第二节-牛顿迭代法

第三节

牛顿迭代法与弦割法1、牛顿法基本思想将非线性方程线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解。将非线性方程线性化，取x0

x*，将f(x)在x0

处做一阶Taylor展开:，在x0

和x

之间2.

牛顿迭代法的原理

，可将(x*

x0)2

看成高阶小量，则有：如何实现？？取xyx*x0只要f

C1，每一步迭代都有而且，则

x*就是f

的根。是如下线性方程的根！3.牛顿迭代法的几何解释：方程的根在几何上是曲线与x

轴的交点的横坐标。若是根的一个近似，过曲线上横坐标为的点作曲线的切线，则该切线与

x轴交点的横坐标即为。xyx*x0例2.5：写出求的牛顿迭代格式；写出求的牛顿迭代格式,要求公式中既无开方运算，又无除法运算。解：等价于求方程的正根解法一：等价于求方程的根退化为二分法！！解法二：等价于求方程的正根设x*

为方程f(x)=0的根，在包含x*的某个开区间内连续，且，则存在x*的邻域，使得任取初值，由牛顿迭代法产生的序列以不低于二阶的收敛速度收敛于x*.4、牛顿迭代法的局部收敛性定理其中，则收敛证明：牛顿迭代法事实上是一种特殊的不动点迭代定义1.

--------(9)3.5迭代法收敛阶与加速收敛1、迭代法收敛阶与加速收敛定理3-6.

2.Newton迭代法收敛定理（1）Newton迭代公式在单根情况下至少2阶收敛;

（2）

定理

设f(x*)=0,,且在x*的邻域上f二次连续可微

，则可得证：将f(x)在xn处作2阶Taylor展开,并将解x*代入注意到ξn在xn及x*之间,及,故

所以，Newton法至少二阶收敛.

注意到ξn在xn及x*之间,及,故例3.为线性收敛证明:所以例4.至少是平方收敛的由定义1注意例4与例3的迭代法是相同的,两例有何区别?证明:令则所以由定理2该迭代法至少是平方收敛的

Newton迭代公式是一种特殊的不动点迭代,其迭代函数为:

Newton迭代是局部线性化方法,它在单根附近具有较高的收敛速度.

方法有效前提:

Newton迭代法的特征

牛顿迭代法的优缺点优点：在单根附近,牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确解。

缺点:1.重根情形下为局部线性收敛;2.牛顿迭代法计算量比较大:因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值;3.选定的初值要接近方程的解，否则有可能得不到收敛的结果;21牛顿迭代法的改进缺点克服:

1.局部线性收敛------改进公式或加速2.每步都要计算微商值-----简化Newton迭代法

或弦截法3.初值近似问题-------二分法求初值或”下山算法”21方法一.若已知重数m(m>1),则利用m构造新的迭代公式:此时,,至少2阶收敛.不实用:m往往不确定.方法二.取,再对函数F(x)用Newton迭代:6.Newton法的改进(I)---重根情形从而可构造出相应的迭代法格式为对构造出相应的牛顿迭代格式，迭代函数为若已知根的重数为n，可将迭代格式改为，则，所以上述格式是平方收敛的。收敛比牛顿迭代法慢，且对初值要求同样高。第五节弦割法x0x1切线

割线

切线斜率

割线斜率需要2个初值x0

和x1。基本思想：牛顿迭代法每一步要计算f和，为了避免计算导数值，现用f

的差商近似代替微商，从而得到弦割法。x2Th2.10

局部收敛性设表示区间，x*为方程f(x)=0的根，函数f(