初中数学北师大版九年级上册第一章　特殊平行四边形 一等奖

．正方形的性质与判定第2课时正方形的判定课后作业:方案（A）一、教材题目：P25，T1-T41．证明：对角线相等的菱形是正方形．2．已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF.求证：四边形AECF是菱形．(第2题)3．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH.四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？(第3题)联系拓广(第4题)4．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等．在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系？请证明你的结论．二、补充题目：部分题目来源于《典中点》7．(2023·日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是()A．①②B．②③C．①③D．②④(第9题)9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是()A．BC＝ACB．CF⊥BFC．BD＝DFD．AC＝BF答案教材(第1题)1．解：已知，如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD交于点O，且AC＝BD，求证：四边形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝eq\f(1,2)AC，OD＝eq\f(1,2)BD.∴∠AOD＝90°.又∵AC＝BD，∴OA＝OD.∴∠DAC＝45°.同理可得∠BAC＝45°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°.∴四边形ABCD是正方形．点拨：已知菱形满足对边平行和邻边相等这两个条件，只需再证一个角等于90°即可用正方形的定义得到四边形ABCD是正方形．2．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠DCB＝90°.∴∠ADF＝∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝45°.又∵BE＝DF，∴△ADF≌△ABE≌△CBE≌△CDF.∴AF＝AE＝CE＝CF.∴四边形AECF是菱形．3．解：四边形EFGH是正方形．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠B＝90°.∵AE＝DH，∴BE＝AH.在△AEH和△BFE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AH＝BE，,∠A＝∠B，,AE＝BF，))∴△AEH≌△BFE.∴EH＝FE，∠AEH＝∠BFE.同理可证EH＝HG＝GF，∴四边形EFGH是菱形．又∵∠BEF＋∠BFE＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°.∴∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是正方形．点拨：利用三角形全等易证四边形EFGH是菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形证得四边形EFGH为正方形．4．解：两个正方形重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的eq\f(1,4).证明：设A′O与AB的交点为M，C′O与BC的交点为N.∵四边形ABCD，四边形A′B′C′O都是正方形，∴∠A′OC′＝90°，∠BOC＝90°，OB＝OC，∠MBO＝∠NCO＝45°.∴∠MOC′－∠BOC′＝∠BOC－∠BOC′，即∠MOB＝∠NOC.∴△MOB≌△NOC.∴S△MOB＝S△NOC.∴S四边形OMBN＝S△MOB＋S△OBN＝S