－45）

以上式（9－43）、（9－44）、（9－45）中各物理量是有单位的，这里只是表示单元集成的过程，故式中未标单位。

1.位移法基本方程

§9－6等效结点荷载前两节讨论了结构的整体刚度矩阵K，建立了整体刚度方程（9－46）

整体刚度方程（9－46）是根据原结构的位移法基本体系建立的，它表示由结点位移推算结点力（即在基本体系的附加约束中引起的约束力）F的关系式。它只反映结构的刚度性质，而不涉及到原结构上作用的实际荷载。它并不是用以分析原结构的位移法基本方程。为了建立位移法基本方程，我们回顾一下本书（Ι）§8－5中的推导方法，分别考虑位移法基本体系的两种状态：

(1)设荷载单独作用（结点位移设为零）——此时在基本结构中引起的结点约束力，记为。

(2)设结点位移单独作用（荷载设为零）——此时在基本结构中引起的结点约束力为。

位移法基本方程为

（11－47）

2.等效结点荷载的概念

等效的原则是要求这两种荷载在基本结构中产生相同的结点约束力。

如果原来荷载在基本结构中引起的结点约束力记为，则等效结点荷载在基本结构中引起的结点约束力也应为。由此即可得出如下结论：（9－48）

将式（9－48）代入式（9－47），则位移法基本方程可写为

（9－49）

由式（9－46）和式（9－49）可知，如果把刚度方程（9－46）中的结点约束力F换成等效节点荷载P，即得到位移法基本方程（9－49）。

3．按单元集成法求整体结构的等效结点荷载

(1)单元的等效结点荷载

先考虑局部坐标系。

在单元两端加上六个附加约束，使两端固定。在给定荷载作用下，可求出六个固端约束力，它们组成固端约束力向量：

（9－50）

在表9－1中给出了几种典型荷载所引起的固端约束力。将固端约束力反号，即得到单元等效结点荷载（局部坐标系）：

（9－51）

(2)单元的等效结点荷载（整体坐标系）

现考虑整体坐标系。由坐标转换公式（9－17），得

（9－52）

(3)整体结构的等效结点荷载P

依次将每个中的元素按单元定位向量在P中进行定位并累加，最后即得到P。

表

9－1

单元固端约束力（局部坐标系）

荷载简图

始

端

1末

端

21

2

3

4

5

6

7例－3

试求图－16a所示刚架在图－18给定荷载下的等效结点荷载向量P。

图

－18

解（1）求局部坐标系中的固端约束力

单元①：由表9－1第1行，

得单元②：由表9－1第2行，

得因此

(2)各单元在整体坐标系中的等效结点荷载

单元①、②的倾角分别为

由式（9－51）和（9－52）得

(3)求刚架的等效结点荷载

两个单元的结点局部和总码见图－16。总码在图－18中用虚线重新示出。单元定位向量已知为将中得元素，按在中进行定位并累加即可得出。

首先，考虑单元①：

的阶段结果为[（4）、（5）行元素在中无座位]

（1）

1

（2）2（3）

3(6)4其次,考虑单元②

（1）

1

（2）2（3）

34(1)整理原始数据，对单元和刚架进行局部编码和总体编码。

(2)形成局部坐标系中的单元刚度矩阵，用式（9－6）。

(3)形成整体坐标系中的单元刚度矩阵，用式（9－21）。

(4)用单元集成法形成整体刚度矩阵，参看式（9－35）。

§9－7

计算步骤和算例

用矩阵位移法计算平面刚架的步骤如下：

(5)求局部坐标系的单元等效结点荷载，转换成整体结构的等效结点荷载，用式（9－51）和式（9－52）；用单元集成法形成整体结构的等效结点荷载。

(6)解方程，求出结点位移。

(7)求各杆的杆端内力，用下面的式（9－53）。

各杆的杆端内力是由两部分组成：

一部分是在结点位移被约束住的条件下的杆端内力，即各杆的固端约束力。另一部分是刚架在等效结点荷载作用下的杆端内力，可由式（9－5）求出。将两部分内力叠加，即得

（11－52）