线性代数-111线代期末卷

（A）参考答案（2010～2011一．填空题(每小题3分,21分

k2

k

0，则k -3， 设五阶矩阵Α 0，Α是3阶方阵,Α|2,Α|1,则Α=144 Α 21,1,0 关1,1,0 1 α11,α22是线性方程组ΑΧΒ(Β0)的解，且rΑ2，则 ΑΧΒ的通解为

0 0 1k11,或k12kR 向量(1,0,3,5),其内积 Α的特征值为1，11，则行列式|Α12Ε|2

设Α 0，则Α10= 0 1 1 二.单项选择题(每小题3分,21分对任意n阶方阵ΑΒ总有 |ΑB||BΑ (B)(ΑB)TΑTBT(C)(ΑB)2Α22ΑBB2 (D)|ΑB||Α||B|DΑ

1，则2A5AA3A 0

1 a13

(D) 0设Α a,B ,P 0 23 a a a aa 13 0 1

，则有 )(A)ΑP1P2 (B)P1P2Α (C)P2P1Α (D)ΑP2P1设n元齐次线性方程组ΑX0中r(Αr,则ΑX0有非零解的充要条件 rn rn r r设Α是n阶可逆矩阵，则下面说法不正确的是 |Α| ΑX0 Α的秩是 Α的特征值都不等于若矩阵Α45的所有3阶子式都为0，则 )(A)秩(Α)≤ (B)秩(Α)≤ (C)秩(Α)≤ (D)秩(Α)≤设ΑB是两个n阶正交矩阵，则下列结论不正确的是（ Α1 (B)Α1是正交矩 Α的行列式必等于 (D)ΑB是正交矩三、计算题（每题10分，共50分 已知4阶行列式D 3，D的(i,j)元的代 2

解：A11A12A13A14= 211110011110004240

r4

= 0 求解矩阵方程ΑΧB，其中Α= 1，B 0

AB

rr01005 1 1 ~ 2 QA~ A可逆

XA1B

法二：Q|A| 11 A可

1 XA1B

x2x 2x3x(2)x

x2x0 有无穷多解时求出通解

~ 0 (1)( (3) 当3且1时RAR(B3当1时RAR(B方程组无解；当3时RAR(B)<3, 1B~

3 ~

, 0 0

33 1,k3 A= 2(1)( （1）当3且1时RAR(B3(2)当1 1 1 3~ 1 0 4 RA2R(B3故方程组无解；当3时， 1B~

3 ~ 0 0 RAR(B2,

33 1,k3 001解：|AE10011 (1)(101 所以特征值为102131 2对于0，解方程组(A0E)x0得基础解系：0，单位化得 对于21，解方程组AE)x0

01001

2 2对于2,解方程组(A2E)x0得基础解系:0单位化得 22 211

2 02所以P ， 0，满足P1AP2 2 22 2问 (1,1,1,2)

(1,2,2,1) (3,2,1,t) (2,1,4, (1,2,3,4)

2

3 4

3t3

3

t

3t ,得t t

3t 代入有 1

1

所以最大无关组为1,2,3，且4122四、证明题（4分8分Αn阶方阵,Α2Α2E0En阶单位阵)，证明ΑEΑ证明

都可逆,并求其逆矩阵QA2A2E0, EE,即AE11 A 类似地,A3E1A4EEA3E11A4E 如果1,2,3,4线性相关，但其中任意3组全不为零的数k1k2k3k4，使得k11k22k33k44证明：因为1,2,3,4线性相关，所以存在一组“