浮点数的误差

一、浮点数与舍入误差1.画出多项式y=x7-7x6+21x5一35工4+35x3-21x2+7x-1的图像，其中x取值分别为：(l)x=0.988:0.0001:1.012,(2)x=-50:0.01:50o»x=0.988:.0001:1.012;»y=x.A7-7*x.A6+21*x.A5-35*x.A4+35*x.A3-21*x.A2+7*x-l;»plot(x,y)»x=-50:0.01:50;»y=x.A7-7*x.A6+21*x.A5-35*x.A4+35*x.A3-21*x.A2+7*x-l;»plot(x,y)用用Matlab计算寸0.1-m。2.当n=103,104,105,106,m=102,103,104,105时，i=1>>A=ones(1,10.A3)*0.1;>>m=10.A2;>>sum(A)-mans=-1.4069e-012>>>>A=ones(1,10.A4)*0.1;>>m=10.A3;>>sum(A)-mans=1.5882e-010>>A=ones(1,10.A5)*0.1;>>m=10.A4;>>sum(A)-m

ans=1.3169e-009>>A=ones(1,10.A6)*0.1;>>m=10.A5;>>sum(A)-mans=-8.9420e-0073.利用ans=1.3169e-009>>A=ones(1,10.A6)*0.1;>>m=10.A5;>>sum(A)-mans=-8.9420e-0073.利用Matlab中的函数rand分别生成(0,1)区间上两组各为n个的随机数，记为A=(a,a,…,a)，B=(b,b,…，b)。考虑如下几个和取n充分大(如104)，Z乙akk=1+Wmbkkk=1+乙a=1n同样量级，(a+mb)k=1Za+mk1k=1多次进行上述实验并记录实验结果。>>A=rand(1,10.A6);>>B=rand(1,10.A6);>>m=10.A10*rand(1,10.A6);>>s1=sum(A)*sum(1,10.A6);>>s2=sum(A+m.*B);>>s3=m(1)+sum(A);>>s4=sum(A)+m(1);>>s12=s1-s2s1_2=-2.5034e+015>>s3_4=s3-s4s3_4=04.函数sinx有幕级数展开sinx=-栏+三-匚+...3! 5! 7!编写利用幕级数计算sinx的Matlab程序，对于x=；，?，学，计算的精度是多少？分别需要计算多少项？functions=powersin(x)%powersin.powerseriesforsin(x).%powersin(x)triestocomputesin(x)fromapowerseriess=0;t=x;n=1;whiles+t~=s;s=s+t;t=-x.八2/((n+1).*(n+2)).*t;n=n+2;end>>powersin(pi/2)ans=1.0000二、计算方法及其计算复杂性秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法。在西方被称作霍纳算法(Horneralgorithm或Hornerscheme)，是以英国数学家威廉•乔治•霍纳命名的。把一个n次多项式f(x)=a°+ax+…+axn改写成如下形式：p=a,p=xp+a,k=1,…，n.该算法看似简单，其最大的意义在于将求n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值。在人工计算时，利用秦九韶算法和其中的系数表可以大幅简化运算；对于计算机程序算法而言，加法比乘法的计算效率要高很多，秦九韶算法将原来的做"("+1)次乘法，缩短到做n2次乘法，减少了CPU运算时间。试用Matlab编写秦九韶算法程序，并用该程序计算多项式f(x)=x5+3x3一2x+6

三、算法的稳定性1.分别编写以下两种算法的程序，并记录比较实验结果，不稳定的算法…E1=-E=1-nE,n=2,3,—,20.'E20=0，稳定的算法：」 1-eE=n,n=20,19,...2,%2»IEi^pAEa-^E=zeros(1,20);E(1)=1/exp(1);forn=2:20;E(n)=1-n*E(n-1);endE%2»让里・pA白沧“I=zeros(1,20);I(20)=0;forn=20:-1:2;I(n-1)=(1-I(n))/n;endIE=Columns1through80.3679 0.2642 0.20730.17090.14550.1268 0.1124 0.10090.3679 0.2642 0.20730.17090.14550.1268 0.1124 0.1009Columns9through16Columns9through160.0916 0.08390.0774 0.07180.06690.0627 0.0590 0.05660.0916 0.08390.0774 0.07180.06690.0627 0.0590 0.0566Columns17through20

Columns17through200.03740.3259 -5.1930104.86080.03740.3259 -5.1930104.8608I=Columns1through80.36790.26420.20730.17090.14550.12680.11240.1009Columns9through160.09160.08390.07740.07180.06690.06270.05900.0557Columns17through200.0528 0.0500 0.0500 0、2.分别编写以下两种算法的程序，画出散点图，不稳定的算法：IE广[E.=e-nE,n=2,3,...,19.1E20=0，稳定的算法：1e-EE=n,n=20,19,—2.%2»IEi^pAEa-^clearE(1)=1;forn=2:19;E(n)=exp(1)-n*E(n-1);end%IEi^pAEa-^I(19)=0;forn=19:-1:2;I(n-1)=(exp(1)-I(n))/n;endsubplot(2,1,1)plot(E,'b*')subplot(2,1,2)plot(I,'r+')TOC\o"1-5"\h\z5 1 1 1 1 1 1 1 1 10.++4++1+4+4++4+4++-^ --5- --10- --15 1 1 1 ' 1 1 1 1 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 201.511.510.500 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20四、问题的病态性1.画出高次多项式P(X)=(x-1)(X-2) (X-20)根