第十四章十五章排列与组合,概率、统计初步1009

第十四章两个基本原理一、分类计数原理二、分步计数原理做一件事，完成它有n类方法，第一类有种不同的方法，第二类有种不同的办法……，第n类有种不同的方法，那么完成这件事共有不同的方法的种数为：

做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的办法……，第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有不同的方法的种数为：

排

列从个不同的元素中,任取个,按照一定的顺序排成一列,称为从个不同的元素中任意取出个元素的一个排列。从个不同的元素取出个元素的所有排列的个数，称为从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示（或记为）连乘形式阶乘形式全排列数公式思考从四个字母中,四个字母都参与排列的排列数为多少种？列举如下：排列数是24，排列的过程可用以下的步骤完成:第一步，从

中任选一个排在最前面，共有4种不同的选法；第二步，从第一步选剩的3个字母中任选一个排在第二位，共有3种不同的选法；第三步，从第一步、第二步选剩的2个字母中任选一个排在第三位，共有2种不同的选法；第四步，经过第一步、第二步、第三步的选排，剩下的字母只有一个，共有1种选法。根据分步计数原理，排列数为在数字0,1,2,3中,可以组成多少个没有重复的三位数?

排在第一位的可以是1,2,3中的任一个数字,因此第一步骤有三种选择;排在第二位的可以是0和1,2,3中除已占据第一位的数字外的任何一个数字,因此第二步骤有三种选择;排在末位的可以是0和1,2,3中除已占据第一、二位的数字外的任何一个数字,因此第三步骤有二种选择。根据分步计数原理，得数字0,1,2,3中,可以组成没有重复的三位数排列数为：解一按分步计数法确定排列数课堂练习在数字0,1,2,3中,可以组成多少个没有重复的三位数?解二

按分类计数法确定排列数第一类：0不参与首位排列，1,2,3三个数字排在百位、十位、个位的排列数是第二类：0排在十位，1,2,3三个数字中任选二个数字分别排在首位、个位的排列数是第二类：0排在个位，1,2,3三个数字中任选二个数字分别排在首位、十位的排列数是根据分类计数原理，得数字0,1,2,3中,可以组成没有重复的三位数排列数为：课堂练习组

合

从个不同的元素中,任取个元素并成一组,称为从个不同的元素中任意取出个元素的一个组合。从个不同的元素取出个元素的所有组合的个数，称为从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示思考从四个字母中,任取两个字母进行组合的组合数为多少种？从

四个字母中,任取二个字母进行组合的组合数为如下：性质排列组合与顺序无关与顺序有关区别排列与组合的性质及其比较课堂练习在20件产品中，有2件次品，其余是合格品，从中任取3件进行质量检验，问：(1)3件都是合格品，有多少种取法?(2)3件中恰有一件次品，有多少种取法?(1)3件都是合格品的取法就是从18件正品中任取3件，故共有(2)先从2件次品中取出一件次品有种取法，再从18件合格品中任取2件的取法有种。由分布计数原理得恰有一件是次品的取法共有（种）（种）第十五章概率、统计初步

一、随机事件及其概率1.随机事件、必然事件、不可能事件2.随机事件的概率在一定条件下可能发生,也可能不发生的的事件叫做随机事件；在一定条件下必然发生的事件叫做必然事件；在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件。例如：抛下一枚硬币，正面朝上。在大量重复进行同一次试验时，事件A发生的频率（其中，n为试验的次数，m为事件A发生的次数）总接近于某个常数，在它附近摆动，则称这个常数是事件A的概率，记作P(A),并且此时必然事件A的概率是1，不可能事件的概率是0。频率：在确定的条件下，在n次试验中，如果事件A发生了m次，我们把叫做事件A发生的频率。如果把骰子落地时向上的面是1这一事件叫做A，则在一次抛掷中，A的概率是二、等可能事件及其概率基本事件每个基本事件的概率一次试验中，可能出现的每一个结果称为一个基本事件。如果一次试验中，由n个基本事件组成，且所有基本事件出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率均为。一般地，如果一次试验中共有n种可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率P(A)是，即

如抛掷一个骰子，它落地时向上的面可能的情形是1，2，3，4，5，6中之一，那么，骰子落地时向上的面是1、是2、是3、是4、是5、是6这些事件可看作是等可能事件。如果把骰子落地时向上的面是2的整数倍数这一事件叫做A，则在一次抛掷中，A的概率是课堂练习一暗箱中有大小相等的8个白球和2个黑球，每次摸出2个球，从中摸出二个黑球的概率是多少？解

每次从暗箱中2个球，共有种摸法；每次摸出二个黑球，共有种摸法。把每次摸球及其结果都看作是一事件，则它们是等可能事件。把摸出黑球看用是事件A，A的概率是

三、互斥事件及其概率1.互斥事件3.对立事件及其概率不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件。设事件A、B互斥，把A、B中有一个发生的事件记为A+B，则有如果互斥事件A、B中必有一个发生，那么就称A、B为对立事件。事件A的对立事件为，2.互斥事件的概率加法公式如果彼此互斥，那么事件发生（即中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即如抛掷硬币,正面向上和背面向上是互斥事件。课堂练习在20件产品中，有15件是一级品，5件是二级品。从中任抽三件，求其中至少有一件为二级品的概率。

设三件全是一级品为事件A，三件中至少有一件为二级品为事件A的对立事件事件A的概率是:事件A的对立事件

的概率是:四、相互独立事件同时发生的概率事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，则它们是相互独立事件。相互独立事件的概率乘法公式：若A,B是相互独立事件，它们同时发生的概率记作，那么一般地，若事件相互独立，它们同时发生的概率一般地说，

相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.课堂练习甲、乙两人各参加一项不同的竞赛，进入前8名的概率都是0.6，求下列概率(1)两人都进入前8名；(2)两人中恰有一人进入前8名；(3)两人中至少有一人进入前8名.设甲进入前8名的为事件A，概率为乙进入前8名的为事件B，概率为（1）两人中恰有一人进入前8名，就是“甲进入而乙未进入”或“乙进入而甲未进入”它们是互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求概率是（2）（3）

两人都未进入前8名的概率是，至少有一人进入前8名的概率是

五、独立重复试验若在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率

例如抛掷一枚硬币三次，恰有一枚硬币正面朝上的概率是多少？已知一次抛掷中硬币正面朝上的概率为抛掷次数硬币恰好正面朝上的次数依公式,所求概率是六、统计初步总体与样本

样本平均数样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。叫做这组数据的样本方差，记作在统计中，所要考察的对象的全体叫做总体，其中的每一个被考察的对象称为个体，从全体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。

样本方差

在一组数据中，若其平均数为，那么已知一组数据9.9，10.3，9.8，10.1，10.4，10，9.8，9.7，计算这组数据的方差。课堂练习考点探究16.从5位同学中任意选出3位参加公益活动，不同的选法共有A.C.B.D.【】B5种20种15种10种2012成考题考点探究17.将3枚均匀的硬币各抛掷一次，恰有2枚正面朝上的概率为A.C.B.D.【】C2012成考题2013成人高考数学总复习集合与简易逻辑（考纲要求）1．了解集合的意义及其表示方法，了解空集、全集、子集、交集、并集、补集的概念及其表示方法，了解符号

的含义，并能运用这些符号表示集合与集合、元素与集合的关系。

2．了解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念。近五年知识考查情况函数（考纲要求）1．了解函数的概念，会求一些常见函数的定义域。2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，会判断一些常见函数的单调性和奇偶性。3．理解一次函数、反比例函数的概念，掌握它们的图像和性质，会求他们的解析式。4．理解二次函数的概念，掌握它们的图像和性质以及函数与

的图像间的关系；会求二次函数的解析式及最大值或最小值。能运用二次函数的知识解决有关问题。理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质。掌握指数函数的概念、图像和性质，理解对数的概念，掌握对数的运算性质。掌握对数函数的概念、图像和性质。近五年知识考查情况不等式和不等式组（考纲要求）了解不等式的性质，会解一元一次不等式、一元一次不等式组和可化为一元一次不等式组的不等式，会解一元二次不等式。会表示不等式组或不等式组的解集。会解形如

和的绝对值不等式。近五年知识考查情况数列（考纲要求）1．了解数列及其通项、前n项和的概念。2．理解等差数列、等差中项的概念，会（灵活）运用等差数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题。3．理解等比数列、等比中项的概念，会（灵活）运用等比数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题。近五年知识考查情况导数（考纲要求）1．理解导数的概念及几何意义。2．掌握函数

（c为常数）,

的导数公式，会求多项式函数的导数。3.了解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。4.会求有关曲线的切线方程，会用导数求简单实际问题的最大值与最小值。近五年知识考查情况三角函数（考纲要求）之一一．三角函数及有关概念1．了解任意角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念。2．了解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算。3．理解任意角三角函数的概念，了解三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值。二、三角函数式的变换1．掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式，会运用它们进行计算、化简和证明。2．掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，会运用它们进行计算、化简、和证明。三角函数（考纲要求）之二三、三角函数的图像和性质1．掌握正弦函数、余弦函数的图像和性质，会运用这两个函数的性质（定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性）解决有关问题。2．了解正切函数的图像和性质。3．会求函数的周期、最大值和最小值。4．会由已知三角函数值求角，并会用符号表示。四、解三角形1．掌握直角三角形的边角关系，会用它们解直角三角形。2．掌握正弦定理和余弦定理，会运用它们解斜三角形。近五年知识考查情况平面向量（考纲要求）一、平面向量1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2．掌握向量的加、减运算；掌握数乘向量的运算；了解两个向量共线的条件。3．了解平面向量的分解定理。4．掌握向量的数量积运算，了解其几何意义和在处理长度、角度及垂直问题的应用；了解向量垂直的条件。5．了解向量的直角坐标的概念，掌握向量的坐标运算。6．掌握平面内两点间的距离公式、线段的中点公式和平移公式近五年知识考查情况直线（考纲要求）1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求直线的斜率。2．会求直线方程，会（灵活）应用直线方程解决有关问题。3．了解（掌握）平行与垂直的条件以及点到直线的距离公式，会应用它们解决简单的问题。近五年知识考查情况圆锥曲线（考纲要求）1．了解曲线和方程的关系，会求两条曲线的交点。2．掌握圆的标准方程和一般方程以及直线和圆的位置关系，能灵活运用它们解决有关问题。3．理解椭圆、双曲线、抛物线的概念，掌握它们的标准方程和性质，会应用它们