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文档简介

第五章相似矩阵和二次型习题课重点与难点内容提要典型例题一、重点与难点

3.正定二次型的判定及有关问题2.用正交变换法化二次型为标准型

1.二次型的矩阵表示

二、内容提要1二次型的矩阵表示、二次型的秩2二次型的标准型与规范标准型

化二次型为标准型的方法：（1）正交变换法（2）配方法4合同变换与合同矩阵5惯性定律6正定二次型（2）正定性的判定方法例1．用矩阵记号表示下列二次型:(1)

(2)

解

(1)

三、典型例题

(2)

例2．化成标准形求一个正交变换将二次型解

(1)二次型的矩阵为故的特征值为当时,得基础解系解方程由取当时,得基础解系解方程由取当时,得基础解系解方程由取于是正交变换为且有

例3．证明：二次型在时的最大值为矩阵的最大特征值.证明为实对称矩阵，则有一正交矩阵，使得成立

其中为的特征值，不妨设最大，

为正交矩阵，则且，故则其中当时，即即例4．判别下列二次型的正定性：解故为正定

例5

解:

其秩为2，例6

正惯性指数为，负惯性指数为。解:

经非退化线性变换

故f

的秩为3，正惯性指数为2，负

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