第9讲随机变量的方差

第9讲随机变量的方差

现有一批灯泡，其平均寿命为1000小时，那么我们能否仅仅根据其平均寿命评价这批灯泡的质量的好坏呢？回答是否定的.事实上,其中绝大部分的寿命在950-1050小时；也有可能其中约有一半是高质量的，而另一半质量却很差，其寿命大约有700小时.为了评价这批灯泡质量的好坏,还需进一步考虑率灯泡的寿命X与其平均寿命E(X)=1000的偏离程度.若偏离程度小，表示质量比较稳定，从这个意义的说，我们认为质量较好.检查一批棉花的质量时,人们不仅关心棉花纤维的平均长度,而且关心纤维的实际长度与平均长度的偏离程度。由此可见研究随机变量与军职的偏离程度是十分必要的.但是，对于任何一个随机变量，根据数学期望的性质有因此，它不能作为这样的度量.虽然他可以度量随机变量与其均值的偏离程度，但是其表达式中的绝对值给我们的分析和运算带来不便.

那么如何研究这样的偏离程度？或者说用怎样的量区度量这个偏离程度？第9讲随机变量的方差我们首先想到的是离差.那么，能不能用X-E(X)绝对值的平均值作为这样的度量，即为此，我们可以X-E(X)平方的平均值进行度量.即？第9讲随机变量的方差

一、方差的概念1.定义设X是一随机变量，若E(X)存在，则称为X的方差，记为D(X)或Var(X)，即

是与随机变量X具有相同量纲的量，称为X的标准差或均方差，记为(X)．

随机变量X的方差表达了X的取值与其数学期望的偏离程度.若D(X)

较小，则意味着X的取值比较集中在数学期望E(X)的附近；反之,若D(X)较大，则表明X的取值比较分散.因此，D(X)是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度．2.方差的计算第9讲随机变量的方差

一、方差的概念

(2)若X是连续型随机变量，且其密度函数为f(x).

则(1)若X是离散型随机变量，且其分布律为P{X=xk}=pk,k=1,2,…，则2.方差的计算第9讲随机变量的方差

一、方差的概念

例1

甲，乙两种牌号的手表，他们日走时的误差(单位:秒）分别为X和Y，其分布率为X-101p0.10.80.1Y-2-1012p0.10.30.20.30.1试评价甲，乙两种牌号的手表的质量.

解首先考虑两种牌号手表日误差的平均值.

其次，考虑两种牌号手表日误差的方差.X-101p0.10.80.1[X-E(X)]2101Y-2-1012[Y-E(Y)]241014p0.10.30.20.30.1

D(X)<D(Y)，这说明甲牌号手表日走时误差集中在0附近的程度高于乙牌号的手表，当然甲的质量高于乙的质量.

解随机变量Ｘ的数学期望为

例2

已知随机变量X的密度函数为试求D(X).第9讲随机变量的方差

一、方差的概念3.方差的计算公式

例3设随机变量X是服从参数为p的0—1分布，试求随机变量X的方差.第9讲随机变量的方差

一、方差的概念3.方差的计算公式

解由已知X的分布律为X01P1-pp

例4设随机变量X是服从参数为

的泊松分布，试求随机变量X的方差.

解由已知X的分布律为

例5

设随机变量X

服从区间[a,b]上的均匀分布，求X

的方差.

解由已知X的密度函数为

解由已知X的密度函数为

例6

设随机变量X

服从参数为的指数分布，求X

的方差.

例7

设随机变量X

服从正态分布，求X

的方差.

解由已知X的密度函数为所求方差标准正态分布的密度函数

例8

设随机变量X的概率密度为试求D(X)，D(X2).

解由已知条件随机变量X的数学期望

例9

设随机变量X的密度函数为

已知E(X)=0.5，D(X)=0.15

，求常数a,b,c．

解由已知条件再由已知条件可得

例9

设随机变量X的密度函数为

已知E(X)=0.5，D(X)=0.15

，求常数a,b,c．

解由已知条件第9讲随机变量的方差

一、方差的概念

二、方差的性质1.设C是常数，则D(C)=0.

2.设X是随机变量，C是常数，则3.设X、Y是随机变量，C是常数，则又第9讲随机变量的方差

一、方差的概念

二、方差的性质1.设C是常数，则D(C)=0.

2.设X是随机变量，C是常数，则3.设X、Y是随机变量，则4.设X、Y是相互独立的随机变量，则5.Ｄ(X)=0的充分必要条件是P{X=E(X)}=1.

例10

设随机变量X服从参数为n,p的二项分布，试求D(X).

解由二项分布的定义知，随机变量X是n重贝努利试验中事件A发生的次数,且在每次试验中A发生的概率为p.引入随机变量那么.

又Xk服从参数为p的0—1分布,所以再根据的独立性，可得

例11

设随机变量X的数学期望E(X)=3，方差D(X)=5，试求.

解方法一

方法二泊松分布npqnp二项分布pqp0—1分布方差期望分布律名称第9讲随机变量的方差

一、方差的概念

二、方差的性质

三、几个重要分布的方差正态分布指数分布均匀分布方差期望密度函数名称第9讲随机变量的方差

一、方差的概念

二、方差的性质

三、几个重要分布的方差

四、切比雪夫(Chebyshew)不等式

定理设随机变量X的数学期望E(X)=,方差D(X)=2,则对任意的正数，不等式或成立.

证仅就X为连续型随机变量的情形予以证明.不妨设X的密度函数为f(x).

例12

设随机变量X的分布密度为

试证

证由于

由方差的计算公式可得再根据切比雪夫不等式，有

例13

将编号分别为1~n的n

个球随机地放入编号分别为1~n