弹性波的相互作用

弹性波的相互作用1第一页，共七十三页，2022年，8月28日碰撞面上应力和速度相等,质点速度相同(连续条件),应力相同(作用力与反作用力互等条件)(1)和(2)解出撞击后杆中质点的速度和应力:第三章弹性波的相互作用2第二页，共七十三页，2022年，8月28日讨论:1)若两杆波阻抗相同,

若波阻抗相同,且则第三章弹性波的相互作用3第三页，共七十三页，2022年，8月28日2)若相当于刚性杆对弹性杆的撞击.则第三章弹性波的相互作用相当于杆L2撞击刚壁.4第四页，共七十三页，2022年，8月28日3.2两弹性波的相互作用研究对象:静止的自然状态的弹性杆,左右两端突加载荷v2和v1.

分析:从杆的左端产生右行拉伸波;杆的右端产生左行拉伸波.第三章弹性波的相互作用5第五页，共七十三页，2022年，8月28日一次波：左行波过后,即跨过特征线LA,使杆处于状态,1区:

右行波过后,跨过特征线OA,杆处于状态,2区:第三章弹性波的相互作用6第六页，共七十三页，2022年，8月28日两波相遇:右端杆速度,左端杆速度,两波相遇相当于两弹性杆共轴撞击的情况.有时也称为内撞击.二次波:从一次波相遇处,分别向杆的两端传播内反射波,右行二次波AB和AD.AD左行波经过后,状态从

AB右行波经过后,状态从第三章弹性波的相互作用7第七页，共七十三页，2022年，8月28日在界面处有应力相等,速度相等.叠加原理:弹性波相互作用时,其结果可由两作用波分别单独传播时的结果叠加(代数和).弹性波的控制方程是线性的,因此,叠加原理必定成立.两弹性波相互作用后杆中质点速度和应力为第三章弹性波的相互作用8第八页，共七十三页，2022年，8月28日3.3弹性波在固定端和自由端的反射反射波:反射扰动.杆中传播的应力波到达杆的另一端时,将发生波的反射.与边界条件有关.弹性波入射波与反射波的总效果可按叠加原理确定.1)固定端的反射第三章弹性波的相互作用问题:一初始自然状态的细长杆,在t=0时刻右端受强冲击突加载荷作用,杆的左端固定,讨论该杆中波的传播问题.9第九页，共七十三页，2022年，8月28日左行入射波后1区状态:时刻,入射波达到固定端,在固定端反射后3区状态:由于固定端边条件,使得反射波后质点运动速度为零,即,得结论:在固定端截面上,入射波与反射波相遇界面处质点速度为零,应力加倍.第三章弹性波的相互作用310第十页，共七十三页，2022年，8月28日法向入射弹性波在固定端反射时,可把端面想象为一面镜子,反射波恰好是入射波的正像.两波相互作用后,质点速度为零为应力加倍.若在中令则得:入射波反射波11第十一页，共七十三页，2022年，8月28日2)自由端的反射问题:一初始自然状态的细长杆,在t=0时刻右端受强冲击突加载荷作用,杆的左端为自由端,讨论该杆中波的传播问题.分析:左行拉伸入射波阵面后,1区状态:在时入射波到达杆左端自由面,反射波过后2区的状态:结论:在自由端边界上,入射和反射波相遇界面处,应力为零而质点速度加倍.12第十二页，共七十三页，2022年，8月28日2)自由端的反射令则满足自由端反射的应力边条件,对于法向入射波在自由端反射时,可把端面想像成一面镜子,反射波恰好是入射波的倒像.第三章弹性波的相互作用入射波发射波13第十三页，共七十三页，2022年，8月28日3.4有限长杆的共轴撞击前面讨论的是无限长杆中应力波的传播,不考虑波在端面处的反射问题.本节讨论有限长杆中应力波的传播.例:杆B2长为L2,速度,杆B1长为L1,,且L2<L1.两杆无初应力和应变.讨论短杆撞击长杆的问题.分析:在短杆中传播的弹性波首先在自由端反射,当时,该右行反射波回到撞击接触面.此后情况与两杆波阻抗比值相关.第三章弹性波的相互作用B2B114第十四页，共七十三页，2022年，8月28日(1)从短杆自由面反射的右行卸载波将如同在同一杆中传播一样无反射地通过撞击接触面.两杆的波速可以不同.第三章弹性波的相互作用15第十五页，共七十三页，2022年，8月28日0区:2区:3区:4区:第三章弹性波的相互作用16第十六页，共七十三页，2022年，8月28日当时,B2杆中左行加载波到达自由面,反射的卸载波在B2杆中传播,使杆中的状态卸载到时,该卸载波达到两杆接触面,使碰撞面处的应力和速度卸载到,碰撞结束.卸载波继续在长杆B1中传播.5区状态:第三章弹性波的相互作用17第十七页，共七十三页，2022年，8月28日应力脉冲的宽度为:若，，即B1杆中所传播的矩形应力脉冲长度是B2杆长度的两倍，此时若改变B2杆的长度就可以获得不同脉冲长度的应力脉冲.第三章弹性波的相互作用卸载波后,B1长杆中状态为应力为零,质点速度为零.由上述分析可知,在长杆中一由加载强间断波阵面和卸载强间断波阵面组成的一应力脉冲.18第十八页，共七十三页，2022年，8月28日若满足,则两杆撞击产生的一次弹性波将同时到达两杆的自由端,反射后的卸载波又同时回到接触面处.撞击结束时间:杆B2的状态:杆B1的状态:第三章弹性波的相互作用19第十九页，共七十三页，2022年，8月28日(2)软杆-硬杆3区：

4区：

或直接可写出解值20第二十页，共七十三页，2022年，8月28日5区状态:第三章弹性波的相互作用21第二十一页，共七十三页，2022年，8月28日第三章弹性波的相互作用短杆中的左行入射波在自由端反射后,应力降为零,质点速度变为负值.反射波后质点速度扰动幅值与入射波的质点速度扰动幅值关系

时,短杆状态:长杆接触面处:短杆以v4速度回弹而脱离接触,撞击到此结束.长杆中有一应力脉冲,其长度22第二十二页，共七十三页，2022年，8月28日第三章弹性波的相互作用若满足,则两杆撞击产生的一次弹性波将同时到达两杆的自由端,反射后的卸载波又同时回到接触面处.时,短杆将整体以速度v4弹回,而长杆以速度2v3飞出.23第二十三页，共七十三页，2022年，8月28日(3)

硬杆-软杆

3区状态:4区状态:第三章弹性波的相互作用24第二十四页，共七十三页，2022年，8月28日短杆中的左行一次入射波在自由端反射后,应力降为零,质点速度也降低,但仍为正值.

短杆的状态:长杆接触面处:二次撞击:5,7;长杆自由端反射的卸载波回到撞击接触面之前,撞击将继续而不会结束,但撞击产生的入射波幅值在降低.第三章弹性波的相互作用25第二十五页，共七十三页，2022年，8月28日5区状态:6区状态:26第二十六页，共七十三页，2022年，8月28日若满足,则两杆撞击产生的一次弹性波将同时到达两杆的自由端,反射后的卸载波又同时回到接触面处.撞击结束时间:短杆状态:整体以速度v4运动长杆:整体以更大的速度2v3飞出.短杆的部分动量和动能转移给长杆.第三章弹性波的相互作用27第二十七页，共七十三页，2022年，8月28日

若,相当于刚体对弹性杆的撞击.若不计长杆中另一端反射波的作用,则根据撞击接触面处质点速度相等和应力相等的条件,对弹性杆和刚体分别有可得式中,初始撞击速度,代表t时刻杆中弹性波通过的杆的质量.上式表面,质点速度剖面为一强间断前沿及随后的呈指数衰减的波尾.第三章弹性波的相互作用28第二十八页，共七十三页，2022年，8月28日例:三个完全相同的弹性杆.初始B1,B2杆静止,B3速度v0<0.第三章弹性波的相互作用分析三杆的中的状态及脱离时间.29第二十九页，共七十三页，2022年，8月28日2区：

3区：4区：第三章弹性波的相互作用30第三十页，共七十三页，2022年，8月28日1)B3杆从时刻开始杆中质点速度和应力由右端逐渐变为0，到时刻杆中整体处于自然静止状态。2)B2杆从时刻开始杆中质点速度和应力由右端逐渐变为0，到时刻杆中整体处于自然静止状态，且在时刻B3杆和B2杆的碰撞结束但仍保持接触。31第三十一页，共七十三页，2022年，8月28日3)B1杆从时刻开始从左端开始杆中应力变为0，而质点速度逐渐变为v0，到时刻B1杆中各处的质点速度均变为v0，且在这个时刻B1杆与B2杆的碰撞结束且脱离，B1杆以B3杆的初始碰撞速度v0向左飞离。B3杆的动能通过B2杆全部传递给B1杆。32第三十二页，共七十三页，2022年，8月28日例:相同材料的弹性杆的共轴撞击如图示,分析杆中应力波的传播,并求撞击结束时间及结束后各杆的状态.第三章弹性波的相互作用B1B2B333第三十三页，共七十三页，2022年，8月28日撞击结束时间,撞击结束后,B2,B3杆应力为零,质点速度为零;B1杆内应力为零,整体速度为向右运动.34第三十四页，共七十三页，2022年，8月28日第三章弹性波的相互作用3.5两弹性波在不同界面上的反射和透射弹性波从一种介质传播到另一种声阻抗不同的介质时,在界面上会发生波的反射和透射.两种介质在界面处保持接触(能承受压力也能承受拉力且不分离),界面两侧质扰动引起的质点的速度和应力相等:(1)(2)介质1介质235第三十五页，共七十三页，2022年，8月28日代入(1)(3)入射波透射波反射波:(2)(3)联立可解出声阻抗系数反射系数透射系数第三章弹性波的相互作用36第三十六页，共七十三页，2022年，8月28日可求解出所对应各区的解如下：1区：v1，2区：0介质1介质237第三十七页，共七十三页，2022年，8月28日波阵面上满足守恒条件:同样可解出:38第三十八页，共七十三页，2022年，8月28日第三章弹性波的相互作用分析讨论:即(a),反射波与入射波同号,即反射加载;(b)同时,透射扰动强于入射扰动.即应力波由”软”材料传入到”硬”材料中的情况.

1)介质1介质239第三十九页，共七十三页，2022年，8月28日(c)40第四十页，共七十三页，2022年，8月28日例:已知（或），当(ρ0C0)2→∞时，界面处的应力和质点速度为多少？解:图中的2区或者相当于弹性波在刚壁(固定端)的反射.41第四十一页，共七十三页，2022年，8月28日

2),则,反射的应力扰动和入射扰动异号,反射卸载;透射扰动从应力幅值上弱于入射扰动.应力波从“硬”材料传入到“软”材料,软垫可起缓冲作用。第三章弹性波的相互作用IRT42第四十二页，共七十三页，2022年，8月28日

若,则,可得即43第四十三页，共七十三页，2022年，8月28日或:入射波和反射波作用后,质点速度和应力分别为:

质点应力为零,速度为入射扰动引起的速度的2倍;相当于弹性波在自由面的反射.例:已知（或），当(ρ0C0)2→0时，界面处的应力和质点速度为多少？解:2区，44第四十四页，共七十三页，2022年，8月28日3)波阻抗相同弹性波在两种介质的界面不发生发射,称为阻抗匹配.一些实验测量中需要波阻抗匹配的问题.第三章弹性波的相互作用45第四十五页，共七十三页，2022年，8月28日例:防护问题

当应力波从材料A透射进入材料B时,则透射应力与入射应力之间、透射质点速度与入射质点速度之间,分别有如下关系：

爆炸强冲击波是破坏结构的重要手段之一。曾有人提出利用泡沫塑料等软材料来防护爆炸波对结构的破坏作用,然而实践结果却事与愿违。例如:为防止炮弹发射时产生的爆炸波致伤,曾让炮手穿上泡沫塑料背心,但实际致伤程度反而更加严重;在实施切割爆炸时,为防止冲击波对临近的特种装置产生冲击破坏作用,曾尝试将泡沫材料覆盖在钢制特种装置上,结果钢制特种装置上测到的冲击波幅值反而意外地升高了。第三章弹性波的相互作用46第四十六页，共七十三页，2022年，8月28日人,空气,防护材料的波阻抗分别为:若不穿防护背心时,空气中传播的冲击波直接伤害人体时的透射波强度为穿防护背心时第三章弹性波的相互作用47第四十七页，共七十三页，2022年，8月28日

为使防护背心能削弱空气中冲击波对人体的危害作用,两种情况下的透射因数的比值应小于1,即或由已知条件可得:即防护层的波阻抗应比人体的波阻抗大,才能起到防护作用.第三章弹性波的相互作用48第四十八页，共七十三页，2022年，8月28日冲击波在,空气,人，防护材料中的透射.第三章弹性波的相互作用49第四十九页，共七十三页，2022年，8月28日3.6弹性波在变截面杆中的反射和透射界面两侧总的作用力相等,速度相等.第三章弹性波的相互作用50第五十页，共七十三页，2022年，8月28日声阻抗系数反射系数透射系数联立求解得:讨论:1)同种材料的阶梯状杆中,引入,透射波和入射波总是同号;若即时,反射加载.透射波弱于入射波.若即时,反射卸载.透射波强于入射波.第三章弹性波的相互作用51第五十一页，共七十三页，2022年，8月28日第三章弹性波的相互作用例.如图示锥形杆，A段为等截面半无限长，B-F段长度均为l，A-F段直径比为6:5:4:3:2:1，面积比为36:25:16:9:4:1，设单位强度的压缩脉冲由锥底A段向锥顶右行传播，T=l/C0，求t≤7T锥形杆各变截面处应力增量的分布，并画出t=3T，5T，7T时刻的[σ]-X图。52第五十二页，共七十三页，2022年，8月28日[分析]：设AI为入射波和反射波所对应杆的截面积，AT为透射波对应杆的截面积。（1）当压缩波从A段向右传播时，每通过一个变截面处（此时大截面→小截面，AT＞AI），透射波为增强的右传压缩波（因为），同时反射回左传的拉伸波（因为）。

53第五十三页，共七十三页，2022年，8月28日（2）反射的左行拉伸波在变截面处（小截面→大截面，AI＜AT）产生左行透射波，为减弱的左传拉伸波，同时反射右传拉伸波（因为，）。第三章弹性波的相互作用54第五十四页，共七十三页，2022年，8月28日1）和2）叠加的效果为：a）随着压缩脉冲向锥顶（右）传播，脉冲头部压缩区应力幅值逐渐增大；b）杆中拉伸区逐渐增长，幅值逐渐增大；c）当杆中靠近锥顶某处的拉应力达到材料的抗拉极限，锥顶部分将会产生断裂并飞离。第三章弹性波的相互作用55第五十五页，共七十三页，2022年，8月28日反射系数透射系数初始入射波强度第三章弹性波的相互作用56第五十六页，共七十三页，2022年，8月28日1)第三章弹性波的相互作用57第五十七页，共七十三页，2022年，8月28日2)第三章弹性波的相互作用58第五十八页，共七十三页，2022年，8月28日3)第三章弹性波的相互作用59第五十九页，共七十三页，2022年，8月28日4)5)6)在自由面反射后,压缩波变成拉伸波.第三章弹性波的相互作用60第六十页，共七十三页，2022年，8月28日7)第三章弹性波的相互作用61第六十一页，共七十三页，2022年，8月28日62第六十二页，共七十三页，2022年，8月28日3.7Hopkinson压杆技术

1914年,B.Hokinson提出了测定和研究炸药或子弹射击杆端时的压力-时间,采用的装置被称为Hokinson压杆(Pressurebar).炸药:提供瞬时压力;测时器(飞片):当压力脉冲在测时器自由面反射为拉伸脉冲时,入射压力脉冲与反射拉伸脉冲相叠加后在出现净拉应力,测时器将飞离.弹道摆:测量测时器的动量.第三章弹性波的相互作用63第六十三页，共七十三页，2022年，8月28日测时器长度等于或大于压力脉冲长度的一半,压力脉冲的动量将全部陷入测时器中,当测时器飞离时,杆将保持静止.杆能保持静止的最小长度,可求的压力脉冲的长度或压力脉冲的持续时间.限制条件:压力脉冲的峰值不得超过材料的屈服极限,脉冲长度远大于压杆直径.第三章弹性波的相互作用64第六十四页，共七十三页，2022年，8月28日3.8应力波反射卸载引起的断裂

层裂:压力脉冲在杆或板的自由表面反射成拉伸脉冲时,将可能在邻近自由面的某处造成相当高的拉应力,一旦满足某动态断裂准则,就会在该处引起材料的破裂.这种由压力脉冲在自由面反射造成的背面动态断裂称为层裂或崩落.第三章弹性波的相互作用65第六十五页，共七十三页，2022年，8月28日1)矩形脉冲第三章弹性波的相互作用66第六十六页，共七十三页，2022年，8月28日a)矩形脉冲接近自由表面;b)入射脉冲的1/4被反射,在离自由表面长度内入射压应力与反射拉应力叠加后的净应力为零;c)入射脉冲的1/2被反射,叠加净应力为零,但离自由表面长度内的质点速度则为入射压力波质点速度的两倍.随后将出现拉应力;d)入射脉冲的3/4