高等结构力学 海大课件

§2.3阻尼对振动的影响具有阻尼的单自由度体系的振动模型如图(a)所示。k11m图(a)Fp(t)CI(t)Fp(t)mS(t)R(t)对隔离体列动力平衡方程得(2-18)这就是单自由度体系有阻尼运动(微分)方程。体系的阻尼特性用阻尼减振器表示。阻尼系数为C，取质量m为隔离体，静平衡位置为位移计算起点，y方向向下。作用质量m上的力有2.3.1有阻尼的自由振动在(2-18)式中令干扰力Fp(t)=0，即得考虑粘滞阻尼作用时单自由度体系自由振动的运动方程为(2-19)令：则上式可改写为

这是一个齐次的常系数线性常微分方程，其解的形式为y=ert，代入上式得特征方程为解之得于是(2-20)式的通解为(2-20)k11mC其具体的表达形式取决于特征值的根式内的具体结果。讨论如下(a)当<1(即弱阻尼情况)

此时r1和r2为两个共轭的复根利用殴拉公式解可以写成设初始条件为y(0)=y0，，可得则(2-21)改写成单项的形式为(2-22)由(2-22)式可以看出，弱阻尼的自由振动是一种衰减振动，虽然它不是严格意义的周期运动，但质点在相邻两次通过静平衡位置时的时间间隔是相等的把这种振动称为衰减性周期振动;y0v0ty图(b)若用An表示时刻tn的振幅，An+1表示经过了一个周期T´后的振幅，则有阻尼的自由振动的yt曲线如图(b)所示。y0v0ty图(b)上式说明，相隔一个周期后的两个振幅之比为常数，即振幅是按等比级数衰减的。在有阻尼的振动问题中，是一个非常重要的参数，称为阻尼比，工程中常根据上式来确定阻尼比。对上式两边取对数得(2-23)称为对数递减率(b)=1此时r1和r2为两个相等的实根(2-20)式的解为(2-20)(2-24)其yt曲线如图(c)所示。ty0v0y图(c)(2-24)式表明，体系从初始位置出发，逐步返回到静平衡位置，无振动发生。这是因为阻尼作用较大，体系受干扰偏离平衡位置所积蓄的初始能量，在恢复到平衡位置的过程中全部消耗于克服阻尼的影响，没有多余的能量来引起振动。这种情况称为临界阻尼。此时的阻尼系数称为临界阻尼系数，用ccr表示。(c)﹥1此时r1和r2为两个不等的负根(2-20)式的解可以写成为(2-25)其yt曲线如图(c)类似。它也无振动发生。这种情况称为强阻尼或过度阻尼。在实际工程中很小遇到这种情况，故不再进一步讨论。（2-20）ty0v0y图(c)例2.8

图示门架为一单层建筑的计算简图。设横梁的EI=，EA=，房盖系统和横梁的重量及立柱部分质量可以认为集中于横梁上。设总重量为W，为了确定水平振动时门架的动力特征，进行以下振动实验：在横梁加一水平力Fp=98kN，门架的侧移y0=0.5cm，然后突然释放，使结构作自由振动，并测得一个周期后横梁摆回侧移为y1=0.4cm，周期为T´=1.5s。求门架水平振动的阻尼系数C及5周后的振幅。解分析：求阻尼系数

C

EI=∞EA=∞m例2.8图属于弱阻尼情况，故可取T=T'=1.5s则阻尼系数为在横梁加一水平力Fp=98kN，门架的侧移y0=0.5cm2.3.2有阻尼的受迫振动

有阻尼体系（设<1）在一般动力荷载Fp(t)作用下，其动力位移也可表示为杜哈梅积分。由（2-21）式知，单独由初始速度v0(y0=0)引起的振动为利用上式，象无阻尼情况一样，可以导出瞬时冲量dS=Fp(t)d

t

引起的动力响应为把一般动力荷载的加载过程看成为无穷多个瞬时冲量组成的，则对于t=

到t=+d的时间段上冲量dS=Fp()d来说，它所引起的动力响应为（2-21）tFp(t)t图(b)dS=Fp()dd则当初始条件全为零时，一般动力荷载Fp(t)所引起的动力响应为(2-26)下面讨论当初始条件全为零时，简谐荷载Fp(t)所引起的动力响应。将上式代入（2-26）式得积分可得上式说明，振动由两部分组成第一部分振动的频率与干扰力的频率一致第二部分振动的频率则与体系的衰减振动圆频率'一致。由于阻尼的作用，频率为’的那一部分振动（称为伴生自由振动）因含有衰减因子e-t，将因衰减而很快消失。最后只剩下频率为的那一部分振动(称为稳态受迫振动)下面讨论稳态受迫振动的一些性质。由(2-27)式知，稳态受迫振动的方程为将其表示为单项的形式为(2-28)式中(2-29)则振幅A又可改写为

(2-30)(2-27)(2-30)由上式可知，动力系数不仅与频比有关，而且与阻尼比有关。下图给出了不同的值时曲线。4.03.02.01.00.51.01.52.0=1=0.5=0.2=0由图可以看出(1)当<<1(<<)时，1这表明当体系的干扰力频率远小于体系的自振频率时体系的振动的很慢，可近似地将Fpsint作为静力荷载来计算。4.03.02.01.00.51.01.52.0=1=0.5=0.2=0(2)当>>1(>>)时，0这表明当体系的干扰力频率远大于体系的自振频率时，体系振动的很快，且质量m接近于不动或在静平衡位置附近做幅度微小的高频振动。(3)当1()时，则很大这时阻尼比

对的影响很大。在0.75<<1.25（习惯上称为共振区）的范围内，阻尼力显著地减小了受迫振动的位移，但在此范围以外的区域，阻尼力的影响较小，可近似地按无阻尼计算。4.03.02.01.00.51.01.52.0=1=0.5=0.2=0(4)的最大值并不发生在=1处。利用求极值的方法，不难求得，当时的取得最大值。但因阻尼比很小，在工程计算时，仍近似地将=1时的值作为最大值，并称此时的振动为共振。此时的动力系数为(2-31)(5)

此外，由(2-28)式知，动力响应为干扰力Fp(t)不同步。其相位差为(2-28)当<1时，0<</2

当>1时，/2<<

当=1时，

=/2

也就是说，只要有阻尼的存在，位移总是滞后于振动荷载。共振时，将=/2代入动力响应方程可得可知共振时惯性力与弹性恢复力相互平衡。注意到共振(=1)时，。则阻尼力为这说明，共振时干扰力与阻尼力相互平衡，故运动呈稳态，而在无阻尼受迫振动时，因无此阻尼项与干扰力相平衡，故出现位移与内力无限增大现象。例2.9

如图示结构当初始条件为零时，求地面水平运动引起的动力反应。解地面在水平方向若发生运动,体系将产生受迫振动。如地震或临近的动力设备对结构的影响都属于该类问题。如题2.9图所示单自由度体系，在质量m上并没有直接作用动力荷载。设地面的水平运动为yg(t)，于是质量m发生了相对地面的位移y(t)，在任一时刻t，质量m的绝对位移为