第十讲：函数逼近

第五章函数逼近

/*Approximation*/用函数集合V(x)中的简单函数g(x)来近似代替一个复杂的已知函数或一个仅知道有限个函数值的函数f(x)，这就是函数逼近。g(x)称为逼近函数，f(x)称为被逼近函数。近似一般有两种衡量标准:(a)均匀逼近或一致逼近;(b)平方逼近或均方逼近.一般情况下，V(x)是已知连续函数或多项式（代数多项式或三角多项式）或有理分式函数等。本章V(x)仅限于代数多项式。§5.1内积与正交多项式/InnerProduct&OrthogonalPolynomial/1.权函数/*WeightingFunction*/设函数是区间[a,b]上非负函数，如果满足：1）存在，2）对[a,b]上非负连续函数g(x)，若则必有当时，则称为[a,b]上的权函数。2.内积/*InnerProduct*/离散情形：连续情形：3.正交性

/*Orthogonality*/内积具有如下性质：(4)若时，。(1)；(3)；(2)对任意实数有；若，则称与正交。离散情形：函数系，若有则正交；若,则称为标准正交系。连续情形：函数系，若有则正交；若,则称为标准正交系。若函数系中为的i次多项式函数时，则称此函数系为正交多项式系,记为4.范数

/*Norm*/离散情形：连续情形：n次正交多项式系：，其中为的不超过i次的多项式。范数具有如下性质：(2)对任意实数有；(3)；(1)当时，，证明:(1)(2)的证明显然，下面仅给出（3）的证明。因为而所以Cauchy-Schwarz不等式定理2线性无关函数组所确定的Gram矩阵是实对称矩阵。5.正交多项式的性性质1（线性无关性）正交多项式系中任意m个函数线性无关（非负整数互不相同）。正交函数系线性无关的性质：定理1函数系中函数线性无关的充要条件为Gram矩阵非奇异，即。性质2表示所有次数不超过n次的代数多项式集合，则正交多项式函数是的一组基，且对任何，有性质3正交多项式系中的在区间(a,b)内有n个互不相同的根。性质4正交多项式系中任何相邻三项之间有如下关系其中§5.2常见正交多项式系/FamousOrthogonalPolynomial/2.切比雪夫多项式系/*ChebyshevPolynomials*/1.勒让德多项式系/*LegendrePolynomials*/3.拉盖尔多项式系/*LaguerrePolynomials*/4.埃尔米特多项式系/*Hermite

Polynomials*/5.第二类切比雪夫多项式系/*SecondChebyshev

Polynomials*/§5.4最佳平方逼近

/BestSquareApproximation/n次最佳平方逼近多项式

连续情形：

离散情形：

1.最佳平方逼近的概念/*ConceptofBestSquareApproximation*/n＋１维线性空间生成（或张成）线性空间在连续情形下，最佳平方逼近函数的求法

内，求系数，使得多元函数在生成（或张成）线性空间取得极小值。由可得利用内积符号可得则有方程：即就是有正规方程组或法方程组：由于线性无关，可得系数。例求函数在区间[0，1]上关于并且在中的最佳平方逼近。解已知，，设所求多项式为

则有从而法方程组为解得故2.正交多项式作基函数的最佳平方逼近

/*ConceptofBestSquareApproximation*/设为线性空间的一组正交基，即关于权函数有此时正规方程组的系数矩阵变为对角矩阵从而容易求出最佳平方逼近函数为§5.5曲线拟合的最小二乘法

/BestSquareApproximation/1.曲线拟合问题及其求解

/*ConceptofBestSquareApproximation*/n次最佳平方逼近多项式

连续情形：

离散情形：

n＋１维线性空间生成（或张成）线性空间曲线拟合的最小二乘解问题实际上就是函数最佳平方逼近的离散化情形。

离散情形的内积定义为：

求，使得

由多元函数取得极值的必要条件可知：

写成矩阵的形式为：

采用内积的记号有：

此方程组为法方程组或正规方程组。例已知观