初中数学苏科版八年级上册第2章轴对称图形2．5等腰三角形的轴对称性

学习目标理解等腰三角形的性质，并能解决等腰三角形的有关计算2、掌握等腰三角形的判定方法，会证明一个三角形是等腰三角形教学内容等腰三角形知识点一（等腰三角形的性质）【知识梳理】等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。（三线合一）【例题精讲】例1.已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（） A． 7 B． 8 C． 6或8 D． 7或8【答案】D．考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形三边关系．【教法】注意等腰三角形有腰、底之分，角有顶角跟底角之分，题目中没有说明时要分情况讨论【学法】学生自主探究学习【例题精讲】【例2】如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】A．考点：等腰三角形的性质．【教法】熟练掌握等腰三角形的性质【学法】学生自主探究学习【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（）A．80°B．60°C．50°D．40°【答案】D．考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质．【教法】熟练掌握线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．【学法】学生自主探究学习【例4】如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．45°C．60°D．70°【答案】A．考点：1．等腰三角形的性质；2．平行线的性质．【教法】熟练掌握等腰三角形的性质以及平行线的性质．【学法】学生自主探究学习【变式练习】1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．°C．20°D．°【答案】A．【教法】熟练掌握等腰三角形的性质以及角平分线的应用．【学法】学练结合法2、如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=度．【答案】52．考点：等腰三角形的性质．【教法】熟练掌握等腰三角形的性质【学法】学练结合法3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是．【答案】110°或70°．

考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论【教法】熟练掌握等腰三角形的性质以及对于三角形的高线【学法】学练结合法【课堂练习】1、如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为（度）．【答案】45°．考点：等腰三角形的性质．知识点二：等腰三角形的判定【知识梳理】等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。注意问题归纳：等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题，并证明角相等的问题。【例题精讲】【例1】如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：①当OB=AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；②当OA=AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；③当OA=OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，1+1+2=4，故选：D．【教法】注意等腰三角形有腰、底之分，角有顶角跟底角之分，题目中没有说明时要分情况讨论【学法】学生自主探究学习【变式练习】1、平面直角坐标系中，A（3，3）、B（0，5）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．7【解答】解：当AC=CB时，作AB的垂直平分线，交x轴于C1，交y轴于点C2当AB=AC时，以点A为圆心，AB为半径作圆A，交y轴于C3，交x轴于C4、C5，当AB=BC时，以点B为圆心，AB为半径作圆B，交y轴于点C6、C7故选（D）【教法】注意等腰三角形有腰、底之分，角有顶角跟底角之分，题目中没有说明时要分情况讨论【学法】学练结合法2、如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2）在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：以O为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P和P′，此时三角形是等腰三角形，即2个；以A为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P″（O除外），此时三角形是等腰三角形，即1个；作OA的垂直平分线交x轴于一点P1，则AP=OP，此时三角形是等腰三角形，即1个；2+1+1=4，故选：C．【教法】注意等腰三角形有腰、底之分，角有顶角跟底角之分，题目中没有说明时要分情况讨论【学法】学练结合法【例题精讲】【例2】如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G．求证：△EFG是等腰三角形．【解答】略解：∵FG平分∠EFD交AB于点G，∴∠GFD=∠EFG，∵AB∥CD，∴∠EGF=∠GFD，∴∠EFG=∠EGF，∴△EFG是等腰三角形．【教法】熟练运用等腰三角形的判定定理【学法】学生自主探究学习【变式练习】1、下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°，∠B=60° B．AB=5，AC=12，BC=13C．∠A=50°，∠B=80° D．∠A：∠B：∠C=3：4：5【解答】解；A、当∠A=30°，∠B=60°时，∠C=90°，不是等腰三角形，所以A选项错误．B、当AB=5，AC=12，BC=13，52+122=132，所以是直角三角形，不是等腰三角形，错误；C、当A=50°，∠B=80°，∠C=50°，是等腰三角形，正确，D、当∠A：∠B：∠C=3：4：5，不是等腰三角形，所以D选项错误．故选C．【教法】熟练运用等腰三角形的判定定理【学法】学练结合法2、如图，DE∥BC，CG=GB，∠1=∠2，求证：△DGE是等腰三角形．【解答】解：连接AG，∵DE∥BC，∴∠ABC=∠1，∠ACB=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠ACB．又∵G为BC中点，∴AG⊥BC．∴AG⊥DE且平分DE，∴DG=GE．∴△DGE是等腰三角形．【教法】熟练运用等腰三角形的判定定理【学法】学练结合法3、如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，DE∥AB交BC于E、交AC于F，∠CDE=∠ACB=30°，BC=DE．求证：△FCD是等腰三角形．【解答】证明：∵∠B=90°，∠ACB=30°，∴∠BAC=60°∵AB∥DE，∴∠EFC=∠BAC=60°，∵∠CDE=30°，∴∠FCD=∠EFC﹣∠CDE=60°﹣30°=30°，∴∠FCD=∠FDC，∴FD=FC，即△FCD为等腰三角形．【教法】熟练运用等腰三角形的判定定理【学法】学练结合法4、从①∠B=∠C；②∠BAD=∠CDA；③AB=DC；④BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．已知：①②（只填序号）求证：△AED是等腰三角形．证明：在△BAD和△CDA中，∵，∴△BAD≌△CDA（AAS），∴∠ADB=∠DAC，即在△AED中∠ADE=∠DAE，∴AE=DE，△AED为等腰三角形．．【解答】解：选择的条件是：①∠B=∠C②∠BAD=∠CDA（或①③，①④，②③）；证明：在△BAD和△CDA中，∵，∴△BAD≌△CDA（AAS），∴∠ADB=∠DAC，即在△AED中∠ADE=∠DAE，∴AE=DE，△AED为等腰三角形．故答案为：在△BAD和△CDA中，∵，∴△BAD≌△CDA（AAS），∴∠ADB=∠DAC，即在△AED中∠ADE=∠DAE，∴AE=DE，△AED为等腰三角形．【教法】熟练运用等腰三角形的判定定理【学法】学练结合法【课堂练习】1、平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．∴AB=2，①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即（0，0）、（4，0）、（0，4），∵点（0，4）与直线AB共线，∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；③若CA=CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．故选A【教法】熟练运用等腰三角形的判定定理【学法】学练结合法2、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=，则满足条件的格点C有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．因为S△ABC=，所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．故选B．【教法】熟练运用等腰三角形的判定定理【学法】学练结合法3、如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD∴∠D=∠C=90°，在Rt△ABD和Rt△BAC中，，∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），∴∠DBA=∠CAB，∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形．另外一种证法：证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD∴∠D=∠C=90°在Rt△ABD和Rt△BAC中∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）∴AD=BC，在△AOD和△BOC中，∴△AOD≌△BOC（AAS），∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形．【教法】熟练运用等腰三角形的判定定理【学法】学练结合法【达标检测】1、如图，△ABC中，∠A=36°，∠C=60°，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于E，（1）求∠BDE的度数；（2）求∠BDC的度数．【解答】解：（1）∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠A=36°，∠C=60°，∴∠ABC=84°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=42°，∵DE∥BC，∴∠BDE=∠DBC=42°．（2）∵∠C+∠DBC+∠BDC=180°，∴∠BDC=180°﹣42°﹣60°=78°．2、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，∠BAD=∠CBE．求证：AB=AC．【解答】证明：∵AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，∴∠ADB=∠BEC=90°，∴∠ABC+∠BAD=∠C+∠CBE=90°，∵∠BAD=∠CBE，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC．3、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△CEF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°﹣40°）=70°∴∠1+∠2=110°∴∠3+∠2=110°∴∠DEF=70°1、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=25°，∠DEC=115°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．【解答】解：（1）∠EDC=180°﹣∠ADB﹣∠ADE=180°﹣115°﹣40°=25°，∠DEC=180°﹣∠EDC﹣∠C=180°﹣40°﹣25°=115°，小；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，∴△ABD≌△DCE（AAS），（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由：∵∠BDA=110°时，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∠AED=∠C+∠EDC=30°+40°=70°，∴∠DAC=∠AED，∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为80°时，∴∠ADC=10