2023年考试题库数学分析

第一套一，选择题：（每题3分，共15分）1，已知，f(x)=()A：B：C：D：2,A：0B：1C：2D：33，f(x)在x0点连续，则下列命题不成立的是（）。A：f(x0+0)、f(x0-0)存在B：f(x)在x0点的极限存在C：f(x)在x0点的某邻域内有界D：f(x)在x0点的某空心邻域内连续4，φ(x)在a点连续，f(x)=|x-a|φ(x)，f'(a)存在的条件是()。A：φ(a)=0B：φ(a)=1C：φ(a)=-1D：φ(a)=a5，设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+2023),则f'(0)=()A：0B：2023！C：2023！D：2023！，二，填空题：（每题3分共15分）1，数列{an}收敛的柯西准则是：4，假如正方形的边长增长1cm，面积的微分dS=12cm2，则原边长为5，方程ex=x2的根是个。三，计算题：（每题5分，共20分）五，讨论函数f(x)=的性态并作出其图形。(14分)六，有一无盖的圆柱形容器，体积为V，问底半径与容器高的比为多少时表面积最小？七，对函数f（x）=ln(1+x)应用拉格朗日定理证明：（8分）八、设f(x)在开区间I上为凸函数，证明：存在。第二套一，选择题：（每题3分，共15分）1，函数f(x)=ln(lnx)的定义域是（）A：x＞0B：x≥0C：x＞1D：x≥12,A：奇B：偶C：既奇又偶D：非奇非偶3，f(x)在x0点连续的充足条件是（）。A：f(x0+0)、f(x0-0)存在B：f(x)在x0点的极限存在C：f-'(x0)、f+'(x0)存在D：f(x)在x0点的某空心邻域内连续4，f(x)在x0点可导是f(x)在(x0,f(x0))点有切线的()条件。A：充足B：必要C：充足必要D：非充足亦非必要5，设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+2023),则f'(0)=()A：0B：2023！C：2023！D：2023！，二，填空题：（每题3分共15分）1，设函数f(x)在x0的某空心邻域U0(x0)内有定义，则柯西收敛准则是：4，假如正方体各棱长增长1cm，体积的微分dV=12cm3，则原棱长为5，函数y=x-sinx在（-2π，2π）内的拐点个数是个。三，计算题：（每题5分，共20分）五，讨论函数f(x)=的性态并作出其图形。(14分)六，某窗户上部为半圆，下部为矩形，周长为15m，要使窗户透光面积最大，问宽x应为多少米？（10七，设f（x）、g（x）在D上有界，证明：（8分）单项选择（每小题3分，共18分）1、已知函数的定义域是(0,1)，则的定义域为（）(a)(b)(c)(d)2、对常数函数y=C,下列说法中错误的是()(a)既是奇函数也是偶函数(b)既有上界又有下界(c)既单调递增也单调递减(d)没有最小正周期的周期函数3、是严格增长的()条件(a)充足(b)必要(c)充要(d)既非充足也非必要4、设则()(a)2(b)0(c)(d)5、函数的奇偶性是（）(a)奇函数（b）偶函数（c）既奇又偶函数(d)非奇非偶函数6、点集的聚点是（）（a）0(b)1(c)–1(d)1和-1计算（每小题6分，共30分）1、2、3、4、,求5、,求做一无盖圆柱形容器，给定体积为V。问底半径与高的比如何取时最省材料？（8分）将函数展开到项，并用之计算极限（8分）五、叙述类型函数极限的归结原则，并用之证明：若为周期函数，且=0，则（8分）六、证明不等式：时，（8分）七、证明Weierstrass聚点定理：直线上的有界无限点集S至少有一个聚点。（8分）作函数的图像，并比较与的大小。2、求数列的最大项。（12分）单项选择（每小题3分，共18分）1、已知函数的定义域是（）(a)(b)(c)(d)2、1、下列各组函数中相等的是()(a)与(b)与(c)与（d）与3、函数在可导是曲线在点处存在切线的()条件(a)充足(b)必要(c)充要(d)既非充足也非必要4、设则()(a)-(b)0(c)1(d)不存在5、对常数函数y=C,下列说法中错误的是()(a)既有上界又有下界(b)既是奇函数也是偶函数(c)既单调递增也单调递减(d)没有最小正周期的周期函数6、（）（a）1(b)0(c)–1(d)不存在计算（每小题6分，共30分）1、2、3、4、,求5、,求试将多项式写成()的升幂排列（8分）在半径为R的半圆内作一矩形，如何作其面积最大？（8分）五、用极限的定义证明：(8分)明方程(c为常数)在（0，1）内没有两个不同实根。（8分）七、已知存在，证明：(8分)八、作函数的图像（12分）第五套选择题：（每题3分，共15分）1、若为的一个原函数，则（）。A：B：C：D：2、设，则（）。A：B：C：D：3、下列反常积分收敛的是（）。A：B：C：D：4、级数为（）级数。A：收敛B：绝对收敛C：条件收敛D：发散5、幂级数的收敛域为（）。A：B：C：D：填空题：（每题3分，共15分）设的一个原函数为，则。已知函数，则。曲线与轴围成的图形的面积为。。函数的麦克劳林级数是。计算题：（每题4分，共20分）1、计算2、计算3、求心脏线的周长。4、已知：求：。5、已知：，求：。y=f(x)aby=f(x)ab0yx连续函数，证明：，使得图中两阴影的面积相等。证明不等式：六、证明函数列在上一致收敛。七、求的麦克劳林展开式。八、一个半径为20米第六套选择题：（每题3分，共15分）1、若可导，则（）。A：B：C：D：2、设的一个原函数为，则（）。A：B：C：D：3、瑕积分收敛是收敛的（）条件。A：充足B：必要C：充足必要D：非充足亦非必要4、级数为（）级数。A：收敛B：绝对收敛C：条件收敛D：发散5、幂级数的收敛域为（）。A：B：C：D：填空题：（每题3分，共15分）。已知，则。曲线与轴围成的图形的面积为。。函数的麦克劳林级数。计算题：（每题4分，共20分）1、计算2、计算3、求心椭圆所围的面积。4、求：的收敛半径、收敛区间、收敛域。5、求函数，的傅里叶展开式。设连续可微函数，求。证明不等式：六、证明：在上一致收敛。七、求的麦克劳林展开式。八、有一等腰梯形闸门，它的上、下两条底边各长10米、6米，高为第七套单项选择（每小题3分，共15分）1、已知,则()；A、B、C、D、2、（）；A、B、C、D、3、是级数收敛的（）条件；A、充足但不必要B、必要但不充足C、充要D、既非充足也非必要4、幂级数的收敛域为()；A、(-1,1)B、C、D、5、下列广义积分中，收敛的是（）。A、B、C、D、填空：（每小题3分，共12分）1、_______________;2、_________________；3、已知，则幂级数的收敛区间为_______________；4、__________________；计算不定积分或求定积分的值。（每小题6分，共24分）4、设，求用定积分求极限。(9分)五、求幂级数的收敛域及和函数。（10分）六、求曲线、和所围平面区域的面积。（10分）七、证明：（每小题10分，共20分）1、设是以T为周期的连续函数，证明：函数列在上一致收敛。第八套单项选择（每小题3分，共15分）1、已知,则()；A、B、C、D、2、（）；A、B、C、D、3、连续是可积的（）条件；A、充足但不必要B、必要但不充足C、充要D、既非充足也非必要4、幂级数的收敛域为()；A、(-1,1)B、C、D、5、下列广义积分中，收敛的是（）。A、B、C、D、填空：（每小题3分，共12分）1、_______________;2、_________________；3、幂级数的收敛半径为_______________；4、__________________。计算不定积分或求定积分的值。（每小题8分，共24分）用定积分求极限。(9分)五、求幂级数的收敛域及和函数。（10分）六、求椭圆绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积。（10分）七、证明：（每小题10分，共20分）设在[－a,a]上连续，证明：当为偶函数时，当为奇函数时，函数项级数在上一致收敛。第九套一、拟定集的内点、外点、聚点集和边界。（8分）.二、考察函数在原点的可微性（8分）..三、用定义,验证极限.（8分）四、,.求和（8分）五、验证方程在点满足隐函数存在唯一性定理的条件,并求隐函数的导数（10分）.六、要做一个无盖的圆柱形容器，其容量为V，问如何截取容器的高和底面半径，所用材料最省？（10分）七、由曲面所围成；（12分）八、，其中是立体的边界曲面；（12分）九、，为认为顶点的正方形沿逆时针方向．（12分）十、，为球面的外测。（12分）第十套一、拟定集的内点、外点、聚点集和边界（8分）.二、叙述的定义（6分）三、已知.求.（8分）四、求极限.的值。（8分）五、已知,.求和.（10分）六、将数12提成三个正数之和，使得为最大。七、求方程所拟定的隐函数的导数.（12分）八、求球体被圆柱面所割下立体的体积（12分）.九、由曲面所围成；（12分）十、，其中是以（0，0），（2，0），（0，1）为顶点的三角形（12分）；第十一套一，选择题：（每题3分，共15分）2,函数f(x,y)=的全微分为()。A：B：C：D：二，填空题：（每题3分共15分）3，设z=f(x,y),x=rcost,y=rsint,则4，曲线x=t-sint，y=1+cost，z=1-cost在点(π，0，2)的法平面方程为。三，计算题：（每题5分，共计20分）1，求u=ln(x2+y)在(4,3)点处的全微分。2、求曲面9x2+y2-z2=9在点（1，1，1）处的切平面方程。4、计算二重积分，D：0≤y≤x，0≤x≤1。四、求圆(x-3)2+y2=1与抛物线y=x2之间的最短距离。(10分)五、设u=f(x2-y2)，证明：（10分）(10分)一，选择题：（每题4分，共20分）1、设，则()。A：B：C：D：2、函数在的全微分为()。A：B：C：D：3、已知，则()。A：B：C：D：4，设，则互换积分顺序后为()。A：B：C：D：5，锥面被柱面所截部分的面积是()。A：B：C：D：二，填空题：（每题4分共20分）1、抛物柱面与平面所围成的空间几何体在平面上的投影是：。2、由方程所拟定的隐函数的极小值是。3、已知，则。4，曲线在点切线方程为。5，设L是抛物线从到的一段，则。三、计算题：(每题5分，共20分)(1)、设，求。(2)、求函数在处的泰勒展式。(3)、求在条件下的极值。(4)、计算曲线积分，其中L是与相交的圆周。四、证明函数在连续，但偏导数不存在。(10分)五，证明平面曲线上任一点处的切线被坐标轴所截的线段等长。(10分)六，设，请给出二重积分在极坐标变换下的两个累次积分。(10分)七，对于全微分式，验证原函数存在，并求原函数。(10分)八、计算，其中S是球面的上半部分并取外侧。参考答案

第一套一，选择题：（每题3分，共15分）1，C；2，A；3，D；4，A；5，C。二，填空题：（每题3分共15分）1，2，a=1，b=-1；3，2f'(a)；4，6；5，2三，计算题：（每题5分，共20分）解：解：解：证：，故结论成立。五，讨论函数f(x)=的性态并作出其图形。(14分)解：1°定义域：R；2°f'(x)=,令f'(x)=0得：x=1；3°f″(x)=，令f″(x)=0得：x=2；4°列表：???x(-∞，1)1(1，2)2(2，+∞)y′＋－－y″－－＋y∩极大∩拐点∪5°渐近线：，y=0为水平渐近线；6°特殊点：(0，0)，(1，1)，(2,2e-2)7°作图：xxy1120六，有一无盖的圆柱形容器，体积为V，问底半径与容器高的比为多少时表面积最小？解：设底面半径为r，高为h，则目的函数为：S=2πrh+πr2约束条件为：V=πr2h，代入目的函数得：,令S′=0得：,代入约束条件中得：所以当高等于半径时，窗容器表面积最小。七，对函数f（x）=ln(1+x)应用拉格朗日定理证明：（8分）证：由拉格朗日定理得：即∴八、设f(x)在开区间I上为凸函数，证明：存在。证：作函数∵f(x)在开区间I上为凸函数，∴∴F(x)在x=0的右邻域内单调上升，而I是一开区间，所以I中能找到一点x'<x0,有∴F(x)在x>0上有下界，∴由单调有界定理知：存在，故存在，同理可证存在。第二套一，选择题：（每题3分，共15分）1，C；2,A；3，C；4，A；5，C。二，填空题：（每题3分共15分）2，a=4；b=-12；3，f'(x)；4，2；5，3。三，计算题：（每题5分，共20分）解：设u=xn，v=(1-x)-1,则u(k)=n(n-1)…(n-k+1)xn-k=而v(k)=k!(1-x)-k-1,∴由莱布尼兹公式得：五，讨论函数f(x)=的性态并作出其图形。(14分)解：1°，定义域：x≠1；3°，列表：x(-∞,-1)-1(-1,1)(1,3)3(3,+∞)y'+0--0+y"---+++y∩-2极大∩∪0极小∪4°，与坐标轴的交点：（3，0）、（0，-）yy6°，作图：xx01六，某窗户上部为半圆，下部为矩形，周长为15m，要使窗户透光面积最大，问宽x应为多少米？（10解：七，设f（x）、g（x）在D上有界，证明：（8分）一、1.c2.a3.a4.d5.a6.d二、1、原式=2、原式=3、原式=4、5、,底半径为R,高为kR,则,即,表面积,令四、五、都有证明：设周期为T。反证：若则令，但矛盾．六、时，（8分）设当时，当时，综上，命题得证。七、见书八、略1.d2.a3.a4.c5.b6.b二、1、原式=2、原式=3、4、5、,三、四、如图：矩形的面积为令OOOO五、证明：限制即,只需取即可六、反证：设,若,则可由罗尔中值定理，，然而方程在（0，1）内无实根，故原命题成立。(8分)七、证明：以上两式相加得：所以略第五套选择题：（每题3分，共15分）1、D：2、C；3、D；4、B；5、C。填空题：（每题3分，共15分）；2、1；3、；4、；5、计算题：（每题4分，共20分）1、计算2、计算解：解：作变换得：所以3、求心脏线4、已知：的周长。求：。解：解：所以5、已知：，求：。y=f(xy=f(x)ab0yx设为上严格增的连续函数，证明：，使得图中两阴影的面积相等。证：设则而，，所以，即，故结论成立。证明不等式：证：故结论成立。六、证明函数列在上一致收敛。证：由于而所以在上一致收敛。七、求的麦克劳林展开式。解：由于而，所以故八、一个半径为20米的半球形容器内盛满了水，求把水抽尽所作的功。解：如图建立坐标系，在中取微元，则体积微元，质量微元，微功，求积分得总功为：=76969.02(千焦).此即所求。第六套一、选择题：（每题3分，共15分）1、A；2、D；3、D；4、B；5、B。二、填空题：（每题3分，共15分）1、；2、5；3、；4、；5、三、计算题：（每题4分，共20分）1、计算2、计算解：解：3、求心椭圆所围的面积。解：4、求：的收敛半径、收敛区间、收敛域。解：，收敛区间、收敛域为：[-2，2]5、求函数，的傅里叶展开式。解：，四、设连续可微函数，求。解：五、证明不等式：证：设，则，令得：时上升，时下降，所以，故六、证明：在上一致收敛。证：由于关于单调上升，所以而收敛，所以由优级数判别法知：在上一致收敛。七、求的麦克劳林展开式。解：八、有一等腰梯形闸门，它的上、下两条底边各长10米、6米，高为解：腰的直线方程为：在[0，20]中取微元，则面积微元压力微元所以压力为：=14373.33(千牛)第七套单项选择（每小题3分，共15分）1、D2、C3、B4、C5、A填空：（每小题3分，共12分）1、2、23、（－1，3）4、计算不定积分或求定积分的值。（每小题6分，共24分）解：4、设，求四、用定积分求极限。(9分)解：原式=五、求幂级数的收敛域及和函数。（10分）解:,,收敛域为[－1,1)六、求曲线、和所围平面区域的面积。（10分）1yoxx七、证明：（每小题10分，共20分）1yoxx1、设是以T为周期的连续函数，证明：证明：,令函数列在上一致收敛。证明：x=0时也成立。所以函数列在上一致收敛。第八套一、单项选择（每小题3分，共15分）1、C2、C3、A4、B5、A二、填空：（每小题3分，共12分）1、2、3、4、三、计算不定积分或求定积分的值。（每小题8分，共24分）解：令,原式=解：原式解：令,原式用定积分求极限。(9分)解：原式=五、求幂级数的收敛域及和函数。（10分）解：,逐项求导得：，,收敛域为六、求椭圆绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积。（10分）解：七、证明：（每小题10分，共20分）1、设在[－a,a]上连续，证明：当为偶函数时，当为奇函数时，证明：,令,当为偶函数时,当为奇函数时,2、函数项级数在上一致收敛。证明：，（x=0时也成立）收敛，在上一致收敛。第九套一、内点集为，外点集为聚点集为边界为二、,同理，.若,而,所以三、证明：四、五、(1)在点的邻域内连续；(2)；(3)在点的邻域内连续；(4)；所以方程六、设底面半径为x,高为y,则,表面积为设令七、八、九、由格林公式，十、由高斯公式， 第十套一、内点集为，外点集为聚点集为边界为二、三、所以四、令，则五、六、七、设z=0z=0八、.。。.。。九、十、第十一套一，选择题：（每题3分，共15分）1、A；2、C；3、A；4、D；5、C。二，填空题：（每题3分共15分）1、；2、ysin2xy；3、4，x=π；5，三，计算题：（每题5分，共计20分）1，求u=ln(x2+y)在