初中数学北师大版八年级下册第一章三角形的证明本章复习与测试 一等奖

专训1.线段垂直平分线的几种应用名师点金：线段的垂直平分线与线段的两种关系：位置关系——垂直，数量关系——平分，利用垂直平分线的这些性质可以求线段的长度、角的度数等，还可以解决实际生活中的选址等问题．线段垂直平分线的性质在求线段中的应用(第1题)1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为F，G，已知△ADE的周长为12cm，则BC＝________.2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，DE垂直平分AB于点E，交AC于点D.若BC＝2cm，求AD的长．(第2题)线段垂直平分线的性质在求角中的应用3．(2023·乐山)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°.(第3题)4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠1∶∠2＝2∶5，求∠ADC的度数．(第4题)线段垂直平分线的性质在实际中的应用5．如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？(第5题)线段垂直平分线的性质在判定两线位置关系中的应用6．如图，AD为△ABC的角平分线，AE＝AF，请判断线段AD所在直线是否为线段EF的垂直平分线．如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．(第6题)专训2.角平分线中常用作辅助线的方法名师点金：因为角的平分线已经具备了全等三角形的两个条件(角相等和公共边)，所以在处理角的平分线的问题时，常作出全等三角形的第三个条件，截两边相等(SAS)或向两边作垂线段(AAS)或延长线段等来构造全等三角形．作一边的垂线段1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，AC＝BC，能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？(第1题)作两边的垂线段2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，证明：PC＝PD.(第2题)延长线段作对称图形法3．如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO，AE⊥BD交BD的延长线于点E，求证：BD＝2AE.(第3题)截取线段作对称图形法4．如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，求证：BE＋CF>EF.(第4题)答案专训11．12cm2．解：如图，连接BD.∵DE垂直平分AB，∴AD＝DB.∴∠DBA＝∠A＝15°.∴∠CDB＝∠A＋∠DBA＝30°.又∵∠C＝90°，∴BD＝2BC.∴AD＝2BC＝4cm.即AD的长是4cm.(第2题)3．15点拨：在Rt△AED中，∠ADE＝40°，所以∠A＝50°.因为AB＝AC，所以∠ABC＝eq\f(180°－50°,2)＝65°.因为DE垂直平分AB，所以DA＝DB.所以∠DBE＝∠A＝50°.所以∠DBC＝65°－50°＝15°.4．解：∵∠1∶∠2＝2∶5，∴设∠1＝2x，则∠2＝5x.∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD.∴∠B＝∠2＝5x.∴∠ADC＝∠2＋∠B＝10x.∵在△ADC中，2x＋10x＝90°，解得x＝°，∴∠ADC＝10x＝75°.5．解：连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，两直线交于点M，则点M就是所要确定的购物中心的位置．如图．(第5题)点拨：解决作图选点问题，若要找到某两个点的距离相等的点，一般在这两点所连线段的垂直平分线上去找；若要找到某两条不平行的直线的距离相等的点，则一般在这两条直线相交所成的角的平分线上去找．6．解：线段AD所在直线是线段EF的垂直平分线．证明：因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠CAD.在△AED和△AFD中，因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AF，,∠EAD＝∠FAD，,AD＝AD，))所以△AED≌△AFD(SAS)，所以DE＝DF.所以点D在线段EF的垂直平分线上．又因为AE＝AF，所以点A在线段EF的垂直平分线上．所以线段AD所在直线是线段EF的垂直平分线．点拨：判断一条直线是某一线段的垂直平分线时，应证明这条直线上至少有两个点在这条线段的垂直平分线上．专训2(第1题)1．解：能在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长，即过点D作DE⊥AB于E，则E点就是所要确定的点(如图)．理由如下：∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE.在Rt△ACD和Rt△AED中，AD＝AD，DC＝DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．∴AC＝AE.∵AC＝BC，∴△BDE的周长为BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB.2．证明：如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEC＝∠PFD＝90°.∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF.∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.而∠PDO＋∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF.(第2题)在△PCE和△PDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PCE＝∠PDF，,∠PEC＝∠PFD，,PE＝PF，))∴△PCE≌△PDF(AAS)．∴PC＝PD.3．证明：如图，延长AE交BO的延长线于点F.∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°.∵BD平分∠ABO，∴∠ABE＝∠FBE.又∵BE＝BE，∴△ABE≌△FBE.∴AE＝FE.∴AF＝2AE.∵∠AEB＝∠AOB＝90°，∴∠OAF＋∠AFO＝90°，∠OBD＋∠AFO＝90°.∴∠OAF＝∠OBD.又∵OA＝OB，∠AOF＝∠BOD＝90°，∴△AOF≌△BOD(ASA)．∴AF＝BD.∴BD＝2AE.(第3题)4．证明：如图，在AD上截取DH＝BD，连接EH，