高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

平面向量【基本观点与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】uuur1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或a。uurur向量的模：向量的大小(或长度)，记作：|AB|或|a|o3.单位向量：长度为1的向量。若"是单位向量，则|e|1。r零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是随意的，且与随意愿量平行】平行向量(共线向量)：方向同样或相反的向量。6.相等向量:长度和方向都同样的向量。uuuuu7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。uBA三角形法例:uuruuuruuruuruuuruuurumruuuuuuuuuuBCCDDEr(指向被减数)ABBCAC;ABuruACCB平行四边形法例：r以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为rrrrr,.一，rr一，10.共线定理：aba//b。当0时,a与b同向；。时，盂b反向。基底：随意不共线的两个向量称为一组基底。r「r2rrrr22(x,y),y2，2ab|.(ab)12.向量的模：若a|a|2，|arrrr13.数目积与夹角公式:|a||b|coscosabr-rr-rr14.平行与垂直：a//bab0x1x2y1y20题型1.基本观点判断正误：共线向量就是在同一条直线上的向量。uuuuur(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。(4)四边形ABC虎平行四边形的条件是urCD。若两个向量不相等，贝U它们的终点不行能是同一点。uuruuur1若ABCD,贝UA、B、C、D四点组成平行四边形。(6)若a与b共线,rrrrrrrrb与c共线，则a与c共线。(7)若mamb，贝Uab。2rr(9)若a与b不共线，则a与b都不是零向量。(8)若mana,贝Umrrrrrrrrrrrr(10)若ab|a||b|,则a//b。(11)若|ab||ab|,贝Uab。题型2,向量的加减运算rb表示“向北走6km‘，则〔ab|1.设a表示"向东走8km”uuuruuuuuuuuuiruuurBC)OM。2.化简(ABMB)(BOuuuuuuuuu3,已知|OA|5,|OB|3,则|AB|的最大值和最小值分别为4.umruiuruuurumrruuurruuuuiur已知AC为AB与AD的和向量，且ACa,BDb,贝UABADumruuuuuuuuu,3uiuruuu_BC。5.已知点C在线段AB上，且AC则AC_BC,AB-AB,题型3.向量的数乘运算5rrrrrr1,计算：2(2a5b3c)3(2a3b2c)」rr,r1r2.已知a(1,4),b(3,8)，则3晋1b。2题型4,依据图形由已知向量求未知向量1,已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量AB,AC表示ADOuuurruuinruuuuuur2.在平行四边形ABCD中，已知ACa,BDb，求AB^AD。题型5.向量的坐标运算iun1.已知AB(4,5),A(2,3)，则点B的坐标是。uuur2.已知PQ(3,5),P(3,7)，则点Q的坐标是。rrr3.若物体受三个力F1(1,2),F2(2,3),F3(1,4),则协力的坐标为

o3rrr,rr,r八rJ4.已知a(3,4),b(5,2)，求ab,ab,3a2boruuur5.已知A(1,2),B(3,2),向量a(x2,x3y2)与AB相等，求x,y的值。4uuruuuruuuruuuCD(1,4)，则DA7.已知O是坐标原点，A(2,1),B(uuuuurruuur4,8),且AB3BC0，求OC的坐标。已知AB(2,3),BC(m,n),题型6.判断两个向量能否作为一组基底urur1.已知ei,e是平面内的一组基底，判断以下每组向量能否能组成一组基底:uruuiruuirurururiruuururinD.e2和eeA.e1qB.C.e和e13ei2e2和4巳6e,r_r.................................2.已知a(3,4)，能与)

山ure13巳和e23qa组成基底的是(A.(3,4)B.(4,3)555544题型7.联合三角函数求向量坐标c.(5)D.(1,3)uuruuu1.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|2,xOA150°,求OA的坐标。uuu_uuu2.已知O是原点，点A在第一象限，|OA|xOA60°，求OA的坐标。4焰,题型8.求数目积rrrrrrrrr1.已知|a|3,|b|4,且a与b的夹角为60°，求(1)ab,(2)a(ab),,、r1rr、r、r/、(3)(a-b)b,(4)(2ab)(a3b)。2」rrr,/rrrr,r、2.已知a(2,6),b(8,10)，求(1)|a|,|b|,(2)ab,(3)a(2ab),rrrr(4)(2ab)(a3b)。5题型9.求向量的夹角」rrrrr1.已知|a|8,|b|3,ab12,求a与b的夹角。62.已知a(J3,1),b(2龙,2)，求§与b的夹角。已知A(1,0),B(0,1),C(2,5)，求cosBAC。题型10.求向量的模,rr一r,r,,一，c,rr_rr1.已知|a|3,|b|4,且a与b的夹角为60o，求(1)|ab|,(2)|2a3b|。」rrrr,,rr,r1r2.已知a(2,6),b(8,10),求(1)|a|,|b|,(5)|ab|,(6)|a—b|。2.rrrr,rr3.已知|a|1,|b|2,|3a2b|3,求|3ab|。rra十题型11.求单位向量【与a平行的单位向量:|a|,r_..............................r平行的单位向量是1.与a(12,5)平行的单位向量是2.与m(题型12.向量的平行与垂直r.rk为什么值时，向量kab与a3b垂直？(2)k为什么值时(3,2),(1)1.已知a(1,2),b向量kab与a3b平行?r一.,一，一rrrr一「r.rrr.已知a是非零向量，abar，且bc,求证：a(bc)。题型13.三点共线问题71.已知A(0,2),B(2,2),C(3,4),求证：A,B,C三点共线。uuu2rruurrruuur2arr2.设AB—(a5b),BC28b,CD3(ab),求证：A、B、D三点共线。uurrruurrruuurrr3.已知ABa2b,BC5a6b,CD7a2b,则7共线的三点是。4.已知A(1,3),B(8,1),若点C(2a1,a2)在直线AB上，求a的值。uunuuuunr5.已知四个点的坐标O(0,0),A(3,4),B(1,2),C(1,1),能否存在常数t，使OAtOBOC建立？题型14.判断多边形的形状uuuruuirruuuruuir若AB3e,CD5e,且|AD||BC|,则四边形的形状是已知A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2),证明四边形ABCD是梯形。3.已知A(2,1),B(6,3),C(0,5)，求证：ABC是直角三角形。uuuuuuuuur4.在平面直角坐标系内,OA(1,8),OB(4,1),OC(1,3),求证:ABC是等腰直角三角形。题型15.平面向量的综合应用1.已知』(1,0),b(2,1)，当k为什么值时，向量kab与a3lb平行?82.已知a(j3,扼)，且ab,rr|b|2,求b的坐标。rrr3.已知a与b同向，b(1,2)，则ab10,求a的坐标。_」r_rrrr.r4.已知a(1,2),b(3,1),c(5,4)，贝Ucab。5.已知a(m,3),b(2,1),(1)若A与b的夹角为钝角，求m的范围；(2)若a与b的夹角为锐角，求m的范围。6.已知a(6,2),b(3,m)，当m为什