初中数学浙教版八年级上册第2章特殊三角形2．7探索勾股定理 全国获奖

2．7探索勾股定理(一)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a.(1)若c＝25，b＝15，则a＝20；(2)若a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,2)，则c＝eq\f(1,2)eq\r(,2)；(3)若a＝1，c＝2，则b＝eq\r(3)．2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝12，则BC边上的中线AD＝6eq\r(,3)．(第2题)(第3题)3．如图，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，CD是AB边上的高线，则CD＝eq\f(12,5)．4．把直角三角形两直角边长同时扩大为原来的3倍，则斜边长(B)A.不变B.扩大到原来的3倍C.扩大到原来的6倍D.扩大到原来的9倍5．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm和4cm，有下列结论：①斜边长为25cm；②斜边长为5cm；③周长为12cm；④面积为6cm2；⑤面积为12cm2.其中正确的是(BA．①②B．②③④C．②③⑤D．①④6．在一个直角三角形中，有两边长分别为6和8，则下列说法中正确的是(D)A．第三边一定为10B．三角形的周长为25C．三角形的面积为48D．第三边可能为107．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则BC∶AC∶AB的值为(C)A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．1∶eq\r(3)∶2D．1∶2∶eq\r(3)8．在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为(A)A．49cm2B．98cm2C．147cm2D．无法确定(第8题)(第9题)9．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合．如果AP＝3，求线段PP′的长．【解】由旋转的性质，得△APB≌△AP′C.∴AP＝AP′＝3，∠BAP＝∠CAP′，∴∠CAP′＋∠PAC＝∠BAP＋∠PAC＝∠BAC＝90°，∴△PAP′为Rt△.由勾股定理，得PP′＝eq\r(PA2＋P′A2)＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(,2).10．为了美化环境，建设绿色校园，学校计划铺设一块面积为30m2的等腰三角形绿地．已知等腰三角形一边长为10m，且顶角是锐角(第10题解①)【解】在等腰△ABC中，AB＝AC，面积为30m2若底边长BC＝10m(如解图①)，过点A作AD⊥BC，垂足为D.∵S△ABC＝eq\f(1,2)AD·BC＝30，∴AD＝6，∵△ABC是等腰三角形，∴CD＝eq\f(1,2)BC＝5，∴AB＝AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(61).(第10题解②)若腰长AB＝AC＝10m(如解图②)，过点B作BD⊥AC，垂足为D.∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BD＝30，∴BD＝6，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝8，∴CD＝2，∴BC＝eq\r(CD2＋BD2)＝2eq\r(10).综上所述，这块等腰三角形绿地另外两边的长分别为eq\r(61)m，eq\r(61)m或10m，2eq\r(10)m.(第11题)11．如图，在等边△ABC中，AB＝a，BD是∠ABC的平分线，求BD的长及△ABC的面积．【解】∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)a.在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\f(\r(3),2)a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(\r(3),4)a2.12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2的距离为2，l2，l3的距离为3，则AC的长为2eq\r(17)．(第12题)【解】分别过A，C两点作AD⊥l3，CE⊥l3，垂足分别为D，E，则AD＝3，CE＝2＋3＝5，∠DAB＋∠ABD＝90°.∵AB⊥BC，∴∠ABD＋∠EBC＝90°，∴∠DAB＝∠EBC.又∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC＝90°，∴△ADB≌△BEC(AAS)，∴AD＝BE，DB＝CE.在△ADB中，AB2＝AD2＋DB2＝32＋52＝34＝BC2.在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝34＋34＝68.∴AC＝2eq\r(17).13．如图①，一架梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上，如图②所示，测得BD＝0.5m，求梯子顶端A下滑的距离．(第13题)【解】在Rt△ACB中，AC2＝AB2－BC2＝－＝4，∴AC＝2.∵BD＝，∴CD＝2.在Rt△ECD中，EC2＝ED2－CD2＝－22＝，∴EC＝.∴AE＝AC－EC＝2－＝(m)．答：梯子顶端下滑了0.5m.14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AC，BC，AB为直径向外画半圆，则这三个半圆的面积之间有什么关系？(第14题)【解】设以AC为直径的半圆面积为S1，则S1＝eq\f(1,2)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,8)πAC2.设以AB为直径的半圆面积为S2，则S2＝eq\f(1,2)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,8)πAB2.设以BC为直径的半圆面积为S3，则S3＝eq\f(1,2)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,8)πBC2.在Rt△ABC中，∵AC2＋BC2＝AB2，∴S1＋S3＝S2.15．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图①，根据勾股定理，则a2＋b2＝c2.若△ABC不是直角三角形，如图②和图③分别为锐角三角形和钝角三角形，请你类比勾股定理，试猜想a2＋b2与c2的关系，并说明理由．(第15题)【解】当△ABC为锐角三角形时，有a2＋b2>c2；当△ABC为钝角三角形时，有a2＋b2<c2.理由如下：①当△ABC为锐角三角形时，过点A作AD⊥BC于点D.设CD＝x，则DB＝a－x，在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝b2－x2，在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2＝c2－(a－x)2，∴AD2＝b2－x2＝c2－(a－x)2，化简、整理，得a2＋b2＝c2＋2ax.∵a>0，x>0，∴2ax>0.∴a2＋b2>c2.②当△ABC为钝角三角形时