谱估计(和经典法)

谱估计主要内容引言经典谱估计现代谱估计1引言概述估计质量的评价功率谱估计的应用研究现状1引言随机信号的功率谱密度(函数)，是其自相关函数的傅氏变换。

X(n)的自相关函数前提：均值为零令则上式可写成实际上只有将上式求平均，成为才有意义功率谱的真实值1引言谱分析 用有限的N个样本数据来估计平稳随机过程的功率谱密度。其中或功率谱的估计值周期图1引言估计质量的评价的偏差(Bias)为零

。所谓偏差(用B表示)定义为

无偏估计

θ：某个随机变量的真值：它的估计值

估计1和估计2都属于无偏估计；估计2较之估计1方差小；

1引言估计质量的评价最小方差估计

方差θ：某个随机变量的真值：它的估计值

为最小的估计。1引言估计质量的评价均方误差

θ：某个随机变量的真值：它的估计值

不难证明：当N趋向于无穷大时，谱估计趋向于真实的谱密度。1引言估计质量的评价一致估计：正确的估计应该满足一致估计的条件，此为正确估计的必要条件

反之，若估计方法不满足一致估计的条件，则它一定是不正确的1引言功率谱估计的应用在信号处理的许多场所，要求预先知道信号的功率谱密度(或自相关函数)。常常利用功率谱估计来得到线性系统的参数估计。

从宽带噪声中检测窄带信号。

功率谱估计的应用谱估计的分辨率可以粗略地定义为能够分辨出的二个分立的谱分量间的最小频率间隙(距)。例如：有一个随机信号，它包括二个频率相差1Hz振幅相等的正弦波以及加性白噪声(白色噪声的方差是正弦波功率的10％)。用三种不同的谱估计方法检测这二个正弦分量的效果。(a)经典BTPSD法(b)最大熵谱估计法(c)Pisavcnko谐波分解法1引言研究现状功率谱估计的方法：教材P489图10.7.11引言研究现状经典谱估计：间接法(BTPSD估计法)先通过式对自相关函数进行估计，然后再通过式

作傅氏变换得功率谱估计值。以傅立叶变换为基础已知数据取样自相关函数功率谱1引言研究现状经典谱估计：直接法(周期图法)将观察到的有限个样本数据利用FFT算法作傅氏变换，直接按式进行功率谱估计(不通过自相关函数的估计)计算效率高频率分辨率低将已知数据序列的傅立叶变换的模的平方除以序列长度作为功率谱的估计1引言研究现状经典谱估计：固有缺陷：原因：“加窗效应”频率分辨率低原因：加窗截取，认为窗以外的数据为零。频谱能量向旁瓣泄漏原因：加窗截取，频域产生旁瓣和主瓣宽度不是无限窄的现象。周期图的缺陷：非一致估计当数据量增至无限多时，周期图的方差并不趋近于零，而是趋近于常数。“加窗效应”矩形序列其傅立叶变换为幅度谱“加窗效应”各种窗函数的频谱现代谱估计：1引言研究现状1967Burg最大熵1968Parzen

自回归AR用参数模型来模拟信号实际遇到的随机过程x(n)可以用ARMA模型来逼近目前常用的求自回归模型系数的算法有三种：①Levinson递推算法；②Burg递推算法；③正反向线性预测最小二乘算法。以随机过程的参数模型为基础2经典谱估计自相关函数的估计

周期图作为功率谱的估计平滑后的周期图作为PSD的估计2.1自相关函数的估计

设观察到N个样本序列的值{x(n)}

:x(0),x(1)…x(N-1)，现要由此N个数据来估计自相关函数：当时，属于无偏估计。估计质量2.1自相关函数的估计偏倚自相关函数的真值2.1自相关函数的估计估计质量可推出：方差2.1自相关函数的估计估计质量当时满足一致估计的条件方差2.1自相关函数的估计当时不能得到有用的估计。此时按下式估计

同时均值等于真值用三角窗函数加权

2.1自相关函数的估计的偏差和方差为但时为一致估计

有偏非零同时可以证明2.1自相关函数的估计今后我们还是用作为自相关函数的估计，并仍用表示

通过将自相关函数的估计进行傅氏变换求得功率谱估计的方法即为BTPSD法。2.2周期图法进行谱估计求出信号的自相关函数，再求出信号的功率谱密度。

Blackman和Tukey对信号进行加窗处理得x(n)，再进行离散傅立叶变换得X(ejω)，再求模的平方得功率谱密度。周期图法2.2周期图法进行谱估计如前所述其中2.2周期图法进行谱估计——周期性的——周期图优点：可利用FFT，计算方便，效率高如果我们观察到x(n)的N个值：可以通过FFT直接求得2.2周期图法进行谱估计估计质量——讨论其偏倚和方差周期图的期望值令称为Bartlett窗函数，即其傅氏变换为当时2.2周期图法进行谱估计估计质量——讨论其偏倚和方差自相关函数的真值将上式与式代入式，并求其傅氏变换，得则周期图的偏倚为：有偏无偏2.2周期图法进行谱估计估计质量——讨论其偏差和方差周期图的方差：假设序列x(n)是一个实、白色、零均值过程的样本，具有高斯概率分布函数。经推导可得出：周期图的方差：当时不满足一致估计的条件。为了使周期图作为功率谱估计满足一致估计的条件，必须将周期图进行平滑(或平均)处理。2.2周期图法进行谱估计估计质量——讨论其偏差和方差如果以及2.2周期图法进行谱估计周期图的协方差：(k和l为整数)则上式成为以的整倍数为频率间距的周期图的值是不相关的2.2周期图法进行谱估计估计质量——偏差和方差虽然本节推导的结果是以假设高斯概率密度为根据的，但其定性结果在一个相当宽广的范围内成立。小结2.3平滑后的周期图作为PSD的估计目的：使方差减小，得到一致的谱估计。方法：窗口处理法：选择适当的窗口函数作为加权函数进行加权平均来加快收敛速度。

平均周期图的方法：先将数据分段，再求各段周期图的平均值。又称Bartlett方法。

2.3.1Bartlett平均周期图法为什么周期图经过某种平均(或平滑)后会使它的方差当时趋于零，达到一致估计的目的?

如果是不相关的随机变量，每一个具有期望值,方差

。则可以证明它们的数学平均的期望值等于,方差等于当时可达到一致谱估计的目的降低估计量的方差的一种有效方法是将若干个独立估计值进行平均.2.3.1Bartlett平均周期图法基本思想

将序列分段求周期图再平均。

设将x(n)分成L段，每段有M个样本，因而N=LM第i段样本序列可写成第i段的周期图为 如果很小,则可假定各段的周期图是互相独立的。故谱估计可定义为L段周期图的平均，即

期望值将式和代入上式可得估计质量

2.3.1Bartlett平均周期图法结论：Bartlett估计的期望值是真实谱与三角窗函数的卷积。故也是有偏估计。但当时，但当时，2.3.1Bartlett平均周期图法估计质量

方差Bartlett估计是一致估计。Bartlett法使谱估计的方差减小是用增加Bias以及降低谱分辨率的代价换来的。实质

比较两式差别：后者将前者WB中的N改为M，因而使主瓣的宽度增大周期图平滑后的周期图作为功率谱的估计值由于主瓣的宽度愈窄愈接近δ函数，则偏差愈小。故而