一维数组及其应用

n个元素排成一行，又称为行向量（rowvector）常被看作为1Xn矩阵（二维数组）x=21340.2347.891…6.555…一维编号x(1)x(2)x(3)…x(k)…二维编号x(1,1)x(1,2)x(1,3)…x(1,k)…1、行数组一、一维数组简介第1页/共66页第一页，共67页。

n个元素排成一列，又称为列向量(columnvector)，常看作为nX1矩阵（二维数组）在Matlab中提到向量，一般都是指的列向量2、列数组x2134x(1)x(1,1)0.2346x(2)x(2,1)………6.555x(k)x(k,1)………一维编号二维编号第2页/共66页第二页，共67页。一个数，称为标量，在Matlab中看作为1X1矩阵（二维数组）3、标量（scalar）2134Matlab中，标量和向量一般用小写字母表示a=在matlab中，使用a(1)和a(1,1)都可以访问变量a第3页/共66页第三页，共67页。整个数组放在方括号里行数组元素用空格或逗号分隔

x=[2,pi/2,sqrt(3),3+5i]列数组元素用分号分隔，分号起换行

y=[2;pi;3/4;j]标点符号一定要在英文状态下输入二、创建一维数值数组1、用方括号[]创建一维数组第4页/共66页第四页，共67页。2、用[]由小数组生成大数组a=[1,3] b=[2,4]c=[3;5]d=[a,a]f=[d,b]g=[c;c]h=[g;g]（1）执行如下赋值语句：（2）然后执行如下赋值语句：此时：d=?f=?此时：g=?h=?（3）再执行如下赋值语句：第5页/共66页第五页，共67页。x=[]

方括号内无字符，或只包含空格，则生成空数组。此时在matlab内部生成一个double类型的变量x，其内容为空，占用0字节。空数组在进行数组并置操作（二个小数组合并为一个大数组）时，经常用到。3、用[]生成空数组x=[] a=[2,4]b=[3,

5]x=[x,a]x=[x,b]（1）执行如下赋值语句：（2）然后执行如下赋值语句：此时：x=?第6页/共66页第六页，共67页。4、用冒号:创建一维数组x=a:bx=a:inc:b生成如下数组x=[a,a+inc,a+2*inc,…]

a，b必须为实数,若未提供inc的数值，则

inc=1

a是数组x中的第一个元素，b不一定是数组x的最后一个元素。若inc取的不合适，可能会生成空数组。x=1:10

y=10:-2:-10

z=[1:2:99,2:2:100]

w=2:3:-10x=?y=?z=?w=?第7页/共66页第七页，共67页。5、用linspace()函数创建一维数组x=linspace(a,b)x=linspace(a,b,n)

x=linspace(0,8,17)

y=linspace(1+i,4+4*i,7)在a和b之间，均匀生成n(未提供n时，n=100)个数据，包括a和b在内。

a，b可以为复数若a，b为实数，等效于：执行如下赋值语句后，x=?y=?

第8页/共66页第八页，共67页。6、用logspace()函数创建一维数组x=logspace(a,b)x=logspace(a,b,n)x=logspace(a,pi,n)先在a和b之间均匀生成n个数据，包括a和b，然后以这n个数据为指数，生成一维数组x。例：x=logspace(1,2,6)生成的数组为：x=[101,101.2,101.4,101.6,101.8,102]

=[10.0000,15.8489,25.1189,39.8107,63.0957,100.0000]第9页/共66页第九页，共67页。三、一维数组的访问和赋值b=x(end)

end是数组x的最后一个元素的下标

引用数组x中的最后一个元素，将其赋值给变量bc=x(8)

会出现什么结果？1、引用一维数组中的单个元素Matlab中数组元素的下标从1开始x=1:5k=2a=x(k) 引用数组x中的第k个元素，将其赋值给变量a第10页/共66页第十页，共67页。2、一维数组中单个元素的赋值x=1:5a=1.5k=3x(k)=0

将0赋值给数组x中的第k个元素x(end)=a

将a赋值给数组x中的最后一个元素x(8)=6.5会出现什么结果？第11页/共66页第十一页，共67页。3、引用一维数组中的子数组

引用一维数组x中的第2、5、9个元素，将其赋值给变量a x=linspace(1,5)a=x([2,5,9])b=x(end:-1:1)c=x(1:2:end)d=x(2:2:end)b=?c=?d=?x=linspace(1,5)s=[2,5,9]a=x(s)第12页/共66页第十二页，共67页。4、给一维数组中的子数组赋值将2、7分别赋值给x的第1、4个元素x=linspace(1,5)x([1,4])=[2,7]x=linspace(1,5)s=[1,4]a=[2,7]x(s)=a第13页/共66页第十三页，共67页。四、数组运算数组运算是Matlab软件定义的运算规则，其目的是为了数据管理方便、操作简单、指令形式自然和执行计算的有效。无论在数组上施加什么运算(加减乘除或函数)，总认定那种运算对被运算数组中的每个元素(Element)进行运算。第14页/共66页第十四页，共67页。1、一维数组的转置运算x.’x’对x做转置（行→列，列→行）对x做共轭转置若x的元素均为实数，则x.’与x’的结果相同y=x.’对数组x做转置运算，将运算结果赋值给变量y，内存中数组x的内容并没有任何变化。x1=(1:10).’y1=(1:10)’x2=linspace(i,10*i).’y2=linspace(i,10*i)’第15页/共66页第十五页，共67页。(1)两个一维数组之间的数学运算x+y：加，对应位置的数组元素相加x-y：减，对应位置的数组元素相减x.*y：点乘，对应位置的数组元素相乘x./y：右点除，对应位置的数组元素相除x.\y：左点除x.^y：点幂，对应位置的数组元素做幂运算一维数组x、y维数相同时，可以进行如下如下的数组运算：运算结果为与x、y同维的数组2、一维数组的数学运算第16页/共66页第十六页，共67页。(2)一维数组与标量之间的数学运算x+c：x的每个元素加cx-c：x的每个元素减cx.*c或x*c：x的每个元素乘c，x./c或x/c：x的每个元素除以cx.\c或x\c：c除以x的每个元素x.^c：点幂，x的每个元素做幂运算c.^x：点幂，c做幂运算运算结果为与x同维的数组x为一维数组，c为一个数(标量)，x和c之间可以进行：第17页/共66页第十七页，共67页。练习：试写出下列matlab语句的输出结果，并在matlab中进行验证。a=[1,

1,1]b=[1,0,0]c=[0,0,0]d=(a+b).*(a-b)e=(d+1)+(d-1)*if=e.’./e’+e.’.\e’g=b.^d+d.^b第18页/共66页第十八页，共67页。关系运算符说明举例返回结果<小于a<b[1,0,

0,0]<=小于等于a<=b[1,1,0,1]>大于a>b[0,0,1,0]>=大于等于a>=b[0,1,1,1]==等于a==b[0,1,0,1]~=不等于a~=b[1,0,1,0](1)两个一维数组之间的关系运算 进行比较的两个数组必须维数相同，比较在两数组相同位置上的元素间进行，返回一个由0和1组成的“逻辑数组”。3、一维数组的关系运算第19页/共66页第十九页，共67页。关系运算符说明举例返回结果<小于a<b[1,0,0,0]<=小于等于a<=b[1,1,0,0]>大于a>b[0,0,1,1]>=大于等于a>=b[0,1,1,1]==等于a==b[0,1,0,0]~=不等于a~=b[1,0,1,1](2)一维数组和标量之间的关系运算 标量可以与任何维数组进行比较。比较在此标量与数组每个元素之间进行，因此比较结果与被比数组同维，返回一个由0和1组成的“逻辑数组”。

第20页/共66页第二十页，共67页。(3)关系运算中的注意事项 比较两个浮点数是否相等时需要注意，由于浮点数的存储时的误差的存在，在程序设计中要避免直接比较两个浮点数是否相等，而是采用大于、小于的比较运算将待确定值限制在一个满足需要的区间之内。 比较两个数是否相等的关系运算符是“==”，单个的等号“=”是变量赋值符号。 不等于的关系运算符是“~=”，不要与C语言的不等于符号“!=”混淆。

3<x<7这样的数学表达式必须用逻辑“与”运算才能正确表示。第21页/共66页第二十一页，共67页。a=[0,1,2,0,3],b=[4,5,0,0,6],c=7逻辑运算运算符函数形式结果与a&band(a,b)[0,1,0,0,1]或a|cor(a,c)[1,1,1,1,1]非~anot(a)[1,0,0,1,0]异或xor(a,b)[1,0,1,0,0]

在逻辑表达式中，作为输入的任何非0实数都被看作是“逻辑真”，只有0才被认为是“逻辑假”。标量（一个数）可以与任何维数组进行逻辑运算。运算在标量与数组每个元素间进行。当两个数组进行逻辑运算时，参与运算的数组必须维数相同，运算在两数组相同位置上的元素间进行。逻辑运算可以在标量与标量，数组与数组，标量与数组间进行4、一维数组的逻辑运算第22页/共66页第二十二页，共67页。5、逻辑数组用作“

逻辑索引

”

逻辑索引：通过逻辑数组L中“逻辑1”所在的位置，指出数组A中元素的的位置，从而可以对A数组中的元素（子数组）进行访问或赋值。A=1:10L=logical([0101])A(L) L的元素个数应等于或小于A的元素个数，一般情况下，L应是与A同维的逻辑数组第23页/共66页第二十三页，共67页。6、函数作用在数组上的运算规则 Matlab中的很多函数都可以直接以数组作为输入参数，函数会作用在数组的每个元素上。输入为行数组，则输出也为行数组输入为列数组，则输出也为列数组第24页/共66页第二十四页，共67页。关系运算举例在100,103,106,109,...,148,151这些整数中，能被7整除的数有哪些？A=100:3:151B=rem(A,7)L=B==0r=A(L)第25页/共66页第二十五页，共67页。逻辑运算举例100以内的哪些正整数满足：0.7<sin(n)<0.75？n=1:100L1=sin(n)>0.7L2=sin(n)<0.75L=L1&L2r=n(L)第26页/共66页第二十六页，共67页。五、与一维数组相关的一些常用函数max(x)[a,b]=max(x)max(x,y)返回x中的最大值返回x的最大值(a)及最大值在x中的位置(b)返回一向量，元素为x,y相同位置上的较大值min(x)[c,d]=min(x)min(x,y)返回x中的最小值返回x的最小值(c)及最小值在x中的位置返回一向量，元素为x,y相同位置上的较小值mean(x)返回x的平均值std(x)计算x中的数值的标准偏差median(x)x排序后，返回处于x最中间位置元素的值当函数的输入参数为一维数组x时（x为行或列）：第27页/共66页第二十七页，共67页。sort(x)sort(x,’descend’)[y,ix]=sort(x)返回x中的元素按升序排序的向量返回x中的元素按降序排序的向量ix为与x同维的数组，其中存储的是排序后各个元素原先在数组x中的位置length(x) 返回数组的长度(行数或列数的较大值)numel(x) 返回数组元素的个数第28页/共66页第二十八页，共67页。sum(x)计算x的所有元素的和cumsum(x)返回一个包含x的元素的累加和的向量，其大小与x相同prod(x)计算x的元素的积cumprod(x)返回一个包含x的元素的累乘积的向量，其大小与x相同diff(x)返回[x2-x1,x3-x2,x4-x3,…,xn-xn-1]

第29页/共66页第二十九页，共67页。logical(x)输入x为一维实数数组，返回一个与x同维的逻辑数组，当x中的元素为非零元素时，y中对应的位置返回逻辑1，否则返回逻辑0。注意：x中的元素不能为复数或NaNall(x)x为一维数组（忽略其中的NaN），若其元素全部为真，则返回真，否则返回假。（返回一个逻辑数）any(x)x为一维数组（忽略其中的NaN），若其元素不全部为假，则返回真，否则返回假。（返回一个逻辑数）第30页/共66页第三十页，共67页。六、一维数组在二维绘图中的应用

x，y为同维的一维数组，二维绘图函数plot(x,y)的绘图原理：分别以x，y对应位置的元素为横坐标和纵坐标，得到n个数据点，描点，然后依次将第1,2,…,n点连线，绘制出二维图形。一维数组xx1x2…xn一维数组yy1y2…yn数据点(x1,y1)第1点(x2,y2)第2点…(xn,yn)第n点第31页/共66页第三十一页，共67页。x=0:0.1:10*piy=sin(2*x).*cos(x/2)plot(x,y)

数组乘法x00.10.2…sin(2x)00.19870.3894…cos(x/2)10.99880.9950…y00.19840.3875…第32页/共66页第三十二页，共67页。第33页/共66页第三十三页，共67页。七、一维数组在向量运算中的应用第34页/共66页第三十四页，共67页。1、向量的模（长度）a=[4,3,1]d=sqrt(sum(a.*a))或：

d=sqrt(sum(a.^2))第35页/共66页第三十五页，共67页。2、两点之间的距离a=[4,3,1]b=[5,2,3]AB=sqrt(sum((a-b).^2))第36页/共66页第三十六页，共67页。3、向量的方向角与方向余弦，单位向量a=[4,3,1]d=sqrt(sum(a.^2))e0=a./d第37页/共66页第三十七页，共67页。4、向量的线性运算a=[4,3,1]b=[5,2,3]c=1.6直接利用matlab的数组运算规则即可进行运算p=a+bs=a–bd=c*a第38页/共66页第三十八页，共67页。5、两向量的数量积（内积/点积/点乘）=dot(a,b)=sqrt(dot(a,a))Matlab中提供了dot()

函数实现两向量的数量积第39页/共66页第三十九页，共67页。6、两个向量之间的夹角tmp=dot(a,b)/sqrt(dot(a,a))/sqrt(dot(b,b))theta=acos(tmp)第40页/共66页第四十页，共67页。7、两向量的向量积（叉乘）=cross(a,b)

Matlab中提供了cross()

函数实现两向量的向量积第41页/共66页第四十一页，共67页。8、向量的混合积：=dot(cross(a,b),c)第42页/共66页第四十二页，共67页。上机练习：第43页/共66页第四十三页，共67页。3.以A(1,2,3)，B(2,0,5)，C(4,2,-1)为顶点的三角形的面积。4.求以A(0,0,2)，B(3,0,5)，C(1,1,0)，D(4,1,2)为顶点的四面体的体积。第44页/共66页第四十四页，共67页。八、一维数组在一元多项式运算中的应用借助matlab提供的函数，处理多项式是一件非常简单的事情，很容易对多项式进行积分、微分以及求根的操作。 一元多项式在代数中占有非常重要的地位。在实际应用中如对实验数据的插值、微商和曲线拟合等，都要大量用到多项式；在矩阵分析时，也要用到一元多项式的概念。多项式函数是形式最简单的函数，也是最容易计算的函数，从理论上讲，它可以表示绝大多数复杂函数。在许多计算机的计算和编程中，很多函数值如sin(x),cos(x)等的计算都是先将函数进行Tailor展开为多项式进行逼近计算的，并且都能达到很高的精度。第45页/共66页第四十五页，共67页。 在matlab中，一个一元多项式用一个行向量来表示的，向量元素为多项式系数的降幂排列，其中最后一个元素代表多项式中的0幂项。1、多项式的表示和创建p=[1,-12,0,25,116]第46页/共66页第四十六页，共67页。2、多项式的符号表示poly2sym()把系数向量表示的多项式转为符号表示poly2sym(p) 用默认字符’x’来表示多项式的变量poly2sym(p,’v’) 用字符‘v’来表示多项式的便量p=[1,-12,0,25,116]px=poly2sym(p)pt=poly2sym(p,’t’)第47页/共66页第四十七页，共67页。3、计算多项式的值 p=[1,-12,0,25,116]; x1=2.3; x2=[-1,3,7];y=polyval(p,x) p1=polyval(p,x1); p2=polyval(p,x2);计算多项式p在x处的值，x可以是标量，或数值数组第48页/共66页第四十八页，共67页。4、求多项式的根r=roots(p) 此函数返回多项式p的根组成的向量多项式和多项式的根都是用向量表示的，为加以区别，多项式的根表示成列向量。 p=[1,-12,0,25,116] r=roots(p)对于系数为实数的多项式，如果其根出现复数，则复数必是成对出现的。第49页/共66页第四十九页，共67页。5、由根创建相应的多项式r=[1;2;-1;3;7]p=poly(r)p=poly(r)

r是一个向量，构造一个多项式，其根为r

由于matlab在进行数据处理时存在截断误差，因此，poly函数的返回值有可能在该出现0的位置出现了一个非常接近0的数，有时还会使某些系数带有一个很小的虚部。因此建议对poly函数的输出结果再进行一次处理，从而消除有可能出现的数据错误。例如，可以通过比较将绝对值极小的数强制置0，或利用real函数将实部从结果中提取出来，取消错误虚部的影响。由根构造多项式时，所得到的多项式的第一项为1第50页/共66页第五十页，共67页。练习第51页/共66页第五十一页，共67页。6、多项式的加法和减法当两个多项式的阶次不同时，其系数向量的长度也不同，这时需要先将低阶多项式的系数向量前边补上足够的0，以便使它和高阶多项式具有相同的长度，然后再执行加法（减法）运算。Matlab没有专门的函数执行多项式加法（减法）如果两个多项式的阶次相同，其系数向量的长度相等，多项式的加法就是将两个多项式向量直接相加（相减）。第52页/共66页第五十二页，共67页。7、多项式的乘法y1=[1,2,3,4]y2=[1,4,9,16]y=conv(y1,y2)y=poly2sym(y)w=conv(u,v) 此函数返回多项式u和v的乘积多项式的乘法就是多项式系数向量之间的卷积（convolution）如果要执行多个多项式之间的乘法运算，需要重复使用conv()函数第53页/共66页第五十三页，共67页。第54页/共66页第五十四页，共67页。用matlab的conv()函数求出的是具体的双精度数值数值，不是解析表达式。练习：利用多项式乘法完成下面的计算第55页/共66页第五十五页，共67页。8、多项式的除法[q,r]=deconv(b,a) 余数通常都与除数和被除数中较长的那个向量等长，因此r的前面一般有若干个0 此函数表示多项式b除以多项式a得到商多项式q和余数多项式r，如果r的元素全部为0，则表示多项式b可以整除多项式a。q：存储b/a的商多项式，r：存储b/a的余数多项式第56页/共66页第五十六页，共67页。9、多项式的微分（求导）polyder() 多项式微分k=polyder(p) 求多项式p的微分多项式k=polyder(a,b) 求axb的微分[q,d]=polyder(b,a)：求有理分式b/a的微分

q：分子多项式

d：分母多项式第57页/共66页第五十七页，共67页。10、多项式的积分 p=[1,6,20,48,69,72,44] h=polyder(p) q=polyint(h,44)q=polyint(p,k) 对多项式p积分，k为积分常数q=polyint(p) 对多项式p积分，积分常数为0第58页/共66页第五十八页，共67页。11、部分分式展开（留数计算）[r,p,k]